第8章一阶电路

第8章 一阶电路主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶电路（RC电路、RL电路）的时间常数；3.零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量；4.三要素法；5.阶跃响应、冲激响应。§8-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。根据KCL、KVL和支路方程式（VAR）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（ RC电路、RL电路）。动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。换路：电路或参数的改变引起的电路变化。t 0：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到0+；0：换路前的最终时刻；0：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL，KVL和VAR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。电路独立初始条件： uC(0)和iL(0)。二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压tqC(t)qC(t0)t0iC()d1tuC(t)uC(t0)Ct0iC()dqC(0)qC(0)00iC()duC(0)uC(0)10取t00,t0,则iC()dc000若iCM(有限），则iC()d0，且qC(0)qC(0)uC(0)uC(0)电容上电荷和电压不发生跃变！①若t0时，qC(0)q0,uC(0)U0,则有qC(0)q0,uC(0)U0,故换路瞬间，电容相当于电压值为U0的电压源；②若t0时，qC(0)0,uC(0)0,则应有qC(0)0,uC(0)0,则换路瞬间，电容相当于短路。2.电感的磁链和电流L(t)L(t0)tuL()dt01tiL(t)iL(t0)Lt0uL()d取t00,t0，则0L(0)L(0)0uL()diL(0)iL(0)10uL()dL00()d0L(0)若uLM（有限），则uL且iL(0)0,不发生跃变！①若t0时，L(0)0,iL(0)I0，则有路瞬间，电感相当于电流值为I0的电流源；②若t0时，L(0)0,iL(0)0，则应有

L(0)iL(0 ) 电感的磁链和电流L(0 ) 0,iL(0 ) I0, 故换L(0 ) 0,iL(0) 0, 则换路瞬间，电感相当于开路。3.独立初始条件 uC(0)和iL(0)：由t0时的uC(0)和iL(0)确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。初始值计算（例6-1 PP125）。4.确定初始值的方法①取独立电源 t 0时的值；② 把电容用 uSuC(0)的电压源代替，把电感用 iSiL(0)电流源代替；③画出 t 0 时的等效计算电路；④列方程求解电阻电路可得其他初始值。§8-2 一阶电路的零输入响应零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。一、RC电路的零输入响应电路的微分方程为RCduCuC0t0dtuC(0)U0tduCU0ti(t)CeRCt0uC(t)U0eRCt0dtRs1这里，特征方程RCs+1=0，特征根RC，时间常数RC。i(0U0①t0，换路时，i(0)0)，但R，电流发生跃变；②时间常数 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；t0时，uC(0)U0e0U0；t时,uC()U0e10.368U0。t0uC(t0)e1ⅰ）经过常数，总有uC(t0)U0e0.368uC(t0)ⅱ)过渡过程的结束，理论上t；工程上t(35)。③指数曲线上任意点的次切距长度ab都等；t0abuC(t0)U0euC'(t0)t01((U0e))RC，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；⑤能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。例6-1：下图所示电路中，t 0时，开关S由a投向b，在此以前电容电压为U0，试求0时，电容电压及电流。t解：uC(t)U0et0duCUt0i(t)CdtR1R2et0时间常数ReqC,ReqR1R2,从C左端看进去的入端电阻。例－：电路如下图，t0时打开开关S，求uab(t),t0。62解：t0时，开关尚未断开瞬间，uC(0)12V,i(0)0(隔直)；t0时，开关刚断开瞬间，uC(0)uC(0)12V。tuC(t)uC(0)et0其中ReqC,Req为c,d两端向右看的等到效电阻，Req12。tuC(t)12e12Vt0将电容用电压源uC(t)进行替代后，得电阻网络如上图，则uC(t)t1e12Ai(t)Reqi1(t)4i(t)0.25e124i2(t)12i(t)0.75e124

t12t12

AAtuab(t) 4i1(t) 3i2(t) 1.25e12V二、RL电路的零输入响应电路的微分方程及其解为diLRiL0t0LdtiL(0)I0(因电感电流不能跃变)tLiL(t)I0et0时间常数RdiLtuL(t)RI0eLdtL由R，L越小，或R越大，则电流、电压衰减越快。零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性；②零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的；③零输入比例性，若初始状态增大 倍，则零输入响应也相应地增大④特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。

倍；§8-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。一、 RC电路的零状态响应电路的微分方程为duc1CdtRuCISt0uC(0)0通解为uCuCh(t)uCp(t)tuCh(t)KeRCt0uCp(t)QRISt0t∴uC(t)uCh(t)uCp(t)KeRCRISt0其中uC(0)KRIS0KRISttuC(t)RISeRCRISRIS(1-eRC)t0①uCp(t)为强制分量，与外施激励的变化规律有关，又称稳定分量；uCh(t)(对应齐次方程的通解)取决于特征根，与外施激励无关，也称为自由分量，自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。例6－3：在下图所示电路中，t0时，开关S由a投向b,并设在t0时，开关与a端相接为时已久，试求t0时，电容电压及电流，并计算在整在整个充电过程中电阻消耗的能量。解：uC(0 )i(t)WR又因

