2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学（文）试卷含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学（文）试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1>已知集合4={x|》一2>1},B={xlx>a］,若则。的取值范围为（）

A.(-00,3)B.(-oo,3]C.(3,4-co)D.f3,4-oo)

2、若复数z满足z+2^=3+i,则z=()

A.1+iB.-3+iC.-3-iD.l-i

3、在等差数列｛%｝中，/+%=4=16,则｛q｝的公差d=()

Q1n

A.-B.3C.—D.4

33

3x—5y+320,

4、若实数x,y满足约束条件,2x+y+2N0,则2=%+>的最大值为()

5x-4y-8<0,

A.-2B.lC.7D.9

5、随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2022

年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和

旅游方式，如图所示，则下列说法不正确的是（）

A.估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%

B.估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%

C.估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半

D.估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多

6、函数y=e%in|x|在区间［-2兀,2兀］上的图象大致是（）

7、在正方体ABC。-中，E,F,G分别为AA1,B£,G"的中点，则异面

直线OE与FG所成角的余弦值为（）

8、已知直线％=-。是函数”x）=2sin（2x+0）（附〈四）图象的一条对称轴，则/（%）在

62

0,^上的值域为（）

A.[-l,l]B.[l,2]C.（-l,2]D.[-l,2]

9、等比数列｛q,｝的各项均为正数，且a4a5=8，则log44+log4a2++log4«8=（）

A.8B.6C.4D.3

10、在棱长为2的正方体A6CO—AgG2中，M，N,尸分别为84，CD,AB的中

点，则三棱锥B-MN尸的外接球的体积为（）

A.#B.yf6TtC.y/3TlD.2血兀

11、设a=l.l,A=e。/，c=lnl.le,则（）

X.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c

r2v2

12、已知O是坐标原点，尸是双曲线及二-七的左焦点，平面内一

a"b"

点用满足是等边三角形，线段“尸与双曲线上交于点N,且|MN|=|N/|,则

双曲线E的离心率为()

AV13+1口V13-1「2厉+2n2厉+1

3277

二、填空题

13、已知向量a=(x,3),b-(6,-8),若a_Lb,则|。|=.

14、南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的

轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的

深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

15、2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人开展

应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为.

16、已知函数=2+ox-alnx,若恒成立，则a的取值范围为

三、解答题

17、在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知。=工，

4

3a2-3c2=b2.

⑴求tan8的值；

(2)若a=8,求△ABC的面积.

18、赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植

株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：ng/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现

通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10,20,30,40,50的种子各20粒，并跟踪

每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y(单位：粒)，得到的数据如

下表：

赤霉素含

1020304050

量X

后天生长

的优质数237810

量y

(1)求y关于x的线性回归方程；

⑵利用⑴中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数

量.

X(x..-x)(x-y)

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=J----------，

i=l

a=y-bx.

19、如图，P为圆锥的顶点，AB,CO为底面圆两条互相垂直的直径，E为的中点.

(1)证明：平面平面PCD

(2)若AB=4,且直线CE与平面PC。所成角的正切值为亚，求该圆锥的体积.

20>已知函数/(x)=xlnx+x3.

(1)求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若y(x)2i对任意的XN加恒成立，求〃?的取值范围.

2

21、已知椭圆上+>2=1,斜率为2的直线/与椭圆交于A,8两点.过点3作的垂

2

线交椭圆于另一点C,再过点。作斜率为-2的直线交椭圆于另一点D

(1)若A为该椭圆的上顶点，求点8的坐标；

(2)证明：直线AO的斜率为定值.

22、［选修4-4：坐标系与参数方程］

在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为卜c°sa，(&为参数).在以坐标原

y=1+J2sina

点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于0,A两点.

(1)求曲线。的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)若直线/的极坐标方程为。=；,曲线C与直线/相交于。，8两点，求△OAB的面

积.

23、［选修4-5：不等式选讲］

已知函数/(x)=|x+〃|+|x-3|.

(1)当。=2时，求不等式的解集；

(2)若不等式/(x)4ga+5的解集非空，求。的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：因为A={x|x>3},A^B,所以aW3.

2、答案：D

解析：设2=。+诩，a,b&R,则z+2z=3“一万=3+i,解得a=l,b--l,故z=l—i.

