第5章511课时函数概念

第5章

函数概念与性质5.1

函数的概念和图象第1课时

函数的概念成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．01必备知识·情境导学探新知知识点1

知识点2如果用y

表示年度值，i

表示中国创新指数的取值，则i

是y

的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？知识点1函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有

唯一

的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为

y＝f(x)，x∈A

函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，

所有的x

(输入值)组成的集合A叫作函数y＝f(x)的定义域函数的值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合

{y|y＝f(x)，x∈A}

称为函数的值域[提示]

不对．符号

y＝f(x)是“y

是

x

的函数”的数学表示，应理解为x

是自变量，它是关系所施加的对象，f

是对应关系．[答案](1)×(2)√(3)×知识点2

同一个函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数就是同一个函数．

(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．

(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．[提示]

不一定是，如函数

y＝x，x∈[0,1]，和

y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．A

[A中定义域，对应关系都相同，是同一个函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]02关键能力·合作探究释疑难类型1类型2

类型3类型4[思路点拨]

求解本题的关键是判断在对应关系

f

的作用下，集合A

中的任意一个元素在集合B

中是否都有唯一的元素与之对应．[解]

(1)对于

A

中的元素，如

x＝9，y

的值为

y＝±

9＝±3，即在对应关系f之下，B

中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．A

中元素x＝0

在B

中没有对应元素，故不能构成函数．依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A

中的每一个元素在对应关系f

之下，在B

中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．对于集合A

中任意一个实数x，按照对应关系在集合B

中都有唯一一个确定的数0

与它对应，故是集合A

到集合B

的函数．判断一个对应关系为函数的标准A、B必须是非空实数集.A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.提醒：函数中两变量x，y

的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.x－2③A＝R，B＝R，f：x→y＝

1

；④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝

2x－1．②[对于①项，x2＋y2＝1

可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，

y

值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，

2∈A，但在集合B

中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B

中找不到与之相对应的数，故不符合．][解]

要使

f(x)有意义，则有

3x－2>0，3∴x>2，23即

f(x)的定义域为

，＋∞．(2)f(x)＝x＋1＋12－x．[解]

要使

f(x)有意义，则x＋1≥0，2－x≠0⇒x≥－1

且x≠2，即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．求函数定义域的常用方法若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.[跟进训练]2．求下列函数的定义域：x＋2(1)f(x)＝

x＋4＋x0＋

1

；x＋4≥0，[解]

要使

f(x)有意义，则x≠0，x＋2≠0，解得x≥－4

且x≠0，x≠－2，即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．(2)f(x)＝

x2－2x－3；[解]

要使

f(x)有意义，则

x2－2x－3≥0，解得

x≥3

或

x≤－1，即f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(x＋1)2(3)f(x)＝

x＋1

－1－x．[解]

要使

f(x)有意义，自变量

x

的取值范围必须满足x＋1≠01－x≥0即x≤1

且x≠－1，即f(x)的定义域为{x|x≤1

且x≠－1}．[思路点拨]

(1)将

x＝2，a，a＋1

代入

f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．[解]

(1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，f(a)＝a2－4a＋2，f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1．(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2．[母题探究]在例3

中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．[解]

f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3．函数值f(a)就是a

在对应关系f

下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x

用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．[跟进训练]3．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2．(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；[解]

因为

f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20．因为g(x)＝1x＋2，a＋2

0＋2

a＋22所以

g(a)＋g(0)＝

1

＋

1

＝

1

＋1(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋212＝

1．(2)求g(f(x))．[解]

g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x

是什么？[提示]

f(x)的定义域指的是

x

的范围，其中

x

是函数的自变量．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？[提示]

y＝f(x＋1)中自变量为

x，其定义域指的是

x

的范围．

(1)[－1,2]

(2)[3,6]

(3)2，

7

2[(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈2，

7

2，

7

2即f(2x)的定义域为2，．]抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x

)的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x

)中a≤g(x)≤b，从中解得x

的取值范围即为f(g(x

)的定义域.(2)已知f(g(x

)的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x

)的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么)②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来[跟进训练]4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为

．[－5,0]

[对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]学习效果·课堂评估夯基础031．下列函数中，与函数y＝x

是同一个函数的是()A．y＝x2B．y＝x2C．y＝|x|D．y＝3

x3x2D

[函数

y＝x

的定义域为

R；y＝

的定义域为[0，＋∞)；y＝

x2＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝3

x3＝x，且定义域为R．]B

[由函数的定义可知，一个x

的值只能对应一个y

的值，而选项B

中一个x

的值可能对应两个y

的值，故不是函数图象，故选B．]3．函数

y＝x2－2x

的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(

)A．{－1,0,3}C．{y|－1≤y≤3}B．{0,1,2,3}D．{y|0≤y≤3}A

[当x＝0

时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当