USuC(0)0；uC(t)RduCUStCeRCt0dtR22t2RC)eUSeRCdtUS(0RR2WC1CUS2，可见2

t tR(1-eRC) US(1-eRC) t 02t1CUS2能量与R的大小无关RC02WCWR二、 RL电路的零状态响应类似于RC电路，可求出零状态响应为RtiL(t)US(1eL)t0R①当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，由此可确定电容电iL()相当于L支路的短路电流压或电感电流稳态值；稳态值uC()相当于C支路的开路电压；②固有响应，微分方程通解中的对应齐次方程的解，因其随时间的增长而衰减到零，又称为暂态响应分量；③强制响应，微分方程通解中的特解，其形式一般与输入形式相同，如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响应；④RC、RL电路，输入DC，贮能从无到有，逐步增长，所以， uC,iL从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长；⑤零状态比例性，若外施激励增大 倍，则零状态响应也增大 倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定理求出零状态响应。例6－4：在下图所示电路中， t 0时，开关S闭合，求 iL(t),i(t)。解:S1：求 iL(t),可用戴维南定理将原电路化简Uoc61815V,Req(1.2//6)451.26iL()Uoc3AL10ReqReq2sS2：，5tiL(t)3(1e2)At0三、 RL电路在正弦电压激励下的零状态响应RiLdiUmcos(tu)电路方程：dt通解为ii'i''i''tLAe,（特征方程LpR0）自由分量：R强制分量：i'Imcos(t)为方程Ri'Ldi'Umcos(tu)的特解dtImUm,ZR2(L)2Z这里：u,tg1LRIm,也可由教材PP138的待定系数法求出。Umcos(titu)AeZiL(0)iL(0)0AUmcos(u)由ZUmcos(Umcos(utitu)-)eZZuRRiRUmcos(tu)-RUmcos(u)eZZuLLdiLt90)-RUmcos(uUmcos(dtZZ

