立体图形的认识

立体图形的认识1、长方体和正方体的认识长方体和正方体的特征的比较如下图：2、圆柱和圆锥的认识（1）圆柱：一个长方形以一边作轴旋转360°，所得到的立体图形叫做直圆柱，简称圆柱。圆柱的侧面展开图是长方形（也有可能是正方形）。圆柱底面周长相当于这个长方形的长，圆柱的高相当于这个长方形的宽。当圆柱底面周长和圆柱的高相等时，侧面展开图就是正方形。（2）圆锥：一个直角三角形以一条直角边为轴旋转360°，所得到的立体图形叫做直圆锥，简称圆锥。等底面积等高的两个圆柱的体积相等；等底面积等高的两个圆锥面积相等。9、立体图形的表面积和体积典例解析及同步练习1、线与角典例1、如图（1），直线代表一条公路，在公路的同侧有A、B两个村子，现在要在公路上建一个公共汽车站，使这两个村子的人到车站路程之和最短，车站应该建在什么地方？解析：这是一个求折线最短的问题，直接找出这条折线很困难。但是我们知道两点之间线段最短，于是，我们应该想办法把折线问题转化为直线问题来解决。解：要找车站所建的位置，办法是将图中的A点沿直线L对折过来（或作A点关于直线L的对称点），得到如图（2）。连接A1B与直线L交于C,C=AC,A1B是点A1到B的最短线段，因为两点之间线段最短，所以，AC\BC是最短线段。因此，车间应该建在C处。举一反三训练阳光小区和幸福小区分别在某大道边的A、B两地（如图），如果想在这条大道的一侧建一个农贸市场，这个市场所代表的点选在什么地方，才能使这两个小区的居民买菜时走的路程之和最短？如图所示是一个军港地图，海岸线AB、AC上停满了军舰，福尔将军要从军营M到指挥所N去，但在到N处之前他要依次去AB、AC两岸视察军舰。请同学们给福尔将军设计一条路线，使他最快的完成视察后到达N处。如图，在河的两岸共有三个村子，A、B、C，应该在河的什么位置架两座桥，使两岸人们来往路最短？人民路小学四年级“无线电兴趣小组”为庆祝“六一儿童节”，要在校园内安装彩灯。他们把应当挂灯的六个建筑物以及它们之间的距离画成一个线路图。请你帮助设计一条最佳路线，使电线最省。（单位：米）典例2、计算二十三边形的内角和。解析：要想计算多边形的内角和，可以想办法把多边形分割成多个三角形，从而转化为求多个三角形内角和的问题，根据下图可以发现如下规律：解：二十三边形的内角和为：180°×（23－2）=3780°举一反三训练2计算一百三十二边形的内角和是多少？已知一个多边形的内角和是14400°，这个多边形是几边形？典例3、已知三角形中的∠1=50°，∠2=60°，求∠3的度数。解析：从图中可看出与∠3相邻的∠4加上∠3的和是180°，同时在三角形中∠1＋∠2＋∠4的和也是180°，所以∠3的度数就等于∠1＋∠2的度数，所以∠3=50°＋60°=110°。解：由三角形内角和等于180°可知，∠1＋∠2＋∠4=180°，又因为∠3＋∠4=180°，所以∠3=∠1＋∠2=50°＋60°=110°。举一反三训练3看图计算计算图中∠1的度数。已知AB=AC，求∠1、∠2、∠3、∠4的度数。求∠1、∠2、∠3的度数。2、平面图形（1）周长和面积典例1、用两个边长为6厘米的正方形和一个长为12厘米，宽为6厘米的长方形拼成一个新的正方形，拼成的新正方形的周长是多少厘米？解析：根据题意可画出拼成的新正方形，从图可以看出，拼成的新正方形的边长为12厘米，根据正方形周长的计算公式，我们就很容易求出所拼成的新正方形的周长。解：12×4=48（厘米）或（6＋6）×4=48（厘米）举一反三训练1在一个长为36厘米，宽为15厘米的长方形硬纸板上裁下一块宽为边的正方形硬纸板，剩下的硬纸板的周长是多少厘米？如图中的正方形被分成了五个相等的长方形，每个长方形的周长都是60厘米，求这个正方形的周长。下图是一个零件的平面图，图中每一条最短的线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米，这个零件的周长是多少厘米？四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长是10厘米，小正方形的周长是8厘米，那么长方形的宽是多少厘米？典例2、一个正方形，一条边增加5厘米，加一条边增加3厘米，面积就增加87平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？解析：将图1增加的面积割成三部分（图2）。从增加的部分中减去阴影部分，剩下的部分是两个等长的长方形，这两个长方形能拼成一个宽是8厘米的大长方形（如图3），这样就能求出长方形的长，也就是原来正方形的边长。解：87－3×5=72（平方厘米）72÷（3＋5）=9（厘米）9×9=81（厘米）举一反三训练2一个正方形，将它的边长增加4厘米，面积就增加216平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？一个长方形的长增加2厘米，宽增加5厘米，就变成了一个正方形，面积增加了60平方厘米，原来长方形的面积是多少平方厘米？典例3、如图，扇形AFB恰好为一个圆的，BCDE是正方形，AFBG也是正方形，则图中阴影部分的面积是多少？解析：阴影部分的面积直接求不容易求，这时必须从整体上进行考察，首先它的一部分在以AF为半径的扇形内，还有一部分在正方形BCDE内，然后可以通过把正方形BCDE补成一个长方形BCHF，从而把两部分联为一个整体。这样，所求阴影部分的面积就可以看作一个扇形AFB和一个长方形BCHF的面积和再减去一个直角三角形ACH的面积。