高数课件第九章

1复习y

=

f

(u),

u

=

j

(

x),dxdu

dx㈠偏导数、高阶偏导数㈡全微分二元函数z

=f

(x,y)三元函数u

=f

(x,y,z)dz

=

¶z

dx

+

¶z

dy¶x

¶ydu

=

¶u

dx

+

¶u

dy

+

¶u

dz¶x

¶y

¶z㈣一元复合函数的求导法则：极限存在连续偏导数存在可微㈢多元函数f

(x,y)且连续dy

=

dy

du2zxdz

=

¶z du

+

¶z

dvdx

¶u

dx

¶v

dxu

=

j

(

x),

v

=y

(

x)⑴

z

=

f

(u,

v)z

=

f

[j

(

x),y

(

x)]uzxv特别的：z

=

f

(

x,

u),

u

=

f(

x)dz

=

¶f

+

¶f

dudx

¶x

¶u

dxdz

=

¶z

du

+

¶z

dv

+

¶z

dw

dx

¶u

dx

¶v

dx

¶w

dxzxu推广：

z

=

f

(u,

v,

w

),

u

=

j

(x),

v

=y

(x),

w

=

k

(x)uvw第四节多元复合函数的求导法则¶z

=

¶z

¶u

+

¶z

¶v=

+¶y

¶u

¶y¶x

¶u

¶x

¶v

¶x¶z

¶z

¶u

¶z

¶vuzvxy⑵

z

=

f

(u,

v),

u

=

f(

x,

y),

v

=

j

(

x,

y)¶z

=

¶z

¶u

+

¶z¶v

+

¶z

¶w¶x

¶w

¶x¶v

+

¶z

¶w¶y

¶w

¶y¶x

¶u

¶x

¶v¶z

=

¶z

¶u

+

¶z¶y

¶u

¶y

¶v¶v

¶y推广：

z

=

f

(u,

v,

w),

u

=

j

(

x,

y),

v

=y

(

x,

y),

w

=

f(

x,

y)zxyuvw3连锁法则4三、小结多元复合函数求导法则多元复合函数的求导方法：不论所给复合函数形式如何，先作出所给函数的链式图，①复合函数的自变量有几个，则求偏导的公式中就相应有几个；②链式图中从复合函数到达自变量的路线有几条，公式中就有几项相加；③每条路线有几段，相应的项就有几个偏导数（或导数）因子相乘（从变量出发时，不分岔，则为导数（d）；若分岔，则为偏导数(¶)）。简记：分段用乘,

分岔用加,

单路用d,岔路用¶。特别的:

z

=

f

(u,

x,

y),

u

=

j

(

x,

y),

则z

=

f

[j

(

x,

y),

x,

y],¶z

=

¶f

¶u

+

¶f

,¶x

¶u

¶x

¶x¶z

=

¶f

¶u

+

¶f

¶y

¶u

¶y

¶y¶x注意:

¶z

是在

z

=

f

[j

(

x,

y),

x,

y]中视

y为常量，对

x求偏导,¶x¶f

是在z

=f

(u,x,y)中视u,y为常量，对x

求偏导。类似有¶z

与¶f

的区别.¶y

¶yuzxy5解

令

u

=

x

+

y

+

z,

v

=

xyz,

则

w

=

f

(u,

v)=

f1

+

yz

f

2wuvxyz例6

设

w

=

f

(

x

+

y

+

z,

xyz),

f

具有二阶连续偏导数，求,¶x

¶x¶z¶w

¶2

w.（此类函数称之为抽象函数）2¶vf

¢=

¶f

,1¶u引进记号：f

¢=¶f

,¶x

¶u¶x¶w

¶f

¶u=

+¶f

¶v¶v

¶x6注意f1

和f2

仍为复合函数。¶2

w¶x¶z

=¶x¶

¶w

¶z21yzf¢(f

+

)¢¶¶z=¶z=¶f

1¶z+

yf

2

+

yz¶f

21fuvxyzf2¢=¶z

¶u¶f1¢

¶f11211+

xyf¶v

=

f=¶z

¶u¶u

+

¶f1¶z

¶v

¶z¶u

+

¶f2¶z

¶v

¶z¶f2¢

¶f22221+

xyf¶v

=

f11¶u¶f1¢¢,1¶v¢¶f=

,

f12

=¢221¶u¢¶ff

¢,7¶v¶f2¢=

,

f22

=¢引进记号：f它们当然仍为复合函数。¶x¶z8\¶2

w¶z¶f2=

1

+

yf¶z¶f+

yz

2

+

yz(

f21

+

xyf22

)=

f11

+

xyf12

+

yf21211=

f

+

y(

x

+

z

)

