2023年高考物理一轮复习12机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒含详解

专题12机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒

目录

题型一机械能守恒的判断......................................................................14

题型二单物体的机械能守恒问题................................................................15

题型三连接体的机械能守恒问题................................................................16

类型1轻绳连接的物体系统................................................................18

类型2轻杆连接的物体系统................................................................19

类型3含"弹簧类"系统的机械能守恒.........................................................20

题型四功能关系的理解和应用..................................................................21

类型1功能关系的理解....................................................................21

类型2功能关系与图像的结合.............................................................22

类型3功能关系的综合应用................................................................23

题型五能量守恒定律的理解和应用24

题型一机械能守恒的判断

【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法

（1）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒.

（2）利用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功（或做功代数

和为0）,则机械能守恒.

（3）利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，

则机械能守恒.

【例1】（2022•广东惠州一中月考）（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，

槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）.现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A

点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（）

nQ

.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从4点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒

【例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球

从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（）

A.小球的动能一直减小

B.小球的机械能守恒

C.克服弹力做功大于重力做功

D.最大弹性势能等于小球减少的动能

【例3】（2022•湖南永州市模拟）伽利略在研究力和运动的关系的时候，采用两个平滑对接的斜面，一个斜面

固定，让小球从斜面上滚下，小球又滚上另一个倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐减小直至为零，如图1

所示。关于这个理想斜面实验，下列说法正确的是（）

A.如果没有摩擦，小球运动过程中机械能守恒

B.如果没有摩擦，小球将在另一斜面上运动相同的路程

C.如果没有摩擦，小球运动到另一斜面上最高点的高度与释放时的高度不同

D.如果没有摩擦，小球运动到水平面时的机械能小于释放时的机械能

【例4】如图所示，P、。两球质量相等，开始两球静止，将尸上方的细绳烧断，在。落地之前，下列说法

正确的是（不计空气阻力）（）

/〃〃〃〃/（〃〃〃〃/

Qp

A.在任一时刻，两球动能相等

B.在任一时刻，两球加速度相等

C.在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变

D.在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的

题型二单物体的机械能守恒问题

」十怛桁观如点占ILJ*产耳上J参要考选平零面势能

I匹三H舞雅

队转移观点卜恒三饕篇

【解题指导】1.表达式H

2.选用技巧

在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。

3.一般步骤

旧牒研单个物体

［九Xj豕J'-----------------------------

足）分析研究对象在运动过程中的受

=>力情况，明确各力的做功情况，

业也~।判断机械能是否守恒

0-

|（3）选取零］二）|确定研究对象在初、末状态的机

|势能面|械能

（4）列方程］=>|根据机械能守恒定律列出方鹿一

需"f解方程求出结果，并对结果进行

［（5）解方程JU>必要的讨论和说明

[例1]（2022•山东日照市校际联考）一般的曲线运动可

以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替,

如图3甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情

况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径叫作A点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面成a角的方向以

某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P离地面的高度为/?,曲率半径为专忽略空气阻力，则

tana的值为（）

B巾

C.2D.4

【例2】（多选）（2022•湖南株洲市检测）如图甲所示，轻绳的一端固定在。点，另一端系一小球。小球在竖直

平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力厂的大小与小球离最低点的高度〃的关系如图乙所示。忽

略空气阻力，重力加速度g取10m/s2,则（

A.圆周半径为1.0m

B.小球质量为0.5kg

C.轻绳转至水平时拉力为30N

D.小球通过最高点的速度为4m/s

题型三连接体的机械能守恒问题

1.解决多物体系统机械能守恒的注意点

（1）要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用AEk=—AEp或=-的形式。

2.常见的三种模型

(1)轻绳连接的物体系统模型

常见

情景

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

模型②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

提醒③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统,

机械能则可能守恒。

⑵轻杆连接的物体系统模型

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不

模型

守恒。

特点

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，

则系统机械能守恒。

⑶轻弹簧连接的物体系统模型

模型由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物

特点体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。

①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压

两点缩。

提醒②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速

度，弹性势能最大。

类型1轻绳连接的物体系统

【例1】（2022•广东新高考模拟）如图所示，物体A、8质量相同，在倾角为30。的光滑斜面上，滑轮及绳子

质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降〃距离时的速度大小为（）

【例2】如图所示，物体A的质量为M,圆环8的质量为,"，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光

