第九章平面解析几何6节

6考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问

Fl(lF)的距离相等的点的集合叫作抛物线.Fl叫作抛物线的准线.y2＝2pxy2＝2pxpF 2， －2， [微点提醒2p，通径是过焦点最短的弦 判断下列结论正误(平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物 方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝1，是焦点在y 答 (2)× 2.(选修1－1P38练习1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程 2解 2m＝4y2＝－9 答

(选修1－1P38A7改编)y2＝8xF5 数为2.答 4.(2018·黄冈联考)y2＝4x的距离为4，则m的值为 B.－3或 C.－2或 解析y2＝4xF(1，0)x＝m∴m＝－3答 5.(2019·福州调研)y2＝8xPy4P线焦点的距离是)解析lx＝－2，FPPA⊥yAPAlB，则|AB|＝2.Py轴的4|PB|＝4＋2＝6＝6.答 有公共点，则直线l的斜率的取值范围 解 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜00＜k≤1k的取值范围是答 考点 抛物线的定义及应12【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x2－y2－x2＝( 12 (2)(2019·豫南九校联考)y2＝4xl，PP到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是 5 5

5解 5 21212121知x2＝2y1，x2＝2y2，∴x2－x2＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x2－y2－x2＝(y1－y2)＋(x2－21212121(2)PlPF＝4x3x＋4y＋7＝0∴Pl的距离与P3x＋4y＋7＝0F(1，0)的距离， 答 规律方 应用抛物线定义的两个关键2(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋p或2＋p＋1(1)动圆过点(1，0)x＝－1 (2)(2017·Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ 解析(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方(2)M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点By∵MFN 又答 考点 抛物线的标准方程及其性2(1)C：y2＝4xFlxAM

上，当|MF|＝2时，△AMF的面积为 22 22(2)C1：x2＋(y－2)2＝4C2：y2＝2px(p>0)，C1C2＝5两点，且 8 C2的 ＝5

B.y＝5

＝5 D.y＝5 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则|MA|＝2＝|MA|＝

cos2cos∠AMP＝22则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，M(m，4m)，则由|MP|＝|MA|得|m＋1|＝m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为

(2)由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方y＝kx(k>0)，

4 2C1(0，2)AB

22－5

5把

＝＝

5或 5 5所以抛物线C2的 5答 规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位2(1)y2＝2px(p>0)F交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的 22 22 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为3，故p＝|CF|＝1，即p＝3，从而抛物线的

答 考点 直线与抛物线的位置关 探角度 直线与抛物线的公共点(交点)问CH.

求(2)HMHC是否有其它公共点？说明理由 NMP故直线ON的方

＝ty2＝2px

NOH的中点，即|OH|＝2.(2)MHCH直线MH的 px，即y2＝2pxy2－4ty＋4t2＝0，y1＝y2＝2t，

＝pMHC所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.角度2 【例3－2】(2019·调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过MCA，BCA，BN.(1)NABp(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程. (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2＝2py

则A，B处的切线斜率乘积为 p2(2)AN

＝Ay＝2p ∴y1＝1，∴b＝1－1＝－1 切线AN的

x－1.2 .2同理切线BN的 又∵NyANyBN

2

，2p ＝|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2＝，＝，NAB

S

＝p（pk2＋2）3≥2 ∴2故抛物线C的方规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解 解 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不kl1kl2直线的斜率为－1k11由

y 设 同理得∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4≥8＋2当且仅当1＝k2k＝±1时取等号.故|AB|＋|DE|的最小值为答 [思维升华抛物线定义的实质可归结为“一动三定”MF(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).p y2，于简化计算

2P(x0，y0)y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p；若过焦点ABA(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可2[易错防范y＝ax2(a≠0)y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为＝mx直线与抛物线结合的问题，记验证判别式数学抽象——数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.ABy2＝2px(p>0)FA(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p2p(αAB1 1 ＋

(F是抛物线的焦点 1y2＝4xFlA，B两点，若 2 2

[一般解法]直线l的斜率存在，设为k，则其方由

因为|AF|＝2|BF|xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②2由①②2所以 由对称性不妨设点A在x轴的上方如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝mlθ，cosθ＝|AE|＝1tanθ＝22.sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝8y2＝4x 2p＝4，故利用弦 |AB|＝2p 法 因为|AF|＝2|BF|，1＋1＝1＋1＝3＝2＝1，解得 故答 8B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( 84A.34

B.9

44 y＝4x－4

3 4y2－12故

[应用结论]2p＝3，及|AB|＝得|AB|＝2p 8ABd＝|OF|·sin8S

答

A，BlCFAC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为() 33 33 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，2解得p＝2，所以抛物线的方2A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p＝x1＋1＝4x1＝3y1＝23所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝2＝3，所以直线3的方y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以＝10，|AB|＝x1＋x2＋p＝16 32 2

x1x2＝4＝1x2＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋3＋2＝3法 答

3(建议用时：40分钟 48 48解 答

若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( 22

2解 2 y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴线段MN 的横坐标为答 4 433

3或 D.4或2解 2 3AxFA的倾斜角为3答 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若A·B＝－12，则抛物线C的方 2解析由题意，设抛物线 y2＝2px(p>0)，直线 x＝my＋p，联2 xy2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根设A(x1y1)B(x2y2)

＝

，得＝舍负，即

m 2

抛物线C的方答 5.(2019·中原联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为 2解析由题意知p＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于2答 l24米.1米后，水面 米解 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方A(2，－2)x2＝－2pyp＝1x2＝－2y.B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米.6答 6一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长 解 由抛物线 x＝－3， 为直线AF的斜率为－3，所以直线AF的 y＝－x＝－3时，y＝33A－3，3

PA⊥l，AP3 根据抛物线的定义可知答

2C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)2.C2：x的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的

解 a所以b＝3，所以渐近线 3x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦a

抛物线C2的方答 y2＝2px(p>0)22A(x1，y1)，(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若C＝A＋λBλ的值 (1)抛物线y＝2px的焦点为所以直线AB的 y＝2

y＝22－由 消去y得所以 ＝4由抛物线定义得4＋p＝9所以抛物线的方(2)p＝44x2－5px＋p2＝0，x2－5x＋4＝0，x1＝1，x2＝4y1＝－22，y2＝4A(1，－22)，B(4，4C＝A＋λB＝(1，－2C为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，λ2－2λ＝0λ＝0λ＝2.x2x Ⅰ卷)A，BC：y＝4上两点，AB(1)AB(2)MC上一点，CMABAM⊥BM，求直AB的方程. (1)设 44x1≠x2，y1＝1，y2＝44 于是直线AB的斜率 ＝ (2)y＝4设 ，由题设知2设直线AB的方AB y＝x＋my＝4xΔ＝16(m＋1)>0m>－1时，x1，2＝2±2从而|AB|＝2|x1－x2|＝4由题设知|AB|＝2|MN|42（m＋1）＝2(m＋1)，m＝7.所以直线AB的方(建议用时：20分钟11.(2019·合肥一模)y2＝8xFA，B＝3 2 ，则∠AFB＝33π3

463解 设4633∵|AF|＋|BF|＝232 ∴3|AB|≥2mn，∴mn≤3|AB|在△AFB

3|AB| cos

3∴∠AFB的最大值为3答 324PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比 32422

解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方，即

都过点P(2，－1)，则lAB：x＝－1＋ylAB过定点 S 2 则 ＝1212答

13.已知抛物线方y2＝－4x，