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文档简介
湖南省衡阳八中、澧县一中2024学年高三数学第一学期期末经典模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则()A. B.C. D.2.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.3.设函数,则,的大致图象大致是的()A. B.C. D.4.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离5.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.06.世纪产生了著名的“”猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘加,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输入正整数的值为,则输出的的值是()A. B. C. D.7.已知α,β是两平面,l,m,n是三条不同的直线,则不正确命题是()A.若m⊥α,n//α,则m⊥n B.若m//α,n//α,则m//nC.若l⊥α,l//β,则α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,则l//β8.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.10.阅读下侧程序框图,为使输出的数据为31,则①处应填的数字为A.4 B.5 C.6 D.711.已知复数,若,则的值为()A.1 B. C. D.12.若为虚数单位,则复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则________,________.14.某校初三年级共有名女生,为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况,统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个.15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.16.为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量与时间的函数关系为(如图所示),实验表明,当药物释放量对人体无害.(1)______;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,,其前n项和为.(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.18.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).19.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.20.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求最大的正整数,使得.21.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.22.(10分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】
画出图形,以为基底将向量进行分解后可得结果.【题目详解】画出图形,如下图.选取为基底,则,∴.故选C.【题目点拨】应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,基底可以有无穷多组,在解决具体问题时,合理选择基底会给解题带来方便.(2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.2、A【解题分析】
根据复数乘除运算法则,即可求解.【题目详解】.故选:A.【题目点拨】本题考查复数代数运算,属于基础题题.3、B【解题分析】
采用排除法:通过判断函数的奇偶性排除选项A;通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【题目详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为,其关于原点对称,因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,故选A排除;对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4、B【解题分析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r5、C【解题分析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【题目详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【题目点拨】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.6、C【解题分析】
列出循环的每一步,可得出输出的的值.【题目详解】,输入,,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数不成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,成立,跳出循环,输出的值为.故选:C.【题目点拨】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.7、B【解题分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识,判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理,判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【题目详解】A.若,则在中存在一条直线,使得,则,又,那么,故正确;B.若,则或相交或异面,故不正确;C.若,则存在,使,又,则,故正确.D.若,且,则或,又由,故正确.故选:B【题目点拨】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断,属于基础题.8、B【解题分析】
利用换元法设,则等价为有且只有一个实数根,分三种情况进行讨论,结合函数的图象,求出的取值范围.【题目详解】解:设,则有且只有一个实数根.当时,当时,,由即,解得,结合图象可知,此时当时,得,则是唯一解,满足题意;当时,此时当时,,此时函数有无数个零点,不符合题意;当时,当时,,此时最小值为,结合图象可知,要使得关于的方程有且只有一个实数根,此时.综上所述:或.故选:A.【题目点拨】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法,数形结合是解决本题的关键.9、C【解题分析】
根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【题目详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.10、B【解题分析】考点:程序框图.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环求S的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答案.解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i<5时退出,故选B.11、D【解题分析】由复数模的定义可得:,求解关于实数的方程可得:.本题选择D选项.12、B【解题分析】
首先根据特殊角的三角函数值将复数化为,求出,再利用复数的几何意义即可求解.【题目详解】,,则在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.故选:B【题目点拨】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【题目详解】,故.故答案为:;.【题目点拨】本题考查了诱导公式和二倍角公式,属于简单题.14、【解题分析】
根据数据先求出,再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【题目详解】解:,.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.15、【解题分析】
设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【题目详解】设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,如图所示因为,,所以,,,又二面角的大小为,则,,所以,设外接球半径为R,则,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱锥外接球的表面积.故答案为:.【题目点拨】本题考查三棱锥外接球的表面积问题,解决此类问题一定要数形结合,建立关于球的半径的方程,本题计算量较大,是一道难题.16、240【解题分析】
(1)由时,,即可得出的值;(2)解不等式组,即可得出答案.【题目详解】(1)由图可知,当时,,即(2)由题意可得,解得则为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.故答案为:(1)2;(2)40【题目点拨】本题主要考查了分段函数的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),证明见解析;(2)【解题分析】
(1)首先利用赋值法求出的值,进一步利用定义求出数列的通项公式;(2)首先利用叠乘法求出数列的通项公式,进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围.【题目详解】(1)数列满足,,其前项和为.所以,,则,,,所以猜想得:.证明:由于,所以,则:(常数),所以数列是首项为1,公差为的等差数列.所以,整理得.(2)数列满足,,所以,则,所以.则,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【题目点拨】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,叠乘法的应用,函数的单调性在数列中的应用,基本不等式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于中档题型.18、(1);(2);(3).【解题分析】
(1)利用导数的几何意义计算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.【题目详解】(1)因为,所以,当时,,所以切线方程为,即.(2),.因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以实数的取值范围是.(3).因为函数在区间上有两个极值点,所以方程在上有两不等实根,即.令,则,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,解得且.又由,所以,且当和时,单调递增,当时,单调递减,是极值点,此时令,则,所以在上单调递减,所以.因为恒成立,所以.若,取,则,所以.令,则,.当时,;当时,.所以,所以在上单调递增,所以,即存在使得,不合题意.满足条件的的最小值为-4.【题目点拨】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题.19、(1)平均数为360,众数为330;(2)见详解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解题分析】
(1)将图中甲公司员工A的所有数据相加,再除以总的天数10,即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数.从中发现330出现的次数最多,故为众数;(2)由题意能求出的可能取值为340,360,370,420,440,分别求出相对应的概率,由此能求出的分布列和数学期望;(3)利用(1)(2)的结果,可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【题目详解】解:(1)由题意知甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为.众数为330.(2)设乙公司员工1天的投递件数为随机变量,则当时,当时,当时,当时,当时,的分布列为204219228273291(元);(3)由(1)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元)由(2)估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元).【题目点拨】本题考查频率分布表的应用,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.20、(1)(2)1008【解题分析】
(1)用基本量求出首项和公差,可得通项公式;(2)用裂项相消法求
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