逆运动学方程

逆运动学方程第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五上节知识点回顾：空间姿态的描述：1.欧拉角：Euler(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ)2.RPY角：RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ)空间位置的描述：1.圆柱坐标：Cyl(z,α,r)=Trans(0,0,z)Rot(z,α)Trans(r,0,0)2.球坐标：Sph(α,β,γ)=Rot(z,α)Rot(y,β)Trans(0,0,γ)如果机械手用变换矩阵Z与参考坐标系相联系，机械手末端执行器用E来描述，末端执行器的位置和方向相对参考坐标系用X来描述，有X=ZT6E

第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五第四章逆运动学方程

ChapterⅣInverseKinematicEquations4.1引言4.2逆运动学方程的解4.3斯坦福机械手的逆运动学解4.4欧拉变换的逆运动学解4.5RPY变换的逆运动学解4.6球坐标变换的逆运动学解4.7本章小结

第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五4.1引言(Introduction)所谓逆运动学方程的解，就是已知机械手直角坐标空间的位姿（pose）T6，求出各节变量θn

ordn

。

T6=A1A2A3A4A5A6（4.1）逆运动学方程解的步骤如下：（1）根据机械手关节坐标设置确定AnAn为关节坐标的齐次坐标变换，由关节变量和参数确定。关节变量和参数有：

an－连杆长度; αn－连杆扭转角;

dn－相邻两连杆的距离; θn－相邻两连杆的夹角。 对于旋转关节θn为关节变量，而对于滑动关节dn为关节变量。其余为连杆参数，由机械手的几何尺寸和组合形态决定。第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五（2）

根据任务确定机械手的位姿T6

T6为机械手末端在直角坐标系（参考坐标或基坐标）中的位姿，由任务确定，即式（3.37）给出的表达式T6=Z-1XE-1确定。它是由三个平移分量构成的平移矢量P（确定空间位置）和三个旋转矢量n，o，a（确定姿态）组成的齐次变换矩阵描述。（3）由T6和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn或dn。

第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五4.2逆运动学方程的解（Solvinginversekinematicequations）根据式（4.1）T6=A1A2A3A4A5A6分别用An（n＝1，2，…，5）的逆左乘式（4.1）有

A1-1T6=1T6(1T6=A2

A3A4A5A6)（4.2）

A2-1A1-1T6=2T6(2T6=A3A4A5A6)（4.3）

A3-1A2-1A1-1T6=3T6(3T6=A4A5A6)（4.4）

A4-1A3-1A2-1A1-1T6=4T6(4T6=A5A6

)（4.5）

A5-1

A4-1A3-1A2-1A1-1T6=5T6(5T6=A6)（4.6）根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可求出关节变量θn或dn。第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五

4.3斯坦福机械手的逆运动学解

（InversesolutionofStanfordmanipulator）在第三章我们推导出StanfordManipulator的运动方程和各关节齐次变换式。下面应用式（4.2）～（4.6）进行求解：第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五这里

f11=C1x＋S1y

(4.10)

f12=-z

(4.11)

f13=-S1x＋C1y

(4.12)其中

x=[nxoxaxpx]T，y=[nyoyaypy]T，z=[nzozazpz]T由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（3.48）为

C2(C4C5C6

-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6

S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S6

1T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C6

00

C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（4.13）

01第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期五比较式（4.9）和式（4.13）矩阵中的第三行第四列元素相等得到

f13（p）=d2（4.14）或-S1

px＋C1py=d2（4.15）令px

=rcosΦ

（4.16）

py

=rsinΦ

（4.17）其中（4.18）（4.19）将式（4.16）和式（4.17）代入式（4.15）有

sinΦconθ1－conΦsinθ1

＝d2/r

（0<d2/r≤1）（4.20）由式（4.20）可得

sin(Φ－θ1)＝d2/r

（0<Φ－θ1<）（4.21）

con(Φ－θ1)＝（4.22）这里±号表示机械手是右肩结构（＋）还是左肩结构（－）。第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期五由式（4.21）、（4.22）和（4.18）可得到第一个关节变量θ1的值（4.23）根据同样的方法，利用式（4.9）和式（4.13）矩阵元素相等建立的相关的方程组，可得到其它各关节变量如下：