tt)e①强制分量 i'与外施激励按相同的正弦规律变化；t②自由分量i''随时间增长而趋于零，自由分量指数函数e前的系数Umcos(u)Z与有关，即与开关闭合的时刻有关。uAUmcos(u)0,i''0a,若开关闭合时，则Z2,ii'Umcos(t90)Z故开关闭合后，无自由分量，仅有强制分量，电路中不发生过渡过程而立即进入稳定状态。AUmcos(u)Um,b,若开关闭合时，u，则ZZi''UmetZUmcostUmtieZZR0,,Ti2Im2UmtZ；③很大（2），i''衰减极其绶慢，2,RL电路与正弦电流接通后，在初始值一定的条件下，电路的过渡过程与开关动作的时间有关。8-4一阶电路的全响应1.独立电源作用于线性动态电路时，零状态响应为各个独立电源单独作用时所产生的零状态响应的代数和 ；2.具有初始储能的储能元件可用电源和未储能的元件组合来替代，因此，由初始状态和输入共同作用适合运用叠加定理 。t-通解uC(t)KeRCRISt0又因uC(0)KRISU0KU0RIS-t1uC(t)RIS(U0RIS)eRCt0()RC-t令IS，可得零输入响应uC1(t)U0e0令，可得零状态响应-tU0uC2(t)RIS(1e)原图中0ttt---显然uC1(t)uC2(t)U0eRIS(1e)RIS(U0RIS)euC(t)-t-t所以uC(t)uC1(t)uC2(t)U0eRIS(1e)即完全响应=零输入响应+零状态响应①零输入响应是初始状态的线性函数；②零状态响应是输入的线性函数。线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和初始状态分别作用时所产生的响应的代数和，也即，全响应是零输入响应和零状态响应之和。3.完全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应-tuC(t) (U0 RIS)e RIS完全响应=暂态响应（固有响应）+强制响应（稳态响应）①暂态响应：随时间按指数规律衰减，衰减快慢取决于固有频率；②稳态响应：常量（不随时间变化） , 取决于外加输入；在有损耗的动态电路中，在恒定输入作用下，一般可分两种工作状态 —过渡状态和直流状态，暂态响应未消失期间属于过渡期。例6-5：下图所示电路中，t0时，恒定电压US12V加于RC电路，已知uC(0)4V,R1,C5F，求t0的uC(t)及iC(t)。t零输入响应：uC1(t)-4e零状态响应：uC2(t)-t12(1e)-t暂态响应：uC3(t)Ke稳态响应：uC4(t)uC()12V解：S1：求uC(t)-t-t-tuC(t)uC1(t)uC2(t)4e12(1e)128eV或uC(t)uC3(t)uC4(t)12Ke0.2t128e0.2tV其中KuC(0)-uC4(0)4128S2：求iC(t)iC(t)CduC51.6e0.2tAt0dt零输入响应与暂态响应变化模式是相同的，都是按同一指数规律衰减的，但具有不同的常数；暂态响应是齐次方程的解，其常数 K是在得出完全响应后，再行确定的，因而它必然与稳态响应有关，也就是与输入有关。零输入响应与输入无关，它的常数只与初始条件有关。4.三要素法（适用于直流输入）①输入为直流时,在例6－5中,uS(t)US为常数，有t-uC(t)KeτUS且U12,KuC(0)-US8tuC(t)uC()uC(0)uC(-)euC(t)是uC(0)，uC()和三个参量所确定的，只要算得这三个参量，就可根据上式把解答直接写出，不必求解微分方程。②一阶电路中，任一电压或电流可按上法确定。设电路中有个直流电压源和β个直流电流源，根据叠加定理ujk(t)K0uC(t)KkUSkHkISkk1k1tK0uC()(uC(0)uC())eKkUSkHkISkk1k1tujk()ujk(0)ujk()eujk()K0uC()KkUSkHkISk其中k1k1ujk(0)K0uC(0)KkUSkHkISkk1k1a、直流一阶RC电路，任何结点电压ujk(t)或任何支路电流ij(t)均按指数规律变化，且与uC(t)有相同的时间常数；b、同理，直流一阶RL电路中，任何结点电压ujk(t)或任何支路电流ij(t)也是按指数规律变化的，且与iL(t)的时间常数相同。③三要素法：求得电压、电流的初始值、稳态值和时间常数后，直接写出其解答式的方法。a、初始值的求取：用电压为uC(0)的直流电压源置换电容，用电流为iL(0)的直流电流源置换电感，画出t=0+时的等效电路（直流电阻电路），可求出任一电压ujk(0)或电流ij(0)；b、稳态值的求取：用开路代替电容或用短路代替电感，画出t=∞时的等效电路（直流电阻电路），可求出任一电压ujk()或ij()；c、时间常数的求取：求出戴维南或诺顿等效电路中等效电阻Req，则ReqC或LReq；td、写出解答式：f(t)f()f(0)f()et0例6-6:求下图所示电路中开关打开后各电压、 电流的初始值（换路前电路已处于稳态）。uC(0)10306V3020解：uC(0)uC(0)6Vi1(0)0,i(0)106iC(0)0.2mA,uR(0)Ri(0)4V20k例6-7:求下图所示电路在开关闭合后，各电压、电流的初始值，已知开关闭合前，电路已处于稳态。iL(0)102A解：14iL(0)iL(0)2Ai(0) 10A,i1(0) i(0) iL(0) 8A,uR(0) 10V,uR1(0) 8VuL(0)4iL(0)8Vt0的电路中，只需求uC(0)或iL(0)，其他各电压电流都没有必要去求，因为换路后，这些量可能要变，只能在t0的电路中再确定。例6-8：①若已知i(0)5A,i()10A,2s,试绘出电流i(t)按指数规律变化的波形图，并写出i(t)的表达式；②若已知i(0)5A,i()10A,3s，重复①中所求。tt解：(1)i(t)i()i(0)i()e1015e2At t(2) i(t) i( ) i(0) i( )e 10 15e3 A§8-5一阶电路的阶跃响应单位阶跃响应：单位阶跃函数输入的零状态响应。1.单位阶跃函数0 t 0-(t)1 t 0延时单位阶跃函数 (t t0)0 t t(t t0)1 t t

-02.阶跃函数表示电源作用3.阶跃函数可用来“起始”任意一个 f(t)f(t)(tf(t)tt0t0)tt0_04.阶跃函数表示电路响应（时不变性）tuC(t) RIS(1 e ) (t)如果IS延迟t0再作用于电路，则uC'(t)tt0RIS(1e(tt0)5.阶跃函数和延时阶跃函数可表示分段常量信号，脉冲率等f(t) (t) (t t0)例6-9: 试用阶跃函数分别表示下图中的脉冲串、正负脉冲和梯形信号。解：①f1(t)(t)(tt0)(t2t0)(t3t0)(1)k(tkt0)k0②f2(t)(t)2(tt0)(t2t0)③f3(t)A1(tt0)(A2A1)(tt1)A2(tt2)例6-10: 求下图所示零状态 RL电路在图中所示脉冲电压作用下的电流 i(t), 其中L 1H,R 1 。解：∵u(t)A(t)A(tt0)∴根据叠加定理A(1ttt0i(t)i'(t)i''(t)e)(t)A(1e)(tt0)et)Re(tt0))RA(1(t)A(1(tt0)例6-11:RC电路如下图所示，已知 u(t) 5(t 2)V,uC(0) 10V，求电流 i(t)。解：S1：零输入响应i'(t)S2：零状态响应