滑的竖直杆上.开始时连接圆环的绳子水平，长度/=4m.现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，

g取10m/s?.若圆环下降力=3m时的速度u=5m/s,则A和3的质量关系为（）

M7

-35---

29w9

M15

---

-39.-1

m25W9

【例3】（多选）如图所示，质量均为根的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角

为。的固定光滑斜面上，而8能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为乙物块2从与滑轮等

高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g.在物块B下落到轻绳与水平方向的夹角为。的过

程中，下列说法正确的是（）

A.开始下落时，物块8的加速度大于g

B.物块B的重力势能减小量为mgLtan9

C.物块A的速度小于物块B的速度

D.物块B的末速度为、陛需

类型2轻杆连接的物体系统

【例1】如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为上圆环上套有质量分别为初和2机的小球人B（均

可看作质点），小球A、8用一长为2R的轻质细杆相连。已知重力加速度为g,小球B受微小扰动从最高点

由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.A球增加的机械能大于B球减少的机械能

B.A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能

C.A球的最大速度为、图D.细杆对A球做的功为争ngR

【例2】（多选）如图所示，用轻杆通过较链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为〃?，两段轻杆等

长.现将C球置于距地面高6处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重

力加速度为g,则在小球C下落过程中（）

A「一

A.小球A、B、C组成的系统机械能守怛

B.小球C的机械能一直减小

C.小球C落地前瞬间的速度大小为4西

D.当小球C的机械能最小时，地面对小球3的支持力大于风？

【例3】（2022•福建南平市质检）质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用轻质杆固定连接，杆长为L,

在离P球g处有一个光滑固定转轴0,如图所示.现在把杆置于水平位置后自由释放，。球顺时针摆动到最

低位置，则（重力加速度为g）（）

I-'/A.小球尸在最高位置的速度大小为率

B.小球Q在最低位置的速度大小为、修

C.小球尸在此过程中机械能增加量为去

D.小球。在此过程中机械能减少同g/

类型3含“弹簧类”系统的机械能守恒

1.通过其他能量求弹性势能

根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解.

2.对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等.

3.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关.

【例1】（2022•重庆市高考模拟）如图所示，小滑块P、Q的质量分别为3,小，〃，P、Q间通过轻质钱链用长

为心的刚性轻杆连接，。套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平

横杆上。当杆与竖直方向的夹角a=30。时，弹簧处于原长，此时，将P由静止释放，下降到最低点时a=

60%整个运动过程中，尸、。始终在同一竖直平面内，滑块尸始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限

度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则在尸下降过程中（）

pr

L/::

“匕A.p、Q组成的系统机械能守恒

B.轻杆始终对。做正功

C.弹簧弹性势能最大值为2（小一1）〃磔

D.P和弹簧组成的系统机械能最小时，。受到水平横杆的支持力大小等于，咫

【例2】（多选）如图所示，A、8两物块由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，8和物块

C在竖直方向上通过劲度系数为人的轻质弹簧相连，C放在水平地面上.现用手控制住A,并使细线刚刚拉

直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行.已知A的质量为5血，8、C的质量均

为〃?，重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态.释放A后，A沿斜面

下滑至速度最大时C恰好离开地面.下列说法正确的是（）

，”就会A”,A.C刚离开地面时，8的加速度为零

B.从释放A到C刚离开地面的过程中，4、B组成的系统机械能先增加后减小

C.弹簧恢复原长瞬间，细线中的拉力大小为警

D.A的最大速度为G岛

【例3】如图所示，轻质弹簧一端固定在。处，另一端与质量为，”的物块相连，物块套在光滑竖直固定杆

上.开始时物块处于4处且弹簧处于原长.现将物块从A处由静止释放，物块经过8处时弹簧与杆垂直，

经过C处时弹簧再次处于原长，到达。处时速度为零.已知08之间的距离为3NAOB=30。，NBOD=

60。.弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g.在物块下滑的整个过程中，下列说法正确的是（）

。阕；

C

X、

X

0A.物块在由A处下滑至C处的过程中机械能守恒

B.物块在B处的速度为

C.物块在8处时弹簧的弹性势能最大

D.物块在。处时弹簧的弹性势能为斗ZwgL

题型四功能关系的理解和应用

1.做功的过程就是能量转化的过程.功是能量转化的量度.