（4.24）（4.25）（4.26）（4.27）（4.28）第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期五注意：在求解关节变量过程中如出现反正切函数的分子和分母太小，则计算结果误差会很大，此时应重新选择矩阵元素建立新的方程组再进行计算，直到获得满意的结果为止。同样，如果计算结果超出了机械手关节的运动范围，也要重新计算，直到符合机械手关节的运动范围。由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果发生变化时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理解。由此可见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五4.4欧拉变换的逆运动学解

（InversesolutionofEulerAngles

）由第三章知欧拉变换为Euler(ø,θ,ψ)＝Rot(z,ø)Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（4.29）我们用T来表示欧拉变换的结果，即T＝Euler(ø,θ,ψ)（4.30）或T＝Rot(z,ø)Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（4.31）其中

（4.32）第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五（4.33）第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五比较式（4.32）和式（4.33）有（4.34）（4.35）（4.36）（4.37）（4.38）（4.39）（4.40）（4.41）（4.42）第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五由式（4.42）可解出θ角（4.43）由式（4.40）和式（4.43）可解出φ角（4.44）由式（4.36）和式（4.43）可解出Ψ角（4.45）第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五

这里需要指出的是，在我们采用式（4.43）~式（4.45）来计算θ、φ、Ψ时都是采用反余弦函数，而且式（4.44）和式（4.45）的分母为sinθ，这会带来如下问题：

1）由于绝对值相同的正负角度的余弦相等，如cosθ＝cos（-θ），因此不能确定反余弦的结果是在那个象限；

2）当sinθ接近于0时，由式（4.43）和式（4.45）所求出的角度φ和Ψ是不精确的；

3）当θ＝0或±180º时，式（4.43）和式（4.45）无数值解。为此，我们必须寻求更为合理的求解方法。由三角函数的知识我们知道，反正切函数θ＝tan－1（x/y）所在的象限空间可由自变量的分子和分母的符号确定（如图4.1所示），因此如果我们得到欧拉角的正切表达式，就不难确定欧拉角所在的象限。为此，我们采用本章第二节的方法，用Rot(z,ø)－1左乘式（4.31）有Rot－1(z,ø)T＝Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（4.46）yx＋y＋y－x＋y－xx－y＋x－图4.1正切函数所在象限θ第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五即（4.47）将上式写成如下形式（4.48）式中（4.49）（4.50）（4.51）同样，上面三个式子中的x、y、z分别表示n、o、a、p矢量的各个分量，如（4.52）第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第3列元素可知（4.63）即（4.54）由此可得到（4.55）或（4.56）结果得到（4.57）或（4.58）第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期五上述结果相差180º，可根据实际系统的组合形态从中选择一个合理解。如果ay和ax都为0，则式（4.57）和式（4.58）无定义，这是一种退化现象，此时φ值可任意设置，如φ＝0。由于角φ已求出，比较式（4.48）等号两边矩阵第1行第3列和第3行第3列元素相等有（4.59）（4.60）或（4.61）（4.62）由此可得（4.63）第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期五同样比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知（4.64）（4.65）或（4.66）（4.67）由此可得（4.68）至此，我们求出了欧拉变换的逆运动学解。第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例：给定一个直角坐标—欧拉角型机器人的最终期望姿态，求相

应的欧拉角。第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五解：由式（4-57）得到

由式（4-63）得到

由式（4-68）得到

第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五4.5RPY变换的逆运动学解（InversesolutionofRPY）第三章介绍的摇摆、俯仰和偏转(RPY)变换的表达式如下T=RPY(ø,θ,ψ)＝Rot(z,ø)Rot(y,θ)Rot(x,ψ)（4.69）用Rot－1(z,ø)左乘上式得到Rot－1(z,ø)T＝Rot(y,θ)Rot(x,ψ)（4.70）将上式写成式（4.48）的形式（4.71）式中（4.72）（4.73）（4.74）第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五由式（4.71）等号两边矩阵的第2行第1列元素相等有（4.75）由此得到（4.76）或（4.77）角φ已求出，根据式（4.71）等号两边矩阵的第3行第1列和第1行第1列元素相等有（4.78）（4.79）由此可得（4.80）第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五进一步比较式（4.71）等号两边矩阵元素，由第2行第3列和第2行第2列元素相等有（4.81）（4.82）由此可得（4.83）

至此，我们求出了RPY的逆运动学解。第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例：下面给出一个RPY机器人手所吸取的最终位姿，求滚动角、

俯仰角和位移。第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五解：由式（4-76）得：由式（4-80），得：由式（4-83），得：第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五4.6