i'(t)tuC(0)e (t) 5e0.5t(t)Ri''(t)t2i''(t)5e(t2)2.5e0.5(t2)(t2)Ri(t)i'(t)i''(t)5e0.5t(t)2.5e0.5(t2)(t2)①：阶跃响应s(t)：单位阶跃输入的零状态响应；②：把一阶电路在直流输入情况下的零状态响应公式中输入令为 (t)，可获得单位t阶跃响应；如：RC一阶电路中，令US(t)，则单位阶跃响应uC(t)(1e)(t)；③：为了表示此响应公适用于t0，可在结果后乘以阶跃函数；④：任意直流激励下的零状态响应，只需把阶跃激励乘以该直流激励的量值。§8-6 一阶电路的冲激响应一、冲激函数1.单位冲激函数(t)是一种奇异函数，又称为狄拉克（Dirac）函数(t)0t0(t)dt12.单位脉冲函数p(t)0t-或tp(t)221-2t2①脉冲函数Kp(t)所围的面积为K，其高度为K；②(t)函数可看成单位脉冲函数p(t)的一种极限，当一个单位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的幅度越来越大，当0时，幅度就变为无限大，但其面积仍为1；(t)函数是用一种集中的（离散的）瞬时作用的效应来代替一种平均的持续作用的效应。④冲激函数 (t)是一种理想化的波形，是一种宽度极为窄小但具有极大幅度的脉冲波形的近似， (t)函数可以严格地用“广义函数”的概念来理解。3.单位延时冲激函数(tt0)0tt0(tt0)dt1二、冲激函数的性质1.冲激函数是阶跃函数的导数t(t)()dt1t0d(t)()d0t0(t)dt2.筛分性f(t)(t)f(0)(t)f(t)(t)dtf(0)(t)dtf(0)(t)dtf(0)f(t)(t t0)dt f(t0)例6-12：试计算:(1)t(t1)；(2)t(t1)dt；(3)cos(t)(t)dt03；(4)cos(t3)(t)dt0。解：(1)t(t1)(t1)(2)-f(t)(tt0)dtf(t0)(tt0)dtf(t0)(tt0)dtf(t0)-令f(t)t，t01，f(t0)1，故得t(t1)dt1(3)cos(t)(t)dtcos()10332(4)0cos(t)(t)dt0因t0未包含在积分限内3三、电容电压和电感电流的跃变1.电容电压的跃变1uC(t) uC(t0)C

tiduC(0)uC(010t0-)idt∴C0-①若在t0时，有冲激电流Qi(t)流经电容,则uC(0)1QuC(0-)C否则uC(0)uC(0-)若无冲激电流，电容电压不能突变②若在t0时，流过电容的电流为单位冲激电流i(t)，则uC(0)1uC(0-)C2.电感电流的突变iL(t)iL(t0)1tiL(0)iL(01Lud∴-)t0L①若在t0时，施加于电感的冲激电压为Ψu(t)，则iL(0)iL(0-)1ΨL

0udt0-否则iL(0)iL(0-)若无冲激电压，电感电流不能突变②若在t0时，施加于电感的端电压为单位冲激电压u(t),则iL(0)iL(01-)L例 6-13：1μF 电容两端电压如下图所示，求电容电流并绘波形图，已知u(t)50e-105tV，0t5106S。解：设电容电压、电流参考方向一致，u(t)在t0和t5s时波形不连续，因此在这两个时刻有冲激电流t0，冲激强度，A1CuC(0)uC(0-)106505105Ct5s，冲激强度，A2CuC(5)uC(5-)106(30.3)3.03105C在0t5106iCdu10650105e105tAS期间dt例6-14：电路如下图所示，开关在t0时打开，打开前电路已处于稳态，求t0时,电路的电流以及t0时电路的电流，并求开关电压uS(t)。解：t 0时，电路已稳定，故iL1(0-) 3A,iL2(0-) 3A开关打开后的瞬间，两电感电流必须相等，即iL1(0)iL2(0)iL(0)3iL1(0)3(t)6iL2(0)(3)(t)0,(0)(0)iL1(0)iL2(0)iL(0)1AiL(t)(12et)(t)AiL1(t)3(t)(12et)(t)AiL2(t) 3(t) (1 2et) (t)AuS(t) 18 6iL1 3diL1 12 (t) (12 6et) (t) Vdt①：换路后，纯电容或仅由电容及电压源构成的回路中，