2.功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应动能的变化等.

3.分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力（弹簧弹力）以外的其他力做功来分析.

类型1功能关系的理解

常见的功能关系

能量功能关系表达式

重力做功等于重力势能减少量

弹力做功等于弹性势能减少量

势能

W=Ep|-EP2=-AEp

静电力做功等于电势能减少量

分子力做功等于分子势能减少量

2

动能合外力做功等于物体动能变化量W=Ek2—Eki=^mv—

除重力和弹力之外的其他力做功等于机械

机械能W其他=&-Ei=AE

能变化量

摩擦

一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝

产生Q=Ff-x相对

对值等于产生的内能

的内能

电能克服安培力做功等于电能增加量W电能=瓦-E]=AE

【例1】（多选）（2022•广东省选择考模拟）蹦床是少年儿童喜欢的一种体育运动，如图所示，蹦床的中心由弹

性网组成，若少年儿童从最高点落下至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童（）

A.机械能一直减小B.刚接触网面时，动能最大

C.重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功

D.重力势能的减少量等于弹性势能的增加量

【例2】（多选）（2022•东北三省四市教研联合体模拟）第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400m长的

极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3000

J,他克服阻力做功500J,则在此过程中这名游客（）

A.重力势能增加了3000J

B.动能增加了3000J

C.动能增力口了2500J

D.机械能减少了500J

【例3】自动扶梯是商场里的高耗能设备之一，为了节约用电、减少机械磨损、延长使用寿命，某商场的自

动扶梯设有“无人停梯”模式，即没有乘客时扶梯停止运行，进入待机状态.当有乘客登上扶梯时，扶梯由静

止开始加速启动，达到设定速度后匀速运行.如图所示，一位顾客在一楼登上处于“无人停梯”模式的扶梯后

就在扶梯上站立不动，随着扶梯到达二楼.关于此运动过程，下列说法正确的是（）

顾客始终受到重力、支持力和摩擦力

B.扶梯只在加速启动过程中对顾客做功

C.扶梯对顾客做的功等于顾客动能的增加量

D.扶梯对顾客做的功等于顾客机械能的增加量

类型2功能关系与图像的结合

【例1］（多选）（2020•全国卷I20）一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势

能和动能随下滑距离s的变化如图中直线I、II所示，重力加速度取10mH.则（）

O12345s/mA.物块下滑过程中机械能不守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m^D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J

【例2】（多选）（2019•全国卷HT8）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能仇与重力势能Ep之

和.取地面为重力势能零点，该物体的E必和弓随它离开地面的高度h的变化如图所示.重力加速度取10m/s2.

由图中数据可得（）

1234〃/mA.物体的质量为2kg

B./?=0时，物体的速率为20m/s

C./?=2m时，物体的动能Ek=40J

D.从地面至/?=4m,物体的动能减少100J

【例1】一质量为〃?=2kg的物块在长/=9m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，经过t=3s到达斜面底

端，以水平地面为零势能面，其重力势能随下滑距离s的变化如图5所示，斜面始终静止在水平地面上，重

力加速度g取10m/s2。则（）

物块下滑过程中机械能守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.3

C.物块下滑时加速度的大小为4m/s2

D.物块下滑过程中机械能一共损失了72J

类型3功能关系的综合应用

【例1】（多选）（2020•山东卷）如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面

的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为，〃的钩码8挂于弹簧

下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零。

轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是（）

A.M<2m

B.2m<M<3m

C.在8从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功

D.在8从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量

【例2】（多选）（2022•福建省名校联考）如图所示，一个质量为〃、长为L的木板B静止在光滑水平面上，其

右端放有可视为质点的质量为，"的滑块A,现用一水平恒力F作用在滑块上，使滑块从静止开始做匀加速

直线运动。滑块和木板之间的摩擦力为衣，滑块滑到木板的最左端时，木板运动的距离为x,此过程中下列

说法正确的是（）

J_______I~~|A

Jzz///z///zz/zz/zzzLA.滑块A到达木板B最左端时，具有的动能为（F—Ff）（L+x）

B.滑块4到达木板B最左端时，木板8具有的动能为代c

C.滑块4克服摩擦力所做的功为尸也

D.滑块A和木板8增加的机械能为F（L+x）—RL

【例3】（2022•河北廊坊市摸底）一质量为小的小球，从地面附近的某高度处以初速度v水平抛出，除重力外

小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v,方向竖直向下，小球还未到达地面。

在此过程中（）

A.小球的动能增加了

B.小球的重力势能减少了2"?/

C.小球的机械能增加了2加口

D.水平恒力做功的大小大于重力做功的大小

题型五能量守恒定律的理解和应用

1.内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的

物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变.