3、答案：A

Q

解析：因为/+%=G=2%=16,所以%—%=3。=8,则d=§.

4、答案：C

解析：作出不等式组所对应的可行域（图略），可知当直线2=%+〉经过点（4,3）时，取

得最大值7.

5、答案：D

解析：设2022年到该地旅游的游客总人数为a,

由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a,0.35m0.45a,

其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04m0.0875a,0.135a,

所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为0.35a+0.45a=0.8a,所以

A正确；

因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数为

0.04a+0.0875a+0.135a=0.2625a,所以B正确；

因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.2625a,其中青年人的人数为

0.135a,所以C正确；

因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为0.135a,而到该地旅游

的老年人的人数为0.2a,所以D错误.

6、答案：B

解析：因为/（一%）=』%也|一工|=*5也|月=/@）,所以函数/（X）为偶函数，排除A,

C.

又/图=4x（-1）<0,所以排除D.故选B.

7、答案：B

解析：连接80,BE（图略），则NBDE即为异面直线OE与尸G所成角.

设正方体的棱长为2,则8£=。E=君，BD=26,

则cosNBDE=空=典，即异面直线OE与尸G所成角的余弦值为典.

IDE55

8、答案：D

解析：由题可知，一]+°=^+也，keZ,即c=1+E,丘Z.因为网•所以

71

(P=--・

6

由04xW二，W-—2x--<—,则2sin(2x-21e[-1,2].

2666\6J

9、答案：B

1(46

解析：因为a4a5=8，所以logg%+log4a2++>§4«8=log48=log44=6.

10、答案：B

解析：由题知M7/BC,因为BCJ_平面,所以NF_L平面AABg,

因为"Eu平面4A6瓦，所以NF_LW,又MBLBN,

所以RtZ\NFM和有公共的斜边MN,

设MN的中点为O,则点。到M,N,B,尸的距离都相等，

所以点。为三棱锥3-MN/外接球的球心，MN为该球的直径，

所以2R=dB(j2+CN”+BM?=<4+1+1=«,R=—,

2

该球的体积V=g•兀=gx(等•171=>/6?1.

11、答案：A

解析：令/(x)=e'—x—1,贝廿"(x)=e'—l.当x>0时，/,(x)>0,当x<0时，

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，在(-应0)上单调递减，

11_r

所以/(0.1)=e0J-1.1>/(0)=0,即。〉〃.令g(x)=Inx—r+1,则g\x)=——1=---

xx

当x>l时，g<x)<0,当0<xvl时，gr(x)>0,

所以g(x)在(1,+OO)上单调递减，在(0,1)上单调递增,

所以g（l.l）=lnl.l+l-Ll<g（l）=O,得即c<a,^Lc<a<b.

12、答案:A

解析：设双曲线E的右焦点为尸2，连接（图略），

因为△<>正是等边三角形，所以|M/q=|O/q=c,ZOFM=60°.

又|MN|=|NF|,所以|N/q=：.

132

在△FN8中，|NE『=|NFT+\FF2f-2\NF\]FF\COSZNFF=一C,

224

则|NK|=^C,则2a=加用一店用="|二^,则工=4V13+1

V13-1-3

13、答案：5

解析：因为a_Lb,所以6x—24=0,解得尤=4,则|a|="T于=5.

14、答案：—

8

解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系,

依题意可得A的坐标为e,3）设抛物线的标准方程为x2=2py（p>0）,

则以=6p,解得p=2.故该抛物线的焦点到准线的距离为—cm.

488

15、答案：-

5

解析：记另外3人为a,b,c,从这5人中任意选出2人，总事件包括（甲,乙），

（甲,a）,（甲力）,（甲,c）,（乙,a）,（乙力），（乙,c）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,

共10种情况，其中甲、乙2人中恰有1人被选中的事件包括（甲,a）,（甲⑼，（甲,c）,

（乙,a）,（乙力），（乙,c）,共6种情况，故所求的概率为2=|.

16、答案：^-00,-1

解析：.f(x)«0等价于e-*M"''—a(—x+lnx)«0,令r=-x+Inx,则U=-]+1=...

