图像频域变换

图像频域变换1图像变换图像可以看作是一个矩阵，所谓图像变换，就是通过变换矩阵，将图像矩阵变换成另一个矩阵。变换后的矩阵能得到某些图像的信息。图像变换必需满足一下三个条件：变换是可逆的变换后能给图像的进一步运算带来方便变换的算法简单，最好有快速算法2常用的图像变换方法傅立叶变换离散余弦变换沃尔什变换小波变换Hough变换Radon变换空间域变换域3傅立叶变换傅立叶是法国科学家，生于1768年，因为他的任何一个周期函数都可以通过正弦函数组合而来理论而出名。傅立叶变换将空间域与频率域联系起来，一个空间域的序列通过傅立叶变换得到对应的频域的序列。通过反变换亦能得到原始的序列。4

连续函数的傅立叶变换

1.一维连续函数的傅立叶变换

令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为

若已知F(u)，则傅立叶反变换为

式（1）和（2）称为傅立叶变换对。f（x)是原函数；F(u)是f(x)的频谱函数

)1)()(2=ò¥¥--dxexfuFuxjp)2)()(2=ò¥¥-dueuFxfuxjp5这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。

)5)](2)(2[)(21+=uIuRuF振幅)82sin2cos2-=-uxjuxeuxjppp)7])()([tan)(1=-uRuIuf相位)6)()()()(222+==uIuRuFuE能量)4)2sin()()(ò-=¥¥-dxuxxfuIp虚部)3)2cos()()(ò=¥¥-dxuxxfuRp实部62.二维连续函数的傅立叶变换

傅立叶变换很容易推广到二维的情况。图像是二维的，如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2(11)φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)](12)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)13)òò=òò=¥¥-+¥¥-+-)10),(),()9),(),()(2)(2dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxjpp73离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。

将序列表示成f(x)=f(x0+x△x)()即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。8被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为

F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。9傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：10

例如：对一维信号f(x)=[1010]进行傅立叶变换。由得u=0时，

u=1时,11u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)==Af(x)xy1-1j-j122.二维离散函数的傅立叶变换(图像的傅立叶变换)数字图像是二维离散函数，在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为

F(u，v)=(14)式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。

f(x，y)=(15)式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。13DFT:discreteFouriertransformFFT:fastFouriertransform快速傅立叶变换对图像的尺寸要求：M=2nN=2nY=fft2(X)Y=fft2(X,m,n)14Matlab提供的函数Matlab提供了傅立叶变换函数，格式为：Y=fft2(X)：快速傅立叶变换函数X:输入图像Y：二维傅立叶变换矩阵，输入图像X和输出图像Y大小相同。Y=ifft2(X)：快速傅立叶逆变换函数X:输入图像Y：二维傅立叶变换矩阵，输入图像X和输出图像Y大小相同。举例15傅立叶频谱的获得：S=abs(F);将变换的原点移到中心：Fc=fftshift(F);颠倒居中：F=ifftshift(Fc);[即：将最初位于矩形中心的函数转换为中心位于左上角的函数]傅里叶逆变换：f=real(ifft2(F));16imshow(I,n)

显示灰度级为n的图像，n缺省为256。imshow(I,[low,high])以灰度范围[low,high]显示图像，如果不知道灰度范围，可以用imshow(I,[])显示。17显示图像傅立叶变换频谱读取图像图像矩阵格式转换快速傅立叶变换到频域(或将零点移到中心)求幅值，并对幅值做归一化处理数据格式转换，显示频谱18傅立叶逆变换获得傅立叶变换矩阵Ff=ifft2(F)求f的实部或模数据格式转换，显示图像19202122傅立叶变换的物理意义傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。23灰度图像频谱图像灰度变化剧烈程度小,对应图像中平坦的区域。变换越平缓，能量越小，则在频谱图像中显示黑色低频灰度变化剧烈程度小，对应图像的边缘或噪声。变换月剧烈能量就越大，则在频谱图像中显示白色高频24频谱图像从能量与频率两部分来看：1、变换之后的图像四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅值比较大）2、若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。25如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。26傅立叶变换的性质27

1.分离性例如式(14)可分成下面两式:å-=-=-=10)181...10]/2exp[),(1),(NyNvNvyjyxfNvxF，，，på-=-=-=10191,...,1,0,]/2exp[),(1),(NxNvuNuxjvxFNvuF）p28xyxvxv1-D离散傅立叶变换29一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。先沿f(x,y)列方向求一维离散傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)沿行的方向求一维离散傅立叶变换得到F(u,v)302平移性当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，傅立叶变换的幅值不变当频域F(u,v)产生相移时，相应的f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变结论：如果将图像的频谱原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)，只要将f(x,y)乘上(-1)x+y进行傅立叶变换即可在数字图像处理中，为了清楚分析傅立叶变换情况，常常需要将F(u,v)的原点移到NXN方阵的中心313．周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)（16)傅立叶变换存在共轭对称性

F(u，v)=F*(-u，-v)(17)这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。324.旋转性质

平面直角坐标改写成极坐标形式：做代换有：如果被旋转,则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：33345分配与比例性f(x,y)在空间尺度的展宽f(ax,by),对应于在频域尺度上的压缩，其幅值也减小为原来的1/ab35(6)函数平均值36原图离散傅立叶变换后的频域图例如数字图像的傅立叶变换37傅立叶变换在图像处理中的应用去噪图像压缩图像增强边缘检测3839原图原图频谱图增加纵轴某一谱段的强度傅立叶逆变换的结果40离散余弦变换傅立叶变换的参数是复数离散余弦变换(DCT)是以一组不同频率和幅值的余弦函数和来近似一幅图像，它实际上是傅立叶变换的实数部分dct2(),计算图像的二维离散余弦变换idct2()，计算图像的二维离散余弦逆变换41数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。

高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散余弦变换变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输