2.表达式

AEM-AE^.3.应用能量守恒定律解题的步骤

（1）首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、

内能等.

（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少,并且列出减少的能量AE碱和增加的能量AE域的表达式.

【例1】（2022•湘豫名校4月联考）如图甲所示，在水平面上固定倾角为6=37。底端带有挡板足够长的斜面,

斜面体底端静止一质量为〃?=1kg的物块（可视为质点），从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力尸作

用，拉力尸随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，

假设物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力和碰撞时间，已知物块与斜面之间的动摩擦因数〃

2

=05,sin370=0.6,cos37°=0.8,gMX10m/sa求:

(1)物块在上滑过程中达到最大动能时拉力下的大小;

(2)物块沿斜面上滑的最大位移的大小。

【例2】(多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于3点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，

现将质量为皿的滑块压缩弹簧至。点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高

度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为加2的滑块(”2＞如)压缩弹簧至

同一点。后，重复上述过程，下列说法正确的是()

C

^77777777777777777777777777777777'

oDBA.两滑块到达B点的速度相同

B.两滑块沿斜面上升的最大高度相同

C.两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同

D.两滑块上升到最高点过程机械能损失相同

【例4】(2022•北京东城区期末)如图所示，固定斜面的倾角6=30。,物体A与斜面之间的动摩擦因数〃=乎，

轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑

轮连接物体A和B,滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2%=4kg,B的质量为山=2kg,初始时物体A

到C点的距离L=lm,现给4、B—初速度w=3m/s,使4开始沿斜面向下运动，8向上运动，物体A将

弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点.已知重力加速度g=10m/s2,不计空气阻力，整个过程中轻绳始

终处于伸直状态.求在此过程中：

」-------幽乙(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；

(2)弹簧的最大压缩量；

(3)弹簧的最大弹性势能.

【例4】如图所示，在倾角为37。的斜面底端固定一挡板，轻弹簧下端连在挡板上，上端与物块A相连，用

不可伸长的细线跨过斜面顶端的定滑轮把4与另一物体B连接起来，A与滑轮间的细线与斜面平行.己知

弹簧劲度系数Z=40N/m,4的质量叫=1kg,与斜面间的动摩擦因数〃=0.5,B的质量机2=2kg.初始时

用手托住B,使细线刚好处于伸直状态，此时物体4与斜面间没有相对运动趋势，物体B的下表面离地面

的高度/?=0.3m,整个系统处于静止状态，弹簧始终处于弹性限度内.重力加速度g=10m/s2,sin370=

0.6,cos370=0.8.

(I)由静止释放物体8,求B刚落地时的速度大小;

(2)把斜面处理成光滑斜面，再将B换成一个形状完全相同的物体C并由静止释放，发现C恰好到达地面,

求C的质量加3.

专题12机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒

目录

题型一机械能守恒的判断......................................................................14

题型二单物体的机械能守恒问题................................................................15

题型三连接体的机械能守恒问题................................................................16

类型1轻绳连接的物体系统................................................................18

类型2轻杆连接的物体系统................................................................19

类型3含"弹簧类"系统的机械能守恒.........................................................20

题型四功能关系的理解和应用..................................................................21

类型1功能关系的理解....................................................................21

类型2功能关系与图像的结合.............................................................22

类型3功能关系的综合应用................................................................23

题型五能量守恒定律的理解和应用24

题型一机械能守恒的判断

【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法

（1）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒.

（2）利用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功（或做功代数

和为0）,则机械能守恒.

（3）利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，

则机械能守恒.

【例1】（2022•广东惠州一中月考）（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，

槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）.现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A

点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（）

nQ

.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从4点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒

【答案】BC

【解析】当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右

运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从4点向半圆形槽

的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最

低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确.【例2】

如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触

弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（）

A.小球的动能一直减小

B.小球的机械能守恒

C.克服弹力做功大于重力做功

D.最大弹性势能等于小球减少的动能

【答案】C

【解析】小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹

簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速

度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始做减速运动，所以整个过程中小球加速后减速，

根据反=5"，，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做负功，小

球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹

簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒定律，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势

能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确.

