2023年上海市浦东新区高三二模数学试卷(含答案)

浦东新区2023学年度第二学期质量抽测

高三数学试卷答案2023.4

注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校'班级、姓名、考号填写清楚.

2.本试卷共有21道试题，总分值150分，考试时间120分钟.

一、填空题〔本大题共有12小题，总分值54分〕只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分,

7-12题每个空格填对得5分，否那么一律得零分.

ZJ—>-KO〃—[

2.不等式上<0的解集为.(0,1)

x-1

3.{q}是等比数列，它的前〃项和为S“，且《=4,4=-8,那么$5=.11

4..广。)是函数f(x)=log2(x+l)的反函数，那么Ji(2)=.3

5.(五+，)9二项展开式中的常数项为.84

X

x=2cose

6.椭圆1一二’(。为参数)的右焦点为______.(1,0)

y=\/3sin0

x+2y«4

7.满足约束条件，2；73的目标函数/=3x+2y的最大值为.4

”0

8.函数/(x)=cos：!x+追•sinZx.xeR的单调递增区间为.kn-Jkn+：,keZ

9.抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。当水面下降1米后，水面的宽为米。4娓

10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。一孙z中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,

0),那么该四面体的体积为

3

11./(%)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+8)上是增函数，如果对于任意xe[l,2],

/(成:+l)W/(x—3)恒成立，那么实数。的取值范围是.[-1,0]

12.函数/(幻=/一5》+7.假设对于任意的正整数〃，在区间1,〃+2上存在加+1个实数

n

4使得/(4)>/(4)+/(a2)+L+/(《“)成立，那么山的最大值为.6

二'选择题(本大题共有4小题，总分值20分)每题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的,

选对得5分，否那么一律得零分.

13.方程d-px+GO的两虚根为X1，w，假设引=1,那么实数p的值为()A

A.±>/3B.±V5C.>/3,^D.土土加

14.在复数运算中以下三个式子是正确的:⑴忆+Z2区㈤+区|，⑵|4勾=|讣区|,⑶

ZZ,z,z;

(z,-Z2),3-I(23)相应的在向量运算中，以下式子：(1)a+b<|«|+|/7|,(2)|a-/?|=|«|-|z?|,

(3)(ab)-c=a(bc)；正确的个数是()B

A.OB.IC.2D.3

15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”

是“到蓬莱"的()A

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

16.设尸，。是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到。的函数y=/(幻满足：

(1)(2={/(X)|XGP}；(2)对任意々‘々eP，当罚<%2时，恒有/(西)</(电)；

那么称这两个集合构成“尸fQ恒等态射"。以下集合可以构成“尸,Q恒等态射"的是()D

A.R―ZB.Z―Q

C.(O,1)D.(1,2)->R

三、解答题〔本大题共有5小题，总分值76分〕解答以下各题必须写出必要的步骤.

17.(此题总分值14分，此题共有2个小题，第⑴小题总分值7分，第

(2)小题总分值7分)A

圆锥40的底面半径为2,母线长为2J记，点C为圆锥底面圆周上的一/：\

点，。为圆心，。是钻的中点，且NBOC=(；/；

(1)求圆锥的全面积；/_j\

(2)求直线CD与平面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)A/

解：(1)圆锥的底面积号=乃r=4%.........3分

圆锥的侧面积S2=7rrl=4JIILr........3分

圆锥的全面积S=E+邑=4(1+回)兀.........1分

TT

(2)QZBOC=-:.OC±OB且OC_LO4,OC_L平面AO3........2分

.•.NCZJO是直线8与平面AOB所成角1分

在向VCOO中，OC=2,OD=M,.........1分

tanZCDO=——,/.ZCDO=arctan——.........2分

55

所以，直线。与平面AOB所成角的为arctan®。..........1分

5

18.（此题总分值14分，此题共有2个小题，第（1）小题总分值6分，第⑵小题总分值8分）

在AABC中，边a,"c分别为角A3,C所对应的边。

2c(2asinA

(1)假设］+(2b—a)sinB求角C的大小;

sinC

(2asinA

(2)假设sinA=&,C=—,c=百，求△ABC的面积。

53

解：(1)由

2c(2a-A)sinA

I+(2/?-a)sinB=0=>2csinC=(2a-h)sinA+(2h-tz)sinB；2分

sinC

(2〃-/?)sinA

由正弦定理得2c2=(2a—h^a+(2h—a^h,/.c2=/+〃-ah,.........2分

.♦.C+i=2分

2ab

,、_!_・44不rac8

(2)由sinA=—,c=j3,且-----=-----，a=-；2分

5sinAsinC5

.「2乃..3

由a<cA<C=—9cosA——,2分

35

3也-4

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2分

10

。1.n18-8后八

••SMBC=]Casm8=———。.......2分

19.（此题总分值14分，此题共有2个小题，第（1）小题总分值6分，第⑵小题总分值8分）

双曲线C:/一>2=1；

（D求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；

（2）假设经过点m-D的直线与双曲线C的右支交于不同两点M,N,求线段MN的中垂线/在y轴

上截距/的取值范围.