当xe(0,l)时，f>0；当x£(l,4w)时，「<0.故/40转化为e'-a/<0,即

a<—.

t

令g(0=£,f4—l,则g«)=£D<0,则g⑺Ng(—1)=」，故a的取值范围

tte

为.(1_QO,__11.

17、答案：(1)tan3=3

(2)ZV18C的面积为24

解析：(1)因为3a2-3c2=/,所以3sin2A-3sin2c=sin2瓦

■JT1

因为。=々，所以3sin2A—3x±=sin28,即一3cos2A=2sh?8.

42

因为A+8=3,所以—3cos2A=—3COS(3TT—28]=3sin2B=2sin2B.

4【2)

因为sin28=2sinBcos3,且sinB。。，所以tan3=3.

(2)因为tan3=3,所以$拘8=独0,cosB=—.

1010

2亚

因为C=:,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-.

因为a=8,所以Z?=""n"=6A/^,

sinA

iiPy

所以△ABC的面积为一MsinC=—x8x6A/2X=24.

222

18、答案：(l)y=0.2Lx-0.3

(2)优质数量为615

皿「小一10+20+30+40+50“-2+3+7+8+10/

解析：(l)x=--------------------------=30,y=-------------------=6.

55

E(x,.-x)(y-y)=210,E(x(-x)"=1000,

/=!/=!

,.210-.一

则由=----=0.21,a-y-bx--Q.3.

1000

故y关于x的线性回归方程为y=0.2lx-0.3.

(2)将x=60,代入y=0.21x—0.3,得到y=12.3,

则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为1000x^=615.

19、答案：(1)证明见解析

⑵该圆锥的体积为导

解析：(1)证明：设A8与CO交于点。，连接PO.

因为AB,CO为底面圆两条互相垂直的直径，所以。为底面圆的圆心,

所以PO为圆锥的高，所以尸。_L底面圆.

因为CDu底面圆，所以

又ABPO=O,所以C£)_L平面布8.

因为cr>u平面PCD,所以平面2钻，平面PCD

(2)解：过E作所，PO于R连接CF.

C

由(1)知平面E45_L平面PC。，且平面PA8'平面PC£)=PO,

所以，EF_L平面PC。，

所以ZECF为直线CE与平面PCD所成的角，则tanZECF=*.

1FF1

因为AB=4,所以EE=—OB=1,所以tan/ECF=—=—=—,

2CFCF5

则CF=6,

所以PO=2OF=2j5-22=2.

故该圆锥的体积为,X7ix22x2=迎.

33

20>答案：(l)4x-y-3=0

(2)初的取值范围为［1,+8)

解析:(l)/r(x)=lnx+3x2+l,/\1)=4,/(1)=1.

曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y-l=4(x-l),即4x-y-3=0.

(2)f(x)>1,即Inx+x2——>0.

x

令h(x)=lnx+x2,即〃(x)20对任意的xN恒成立.

x

h'(x)=-+2x+-^>Q,所以A(x)在(0,+oo)上单调递增.

XX

因为〃⑴=0,所以当XN1时，/z(x)>0,所以，m>l.

故m的取值范围为［1,+oo).

21、答案：(1)点8的坐标为\|,-彳］

⑵证明见解析

解析：⑴解：设直线AB的方程为y=2x+/,因为点A的坐标为(0,1),所以7=1.

2

将y=2x+l代入三+丁=i,得9》2+8犬=0,

解得x=0或x=-§,

9

所以点8的横坐标为纵坐标为2乂(-n+1=_工.

9I9j9

故点3的坐标为（-§,-工

I99

丫2

⑵证明：设网办方），直线A3的方程为＞=2（%-%）+币代入5+y2=i,得

9%2+8（y-2%）x+2（y-2%）“-2=0,

则％=_^21^5}一玉，yA=2{xA-x]）+y],

可得点A的坐标为（7x[8x,-4x：7y）,

2

设。仁,必），直线CO的方程为＞=一2（%-々）+%，代入三r+丁=1，得

22

9x-8（y2+2x2）x+2（y2+2x2）-2=0,

则芍=81'2；2乜）一々,%=一2（而-々）+%，可得点。的坐标为

（7々+8%4x-7y）

I9922y

由％BC=_g，得M_%=_；（%一%2）-