【例3】（2022•湖南永州市模拟）伽利略在研究力和运动的关系的时候，采用两个平滑对接的斜面，一个斜面

固定，让小球从斜面上滚下，小球又滚上另一个倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐减小直至为零，如图1

所示。关于这个理想斜面实验，下列说法正确的是（）

B.如果没有摩擦，小球将在另一斜面上运动相同的路程

C.如果没有摩擦，小球运动到另一斜面上最高点的高度与释放时的高度不同

D.如果没有摩擦，小球运动到水平面时的机械能小于释放时的机械能

【答案】A

【解析】如果没有摩擦，小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，选项A正确，D错误；如果没有

摩擦，小球机械能守恒，小球运动到另一斜面上最高点的高度将与释放时的高度相同，选项B、C错误。

【例4】如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在。落地之前，下列说法

正确的是（不计空气阻力）（

A.在任一时刻，两球动能相等

B.在任一时刻，两球加速度相等

C.在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变

D.在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的

【答案】D

【解析】细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、。两球受力分析可知

ap>aQ,在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化,

系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；。落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的

弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确。

题型二单物体的机械能守恒问题

【解题指导】1.表达式

要选零势能

参考平面

不用选零势

能参考平面

不用选零势

能参考平而2选用技巧

在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。

3.一般步骤

班解方程求出结果，并对结果进行

［（5）解方程必要的讨论和说明

［例1］（2022•山东日照市校际联考）一般的曲线运动可

以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替,

如图3甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过4点和曲线上紧邻4点两侧的两点作一个圆，在极限情

况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径叫作A点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面成a角的方向以

某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P离地面的高度为〃，曲率半径为生忽略空气阻力，则

tana的值为（）

B.&

C.2D.4

【答案】C

【解析】在P点时，重力恰好作为向心力，满足〃吆=/，又由题意可知7?=今联立可解得「户=、传，

W即为物体抛出时速度的水平分量，设物体抛出时速度的竖直分量为上抛出时的速度为v,由机械能守恒

定律可得为"，=/咫人+夕”0,又丫2=,+可，联立可得小=’福，物体抛出时速度丫与水平面所成a角满足

tana弋，代入数据可得tana=2,C正确。

【例2】（多选）（2022•湖南株洲市检测）如图甲所示，轻绳的一端固定在。点，另一端系一小球。小球在竖直

平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力厂的大小与小球离最低点的高度人的关系如图乙所示。忽

略空气阻力，重力加速度g取10m/s2,贝ij（）

11二

01.0him

甲乙A.圆周半径为1.0m

B.小球质量为0.5kg

C.轻绳转至水平时拉力为30N

D.小球通过最高点的速度为4m/s

【答案】BD

【解析】由图可知，当〃=0时，绳的拉力为g=41N,当〃=1.0m时，绳的拉力为尸i=llN,可知小

球做圆周运动的半径火=号m=0.5m,故A错误；设小球运动到最高点时的速度为环，最低点时的速度为

V2.取最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得/〃讶+，〃82/?=/"留在最高点和最低点，分

92

别根据牛顿第二定律可知Fi+"?g=，啥，F2—mg=itr^,解得山=0.5kg,也=4m/s,故B、D正确；设轻绳

转至水平时小球的速度为v,从最高点到轻绳水平时，由机械能守恒定律可得%*+，咫ZHn5M+aigR,

解得石m/s,由牛顿第二定律可知，轻绳转至水平时拉力为尸="£=26N,故C错误。

题型三连接体的机械能守恒问题

1.解决多物体系统机械能守恒的注意点

(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用AEk=-AEp或=的形式。

2.常见的三种模型

(1)轻绳连接的物体系统模型

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

模型②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

提醒③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统,

机械能则可能守恒。

(2)轻杆连接的物体系统模型

：•八AB

f--0--QA

常见

一-°---?AB'/:10

A/21

情景J:,

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

模型②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不

特点守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，

则系统机械能守恒。

⑶轻弹簧连接的物体系统模型

模型由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物

特点体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。

①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压

两点缩。

提醒②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速

度，弹性势能最大。

类型1轻绳连接的物体系统

【例1】（2022•广东新高考模拟）如图所示，物体A、8质量相同，在倾角为30。的光滑斜面上，滑轮及绳子

质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降/z距离时的速度大小为（）

【解析】设物体A在下降人距离时的速度为办则此时B物体的速度转，由机械能守恒得mgh+mg^hsin

30。=5加+*（；）2,解得v=72gh,A项正确。

【例2】如图所示，物体A的质量为M,圆环B的质量为孙由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光