解：⑴玛(&,o).......i分

渐近线x±y=0.....1分

R=T......2分

(x-V2)2+r=1；...........2分

(2)设经过点B的直线方程为y="—1,交点为Ma,y),N(w,%)...........1分

2

x—y=122

由4.=>(l-^~)x24-2AX-2=0,.............1分

y=kx-l

%2wi

那么<△>°=>1<攵<^2

2分

+x2>0

x}x2>0

MN的中点为(二—7),.......1分

1—K1—K

11k

得中垂线7T=_；*+74T).....1分

1-k~kI-k~

-22

令x=0得截距/=^^=-^>2..........2分

\-k2k2-l

即线段MN的中垂线/在y轴上截距t的取值范围是(2,+00).

20.(此题总分值16分，此题共有3个小题，第⑴小题总分值4分，第⑵小题总分值6分，第⑶小

题总分值6分)

函数》=/(x)定义域为R,对于任意XGR恒有f(2x)=-2/(x)；

(1)假设/(1)=-3,求/(16)的值；

(2)假设xe(l,2］时，/(x)=X2—2x+2,求函数y=/(x),xe(l,8］的解析式及值域；

(3)假设xe(l,2］时，/(x)=-x-1,求y=/(x)在区间(l,2"］,〃eN*上的最大值与最小值.

解：1)Q/(l)=-3Ji/(2x)=-2/(x)

.•./(2)=-3-(-2).........1分

/(22)=-3-(-2)2.........1分

/(23)=-3.(-2)3.........1分

/(16)=/(24)=-3-(-2)4=-48.........1分

2)/(2x)=-2/(x)nf(x)=-2/(j)

xe(l,2]时，/(X)=X2-2X+2=(X-1)2+1,

/U)e(l,2].........1分

YY1

xe(2,4]时，f(x)=-2/(-)=-2[(--1)2+1]=--(x-2)2-2,........1分

/«G[-4,-2).........1分

Y1jr1

xe(4,8],/(x)=-2/(-)=-2[---2)2-2]=-(x-4)2+4).........1分

/(x)e(4,8].........I分

(X—1)2+1,尤6(1,2]

/U)=<-1(X-2)2-2,X6(2,4],

得:

1

29

_(x-4)+4,xe(4,81

4

值域为[T,—2)J(1,2](4,8].........1分

3)/(2x)=-2f(x)nf(x)=-2/(j)

当尤e(l,2]时，/(x)=-x—T得：当xe(2,22]时，/(x)=—2f《)=k—3|

1分

v*

当xe(2"T,2"]时，^q-e(l,2],

/(X)=-2/($=(-2)2/(?)=L(一2广"(券)=一(一2尸向—T=(一1)"卜一3.2冒

…2分

当xe(2"T,2"],〃为奇数时，/(©=一卜一3-2"2"[_3_,0]

当xe(2"T,2"],〃为偶数时，/(x)=|x-3-2n-2|e[0,y]

综上：〃=1时，/(x)在(1,2］上最大值为0,最小值为-g.........1分

n>2,〃为偶数时，/(x)在(1,2"］上最大值为二，最小值为一”..........1分

48

n>3,〃为奇数时，/(处在(1,2"］上最大值为方,最小值为一日..........1分

21.(此题总分值18分，此题共有3个小题，第⑴小题总分值4分，第⑵小题总分值6分，第⑶小

题总分值8分〕

数列｛。“｝中q=1,前〃项和为S“,假设对任意的〃eN*,均有S„=an+k-k｛k是常数，且々eN*)

成立，那么称数列｛%｝为“"(%)数列"；

(1)假设数列｛q｝为“”(1)数列"，求数列｛q｝的前"项和S.；

⑵假设数列｛%｝为““⑵数列"，且生为整数，试问：是否存在数列｛4｝，使得|42-4",/<40

对一切“22/wN*恒成立？如果存在，求出生的所有可能值；如果不存在，请说明理由；

(3)假设数列｛%｝为“”(左)数列"，且q=/=L=%=l,证明：当〃22攵+1时，

"XT•

解：⑴数列｛4｝为“"(1)数列”，那么S“=4+「1,故S,+i=a,+2—l，

两式相减得：/+2=24+1,.............1分

又〃=1时，ax=4Z2—1,所以g=2=2q,..........］分

故见+i=2。“对任意的”wN*恒成立，即巴出^=2(常数)，

a”

故数列｛%,｝为等比数列，其通项公式为凡=2"T,〃eN*；..........1分

S,,=2"-l,〃wN*...........1分

Sn—an+2-2

(2)］=>«„=a-a=>a=a+a(neN*)

Ic*=4+3-2+|ll+3n+2n+3n+2n+｝

=>/+2=+a“(〃>2,neN*)1分

当“22,〃wN”时,

因为。〃+1一""=。"-1，（〃？3,〃€27*）成立,

2aaaa

那么«n+|~nn+2=n-\n+\?3,"GN*)成立；

那么|q+j-a,M.+21一4-口,用I,(〃N3,〃eN*)....