量子力学入门

量子力学入门第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第一个量子理论︰普朗克和黑体辐射

铁匠房里的高温金属加工品。橘黄色的光芒是物体因高温而发射出的热辐射之中看得见的那一部分。图片中每一样物品同样以热辐射形式散发著光芒，但亮度不足，且肉眼看不见较长的波长。远红外线摄影机可捕捉到这些辐射。热辐射即物体因其自身温度而从物体表面发射出来的电磁辐射。如果有一个物体经过充分加热以后，会开始发射出光谱中红色端的光线而变得火红。再进一步加热物体时会使颜色发生变化，发射出波长较短（频率较高）的光线。而且这个物体既可以是完美的发射体，同时也可以是完美的吸收体。当物体处于冰冷状态时，看起来是纯粹的黑色，此时物体几乎不会发射出可见光，而且还会吸纳落在物体上的光线。这个理想的热发射体就被视为黑体，而黑体发出的辐射就称为黑体辐射。第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五在19世纪末期，热辐射在实验上已有相当清晰的描述。维恩位移定律指出辐射最强处的波长，斯特藩-玻尔兹曼定律指出每一单位面积发射出的总能量。当温度逐步递增时，光的颜色会从红色转成黄色，再转成白色、蓝色。当峰值波长移向紫外线时，蓝色波长中仍有足够的辐射会发射出来，使物体持续显现成蓝色。物体绝对不会变得看不见，可见光的辐射会以单调形式逐步增强。[1]所有频率段所发射的辐射量都会增强，但较短波长处的增强幅度相对要大的多，因此在强度分布里的峰值就会移向较短的波长。

不同温度下的黑体所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说，每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常数的符号为h，其值为6.63×10−34Js，频率f的谐振子能量E为此处普朗克定律是物理学中第一个量子理论，也使普朗克荣获1918年的诺贝尔奖“为表扬普朗克对于能量量子的发现和促使物理学进步的贡献”。但当时普朗克认为量子化纯粹只是一种数学把戏，而非（我们今日所知的）改变了我们对世界的理解的基本原理。第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1690年，惠更斯提出了光的波动学说用以解释干涉和折射现象，[7]而艾萨克·牛顿坚信光是由极其微小的粒子构成的，他把这种粒子叫作“光子（corpuscles）”。由于牛顿本人的高度权威，微粒说在很长的一段时间占据着上风，1827年，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳用实验证明了光存在干涉现象，这是和“微粒说”不相容的。随着波动学说的数学理论逐渐完善，到19世纪末，无论是实验还是理论上，牛顿的理论都失去了以往的地位。1874年，乔治·强斯顿·史东尼首次提出了电荷的概念，它是带电体的基本量，不能再被拆分成更小的部分。电荷也就成为了第一个被量子化的物理量。1873年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦给出了著名的麦克斯韦方程，在理论上证明振荡的电路能够产生电磁波，这使得纯粹的通过电磁测量手段来测量电磁波的速度成为了可能。而测量结果显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是说，光也是一种电磁波。亨里克·赫兹制作了一个能够产生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。当光照射在金属表面，电子会离开初始位置逸出。这种现象的一些特点只能在光的能量不连续的假设下才能被合理解释。在一个光电设备（照相机的曝光表等），光照射在金属感应器表面使得电子逸出。增加光的强度（同一频率的光）能够让更多的电子逸出。而如果想要使电子的速度更快也就是动能更大，必须增加光的频率。因此，光强只决定了光电流的大小，也可以说是电路中电压的大小。这个现象和传统的波动模型相悖，因为传统模型是源自对声波和海洋波的研究，这个模型的结论是，振动源的初相位也就是强度大小决定了所产生波的能量大小。同时，如何让表现出光的粒子性和波动性的实验现象和谐共处的问题，也摆在了物理学家的面前。第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五从光谱学开始的突破当一束白光通过光学棱镜，光栅，锥面镜或者是雨后的彩虹时，它就被分解成了各种颜色的光。这样的光谱说明了，白光是由所有频率的有色光组成的。在受热或者是受某种能量激发时，由单一元素组成的样品能够辐射出可见光，它的光谱被称为放射光谱。光谱和元素的种类以及外界加热的温度有关。和白光的光谱不同，这种光谱是间断的，并不是从紫色到红色连续出现每种颜色，而是分别形成了一些具有不同颜色的窄带（亮线），窄带与窄带之间存在黑色暗带，这就是所谓的“线状光谱”。放射光谱的谱线能够超出可见光的范围，我们能使用特殊的照相设备和电子设备检测到它们。第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五最初，人们认为原子电磁辐射的模式是类似于小提琴的一根弦“辐射”出声波那样的--不仅仅只有一种基本频率（整个弦一起在最低频率振动，同时向一个方向运动），还应该有高频谐波（频率是基频的整数倍，弦上不同的地方位移可能相反，类似于正弦波）的成分。但如何用数学语言简洁合理的描述某种元素的谱线分布一直困扰着人们，直到1885年，才由约翰·雅各布·巴耳末给出了一个简单的公式来描述氢原子的谱线，如下：