f22+

xy

2

zf

¢¶z2

¶f1¢¶x¶y¶2

z\=

f1¢1¢

1

+

xf1¢2¢+

f

2¢+

f

2¢1¢

1

+

xf

2¢2¢=

f11

+

(

x

+

1)

f12

+

f

2

+

xf

22;例7

设z

=f

(x

+y,xy)有二阶连续偏导数，求:解z2¶z

¶2

z¶x

¶x¶y1

xy1f2¢f

¢+

f

¢+

y¶y2=

¶f

1

¶f

2=

f

1

+

yf¶x

1

21

2¶x

¶y

¶y

¶

z

=

¶

(f

¢+

yf

¢)1

+

xf2¢¢29=

f2¢¢1¶y¶y¶f2¢=f

1

+

xf¶y

11

12(2

2

),

其中

f

具有二阶导数,

求

,

,

.¶x

2

¶x¶y

¶y

2¶2

z

¶2

z

¶2

zz

=

f

(u)uyx解

设

u

=

x

2

+

y

2

,f

¢(u)uyx¶2

z¶x2¶2

z¶y2¶x¶y¶2

z例8

设z

=

f

x

+

y课本9

-4:

11.¶z

=

df¶x

du

¶x¶u

=

2

xf

¢¶z

=

df

¶u¶y

du¶y

=

2

yf

¢=

2

f

¢+

2

x=

2

f

¢+

4

x2

f

¢.=

2x=

4

xyf

¢.¶f

¢¶xdf

¢

¶udu

¶xdf

¢

¶udu

¶y=2

f

¢+

2

y=

2

f

¢+

4

y2

f

¢.df

¢

¶udu

¶y10xx¶z+

y

=

z

+

xy.¶z¶x

¶yF

(u)ux证

方程两边同时对

x

求偏导,

得:¶xydFx

du方程两边同时对

y

求偏导,

得:¶y

du¶z

=

x

+

xdF

1

dFx

=

x

+

du则

x

¶z

+

y

¶z

=

xy

+

xF

(u)-

y

dF

+

xy

+

y

dF

=

z

+

xy.¶x

¶y

du

du课本9-4:

9.11

2x

-

y

=

y

+

F

(u)-

ydu¶z

=

y

+

F

(u)+

x

dF例9

设

z

=

xy

+

xF

(u),

而

u

=

y

,

F

(u)为可导函数,

证明P85

题8(2)¶x1¶u

=

f1y=

1

f

¢¶y¶u

=

f12+

f¶z2¶u

=f1

2zy2=

-

x

f

¢+

1

f

¢2z2=

-

y

f

¢①

②x

yy

z12¶x1¶z

=

f2+

f=¶x¶y¶2

z13P134

题11¶x¶

y¶2

z求+

e

y

[f

1¢¢1+

f

¢

]+

f

21uf1

f2①

②

③x

yx

y+

f

2313解:由补充1.

已知求①f两边对x

求导,得x②14(+

f2

(

x,

f

(

x,

x))

]x

=

1=

2,¶x

(1,1)¶

fj

(x)=f

(x,f

(x,x)),

求在点处可微,且2.

设函数f

(1,1)

=

1,=

3,¶

y

(1,1)¶

f解:由题设j

(1)=f

(1,f

(1,1))=f

(1,1)=1d

j

3

(

x)

=

3j

2

(

x)

djdx x

=

1

dx x

=

1=

3[f1(

x,

f

(

x,

x))=

3

[2

+

3

(2

+

3)

=

5115(2001考研)dz

=

¶z

d