云南省昆明市县街中学高三数学文月考试卷含解析

云南省昆明市县街中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】定积分的简单应用．【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．2.椭圆C：+y2=1，A（，），B（﹣，﹣），点P是椭圆C上的动点，直线PA、PB的斜率为k1，k2，则k1k2=（）A．﹣4 B． C．4 D．﹣参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值．【解答】解：设P（m，n），可得m2+4n2=4，即有m2=4﹣4n2，又k1=，k2=，则k1k2=?===﹣．故选：D．3.设i是虚数单位，，则实数a=（）A． B． C．﹣1 D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内应填参考答案：A【知识点】算法与程序框图L1程序在运行过程中各变量值变化如下表：K

S

是否继续循环循环前1

1/

第一圈2

4

是,第二圈3

11

是,第三圈

4

26

是,第四圈

5

57

否

故退出循环的条件应为k＞4【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．5.抛物线的焦点坐标为

；参考答案：略6.若函数在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围为(

)A. B. C.(0,+∞) D.参考答案：D【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当时，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当时，，所以所以在上为增函数，则，当时，，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，，当时，；所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.7.设复数z＝2＋i，则A．－5＋3iB．－5－3iC．5＋3iD．5－3i参考答案：C8.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（）A．2 B．1 C． D．3参考答案：A【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形的中心角弧度数为α，半径为r，可得2r+αr=4，α=，因此S=αr2=（2﹣r）r，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设扇形的中心角弧度数为α，半径为r，则2r+αr=4，∴α=，∴S=αr2=××r2=（2﹣r）r≤（）2=1，当且仅当2﹣r=r，解得r=1时，扇形面积最大．此时α=2．故选：A．9.某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.棱锥参考答案：C10.某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是(

)A.13π

B.16π

C.25π

D.27π参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为

．参考答案：112.已知的值为___________.参考答案：略13.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为________.参考答案：考点：球的体积与表面积14.若对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，且，则的上确界是

参考答案：15.若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．16.已知则的大小关系是__________．参考答案：17.若分别是的所对的三边，且,则圆M:被直线：所截得的弦长为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足其中p，q∈R．（1）若数列前四项a1，a2，a3，a4依次成等差数列，求p，q的值；（2）若q=0，且数列{an}为等比数列，求p的值；（3）若p=1，且a5是数列{an}的最小项，求q的取值范围．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）由已知递推式a2﹣a1=2p﹣q，a3﹣a2=4p﹣2q，a4﹣a3=8p﹣3q，再由等差数列的定义列等式求得p=q=0；（2）q=0，则，由等比数列的性质列式求得p=0或p=．然后分类求得数列{an}的通项公式；（3）p=1时，，可得当n≥6时，an﹣a5≥0恒成立，利用作差法求得满足条件的q的最大值；当n≤4时，需满足an﹣a5≤0恒成立，对n=1、2、3、4验证求得q的最小值，从而可得q的取值范围．【解答】解：（1）由已知递推式可得，a1=1，a2=1+2p﹣q；a2﹣a1=2p﹣q，a3﹣a2=4p﹣2q，a4﹣a3=8p﹣3q．由等差数列知，a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1，得p=q=0；（2）q=0，则，由，得p=0或p=．当p=0时，an+1=an，an=1，满足题意；当p=时，由累加法得，满足题意；（3）p=1时，，当n≥6时，由an﹣a5≥0恒成立得，q≤恒成立．设，只需求出cn的最小值．．当n≥7时，n2﹣3n﹣20=n（n﹣3）﹣20≥8＞0，有cn+1＞cn；当n=6时，直接验证c7＞c6；故c6为最小值，其值为，∴q；当n≤4时，需满足an﹣a5≤0恒成立，对n=1、2、3、4验证，n=1，q≥3；n=2，q；n=3，q；n=4，q≥4．综上，4．19.

（16分）用表示数列从第项到第项（共项）之和．（1）在递增数列中，与是关于的方程（为正整数）的两个根．求的通项公式并证明是等差数列；（2）对（1）中的数列，判断数列，，，…，的类型；（3）对一般的首项为，公差为的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

参考答案：解析：（1）解方程得，…（1分）

∵是递增数列，∴，，…（3分）

∴数列是等差数列，其通项公式是（为正整数）…（4分）

（2）当为正整数时，

，∴（常数）

∴数列，，，…，是等差数列……（9分）

（3）可以从多个方面加以推广．对一般的以为首项，为公差的等差数列，

如照抄（2）中的问题（即三项之和）得2分，证明结论得3分，共得5分；

如对（2）中的问题有所改变，如改为四项之和，得3分，证明得4分，共7分；

如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数，判断数列

，，……，的类型”，得4分，证明结论3分，共7分．20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S3=6，正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn=2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若λbn＞an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，Sn．再利用递推式可得bn．（2）λbn＞an，化为．考察数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，S3=6，∴=6，化为1+d=2，解得d=1．∴an=1+（n﹣1）×1=n，．∴Sn﹣1=（n≥2）．∵正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn=2．∴当n≥2时，正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn﹣1=．∴bn==2n．当n=1时，=2，也满足上式．∴．综上可得：an=n，．（2）λbn＞an，化为．令，∵==≤1，∴cn+1≤cn，当且仅当n=1时取等号．∴数列的单调递减，∵λbn＞an对n∈N*均成立，∴．∴实数λ的取值范围是．【点评】本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式、递推式的应用、数列的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：所用时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P（A1），P（A2）比较两者的大小，及P（B1），P（B2）的从而进行判断甲与乙路径的选择；（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可【解答】解：（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．用频率估计相应的概率可得∵P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择Li，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．

（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，又由题意知，A，B独立，，P（x=1）=P（B+A）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54，X的分布列：X012P0.040.420.54EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．【点评】本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用．22.（12分）已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．参考答案：【考点】：余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题．【分析】：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