表示波长,R是里德伯常量，而n是大于2的整数这个公式还能推广到适用于别的一些元素的原子光谱，但这不是关键的，我们感兴趣的是，为何第一个分数的分母是一个整数的平方？第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五进一步的发展便是彼得·塞曼发现了塞曼效应，随后亨得里克·洛仑兹给出了其物理解释（两人一起获得了1902年诺贝尔物理学奖）。洛伦兹假设氢原子的谱线是由电子跃迁产生的，这很容易由对原子本身的分析得到。由于运动的电子会产生电磁场，因此电子的行为就能够被外磁场所影响，就像磁铁之间互相吸引一样。若假设电子在特定的不同的轨道上跃迁时向外辐射电磁波而形成谱线，赛曼效应就得到了合理的解释。但经典物理做不到这些，它不能告诉我们电子为何不螺线状坠入原子核，不能告诉我们为何原子的轨道有辐射谱线需要的性质来描述巴尔末公式，不能告诉我们为什么电子的光谱都不是连续的。而这一切，都预示着，变革即将到来。第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五普朗克常数经典物理有一个关于黑体辐射问题的推论：当频率增大时，黑体辐射将会释放出无限大的能量（瑞利-金斯定律）。这个结论当然是荒谬的，可观测到的实验现象也是让人无法理解：黑体的辐射光谱的能量密度随着频率从零开始递增达到一个峰值（峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。1900年，马克斯·普朗克给出了一个能够解释黑体光谱实验现象的经验公式（利用数学插值法），但他不能使之和经典物理相协调。他得出的结论是，和从前大家所普遍相信的不一样，经典物理并不适用于微观世界。第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五普朗克的公式适用于任意的波长和频率的情况下，同时限制了发散的能量传输。“在经典物理里，...振动的能量仅仅取决于其振幅，而振幅的大小是没有任何限制的。”[19]他的理论导出了一个重要推论，辐射的能量和辐射的频率成正比关系，频率越高，能量越大。为了解释这个推论，他做了这样的假设：宏观的辐射源（如黑体）是由数量巨大的基本谐振子构成的，振子的频率在零到无穷大之间分布（不久以后证实了这种基本谐振子就是原子或分子），于是普朗克做了更进一步的假设：任一振子的能量“E”和它的频率“f”成正比，而且是某种整倍数关系。如下所示：

在此式里，n=1,2,3,..。“h”由普朗克首先引入的是基本物理学常数，为了纪念他的功绩，被命名为“普朗克常数”。[20]h是一个非常小的量,大约是6.6260693×10-34焦耳-秒。如果我们知道“h”和光子的频率，就能用这个方程计算出光子的能量。给出一个例子：如果一束光的频率是540×1012赫兹。那么这束光的每一个光子的能量就是“h”×（540×1012hertz）。因此光子的能量就是3.58×10-19焦,就是大约2.23电子伏特。第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五在早期关于光的研究中，存在对光的两种相互竞争的描述方式：作为波在真空中传播，或是作为微小粒子沿直线传播。普朗克表述了光的能量是量子化的，凸显出了它的粒子性。这种表述让我们明白了光是如何以量子化形式传播能量的。但是，光的波动性又是我们理解衍射和干涉之类的现象所必须的。1905年，爱因斯坦引入普朗克常量来解释光电效应而获得成功，他假设一束光是由大量的光量子（也就是后来的光子）组成的，[21]在这个前提下，一个光子具有的能量是不变的且和其频率成正比关系（不同的光子具有不同的能量）。尽管这个建立在普朗克量子化假设上的理论听起来类似于牛顿的微粒学说，但爱因斯坦的光子同时还具有频率这种性质，其能量还和频率成正比，这是和过去不一样的，但无论如何，光的“粒子说”以一种折中的方式回来了。第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五粒子和波的概念都源自于我们日常生活中的经验。我们不看“看见”单独的光子（事实上我们的观测就是利用光子来进行的），我们只能间接的观察它们的一些性质。比如我们从表面覆盖着油膜的水坑里看见光反射出各种颜色。把光看做某种波，我们能解释这种现象。[23]而对于其它一些现象，比如照相机中的曝光表的工作原理，我们又习惯把光看做某种和感光屏相撞的粒子。无论是哪种方式，我们都是在用日常生活中由经验得到的一些概念来描述那一个我们永远无法直接看到或者感知到的世界。当然，无论是波动说或者粒子说都不能让人完全满意。总的来说，任何一种模型都只是对实际情形的近似描述。每一种模型都有它适用的范围，超出这个范围后，该模型也许就不能作出精确的描述了。牛顿力学对于我们的宏观世界来说仍是足够实用的。我们应该认识到波和粒子的概念都是源自于我们的宏观世界的，我们用它们来解释微观世界在一定程度上并不合理。有些物理学家，比如班尼旭·霍夫曼使用了“波粒二象性”来描述这种微观世界的“实在”，而在接下来的讨论中，使用“波”还是“粒子”将取决于我们从哪个方向去研究量子力学的现象。第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五约化普朗克常数（狄拉克常数）普朗克常数最初只是连接光的能量和频率的比例因子。波尔在他的理论中推广了这个概念。波尔用原子的行星模型来描述电子的运动，但起初他并不理解为何2π和普朗克常数一起出现在了他推导出的数学表述中。不久之后，德布罗意假设电子也如同光子那样具有频率，而其此频率必须满足电子在特定轨道稳定存在的驻波条件。这就是说，电子波圆周运动的轨迹必须光滑的衔接起来，波峰和波谷连续分布。中间不能有间断，周长的每一段都是振动的一部分，而且波形不能重叠。很自然的我们可以得出轨道的周长“C”是波长“λ”的正整数倍。我们在知道轨道半径“r”之后就能够计算出周长，在利用周长计算出电子的波长，数学表述如下：

解出λ得:

这个方程用半径“r”表示出了决定频率和波长的轨道周长，就这样，因为半径和周长之间的固有关系，2π再一次出现在了量子力学中。第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期