滑的竖直杆上.开始时连接圆环的绳子水平，长度/=4m.现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，

g取10m/s?.若圆环下降人=3m时的速度v=5m/s,则A和B的质量关系为（）

必MM39

--

35B.-.----15

mW25D.

/n2919

【答案】A

z,Vh

【解析】圆环下降3m后的速度可以按如图所示分解,故可得％=A、8和绳子看成一

3=后甲

个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h=3m时，根据机械能守恒定律可得mgh=MghA

+；m/+；必巾2,其中自=4"+?—/,联立可得2=需,故A正确.

【例3】（多选）如图所示，质量均为胆的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角

为6的固定光滑斜面上，而8能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L物块8从与滑轮等

高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g.在物块2下落到轻绳与水平方向的夹角为。的过

程中，下列说法正确的是（）

开始下落时，物块8的加速度大于g

B.物块8的重力势能减小量为wgLtan。

C.物块4的速度小于物块B的速度

D.物块B的末速度为、/?^°2n

\11十sin8

【答案】BC

【解析】刚开始下落时，轻绳的拉力方向沿水平方向，物块B竖直方向上只受重力，所以加速度为g,故

A错误；物块B下降的高度为〃=Ltan0,故物块B减小的重力势能为AEp=

机gland,故B正确；设物块8下落过程中轻绳与水平方向夹角为a,将物块8的速度分解为沿轻绳方向的

速度和垂直轻绳方向的速度，则w=v^=VBsina,则物块A的速度小于物块B的速度，故C正确；系统机

11/（1—cosfi\

械能守恒，故mgLtan夕一nzgxsin夕其中。一£=（4］前根据运动的合成与分解

可得VA=vi?sin夕联立解得vB=住需，故口错误•

类型2轻杆连接的物体系统

【例1】如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为机和的小球A、仇均

可看作质点），小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连。已知重力加速度为g,小球8受微小扰动从最高点

由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.A球增加的机械能大于B球减少的机械能

B.A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能

C.A球的最大速度为、/警

Q

D.细杆对A球做的功为］/ngR

【答案】D

【解析】球8运动到最低点，A球运动到最高点，两个球组成的系统机械能守恒，故A球增加的机械能

等于8球减少的机械能，故A错误；A球重力势能增加mg-2R,B球重力势能减小2〃.2兄故B错误；两

个球组成的系统机械能守恒，当8球运动到最低点时，速度最大，有2〃?&2R—〃珍2/?=品+2〃?酒解得v

='南，故C错误；除重力外其余力做的功等于物体机械能的增加量，故细杆对4球做的功等于A球机

128

械能的增加量，WW-mv2+mg-2R=:jingR+2mgR=^mgR,故D正确。

【例2】（多选）如图所示，用轻杆通过较链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为机，两段轻杆等

长.现将C球置于距地面高/?处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重

力加速度为g,则在小球C下落过程中（）

总小球A、B、C组成的系统机械能守恒

B.小球C的机械能一直减小

C.小球C落地前瞬间的速度大小为4访

D.当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg

【答案】AC

【解析】由于小球A、8、C组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，故A正确；小球8的初速

度为零，C落地瞬间，8的速度为零，故2的动能先增大后减小，而B的重力势能不变，则8的机械能先

增大后减小，同理可得A的机械能先增大后减小，而系统机械能守恒，故C的机械能先减小后增大，故B

错误：根据以上分析，设小球C落地前瞬间的速度大小为v,根据动能定理可知解得v=H，

故C正确；当小球C的机械能最小时，小球8速度最大，此时小球8的加速度为零，水平方向所受的合力

为零，杆CB对小球B恰好没有力的作用，所以地面对小球5的支持力大小为此?，故D错误.

【例3】（2022•福建南平市质检）质量分别为m和2〃?的两个小球P和