山西省朔州市刘霍庄中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省朔州市刘霍庄中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，则的值等于A． B． C． D．参考答案：解：，，，，．故选：．2.命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，参考答案：B3.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（

）A.1 B. C. D.参考答案：B【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．4.已知为实数,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B5.抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（

）参考答案：D6.已知O为△ABC内一点，满足，，且∠BAC=则△OBC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】据向量式判断出点O为三角形的重心，由重心的性质得出△OBC的面积与△ABC面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，然后由三角形的面积公式求出面积．【解答】解：∵，∴，∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的，∵，∴cos∠BAC=×=2，∴=4，∴△ABC面积为sin∠BAC=，∴△OBC的面积为：，故选B．7.若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C． D．3参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D8.函数,的图像上关于y轴对称的点共有()A．0对B．1对

C．2对

D．3对参考答案：D9.设，则

（

）

A．MN

B．NM

C．

D．参考答案：B略10.在△中，内角，，的对边分别是，，，若，，则角等于A．

B．

C．

D．参考答案：A【知识点】解三角形

C8由正弦定理可知，所以可得，又，，所以A=，所以A正确.【思路点拨】本题可先根据正弦定理求出三角形边之间的关系式，再利用余弦定理求出角A的余弦值，最后找到正确结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中的系数为__________.参考答案：略12.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为

；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为

。

参考答案：4，略13.已知函数且是f(x)的导函数，若,，则=

.

参考答案：略14.已知函数，若实数满足，，则的最小值为_____．参考答案：【分析】利用得到后可得的最小值.【详解】因为，故，化简得到，所以或，整理得到或（舍），的最小值为.填.【点睛】一般地，若，则或，；若，则或，.15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为

．参考答案：略16.已知函数则

▲

；若，则

▲

．参考答案：;或

17.设，函数有最大值，则不等式的解集为________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.参考答案：（1）∵

点为面的对角线的中点，且平面，∴

为的中位线，得，又∵

，∴

，（2分）∵

在底面中，，，∴

，又∵

，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴

.即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分），（12分）19.已知圆:交轴于、两点,曲线是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为,若是圆上一点,连结,过原点作直线的垂线交直线于点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若点的坐标为求证:直线与圆相切；(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.参考答案：解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1,所以椭圆C的标准方程为

………5分(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ的方程为y=-2x,∴点Q(-2,4)…7分∴,又,∴,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切

……10分(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切

………11分证明:设(),则,所以,,所以直线OQ的方程为

所以点Q(-2,)

………12分所以,又

……13分所以,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切.

………14分20.已知在等比数列中，，且是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．参考答案：（Ⅰ）设公比为q，则，，∵是和的等差中项，∴，∴（Ⅱ）则略21.求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.参考答案：解：矩阵M的特征多项式为=.令得矩阵M的特征值为－1和3.当所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.当所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.22.已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且