解：×3.14×4²＋4×3－×（4＋3）×4=10.56（平方厘米）举一反三训练3计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）如图，长方形的长是宽的2倍，曲线分别是以长、宽为直径的圆弧，则图中阴影部分的面积是多少？典例4、求下图中阴影部分的周长。解析：阴影部分的周长分为两部分，一部分是半圆的周长，另一部分是扇形的弧长，半圆的直径为60厘米，从而可以求出半圆的周长；扇形的圆心角是45°，半径为60厘米。根据弧长公式：L=可求出扇形的弧长。解：＋60＋2×3.14×60×=201.3（厘米）举一反三训练4求下面图形中阴影部分的周长。（单位：cm）3图形拼组典例1、下图是某专业户的一块实验田，需要把这块田平均分成四块，需要形状大小一样，能分开吗？解析：三个小方块要分成四个大小、形状完全相同的图形，可以先将每个小方块平均分成四块，然后再分，每个图形中应该有三个小方块，分法如上图。举一反三训练1下图是由五个同样大小的正方形组成的，请把它分成形状相同，面积相等的四块。如图将正方形分成两块，使得这两块的形状大小都相同，并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母，应该怎么分？如图每个小方格的面积都是1平方厘米，请经过图中A点画一条直线，将图形分成面积相等的两部分。典例2、将下图（1）分割成两块，然后拼成一个正方形。解析：图形的面积等于16个小方格的面积，如果每个小方格的边长为1，那么拼接成的正方形的边长应该是4。因为图（1）是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割两块后如图（2），右边的一块应该向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4），移动后拼成的正方形如图（3）。举一反三训练2将下面的图形剪两刀，拼成一个正方形。2、将如图所示的16个小方格组成的图形分成两块，然后拼成一个正方形。（3）几何计数典例1、按要求数一数。1、下图中共有多少条线段？2、下图中共有多少个角？解析：(1)题从图上可以看出要数的线段有两部分，根据计算线段规律：线段条数=端点数×（端点数－1）÷2可以求出。（2）题可以根据求角的个数的规律：角的个数=（射线条数－1）÷2可以求出。解：（1）第一部分：6×（6－1）÷2=15（条）第二部分：5×（5－1）÷2=10（条）两部分之和：15＋10=25（条）（2）7×（7－1）÷2=21（个）举一反三训练1下面图形中各有多少条线段？如下图，线段上有一点P，含有P点的线段共有多少条？下面图形中各有多少个角？典例2、数一数。（1）下图中共有多少个三角形？（2）下图中共有多少个正方形？（3）下图中共有多少个长方形？解析：(1)通常情况下，一个三角形，如果一个顶点和这个点所对的边被确定，那么这个三角形也就确定了。因为不论是哪个三角形，都有一个共同的顶点A，所以三角形的个数实际上就是顶点A所对应的边的条数。，即与它所对的线段的条数相同。本题分三部分，即△AB1B4、△AC1C4、△AD1D4,在每个三角形中，只要分别计算出顶点A所对的线段条数，然后相加即可。（2）中分三部分计算：一部分是边长为1的正方形，一部分是边长为2的正方形，一部分是边长为3的正方形。它们的个数分别是9个、4个、1个，一共是9＋4＋1=14个。同理，我们还可以计算出4×4个小正方形组成的大正方形中正方形的个数为16＋9＋4＋1=30个。从而我们可以总结出正方形个数的规律：如果一个正方形由n×n个相同的正方形方格组成，那么这个正方形图形中正方形的个数为n×n＋（n－1）×（n－1）＋（n－2）×（n－2）＋……＋1×1。（3）如果长、宽都确定了，那么这个长方形也确定了。此题中，长边上的每一条线段和短边上的每一条线段都可以构成一个长方形，所以共有长方形个数为：长上的线段数×宽上的线段数=长方形的个数，根据这个规律可以求得。解：（1）△AB1B4包含：4×（4－1）÷2=6（个）△AC1C4包含：4×（4－1）÷2=6（个）△AD1D4包含：4×（4－1）÷2=6（个）一共有：6＋6＋6=18（个）（2）3×3＋2×2＋1×1=14（个）（3）[5×（5—1）÷2]×[4×(4—1)÷2]=60（个）举一反三训练21.下面图形中各有多少个三角形？2．数一数。3.立体图形典例1判断。（下面的图形是圆柱的画“√”，是圆锥的画“O”即不是圆柱也不是圆锥的画“×”）解析：按照圆柱和圆锥的基本特征，我们知道第二个图形和最后一个图形是圆柱，第五个图形是圆锥。解：×√××O√举一反三训练1一、判断。（正解的打“√”错误的打“×”）1、长方体的六个面中可能有两个面是正方形。（）2、圆柱的底面半径扩大2倍，其他不变，它的体积就扩大4倍。（）3、用四个同样大小的正方体木块，可拼成一个更大的正方体。（）4、两个水桶的容积相等，那么它们的体积也相等。（）5、将两个同样大小的正方体分别削成最大的圆柱和最大的圆锥，这时圆锥的体积是圆柱的。（）6、体积相等的两个长方体，表面积一定相等。（）二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）1、圆柱有（）条高，圆锥有（）条高。A、1B、2C、无数2、一个汽油桶可装80升的汽油，它的（）是80升。A、体积B、容积C、质量典例2、用三个长6厘米，宽4厘米，高1厘米的长方体木块，拼成一个表面积最大的长方体。这个长方体的表面积是多少平方厘米？如果拼成表面积最大的长方体，表面积是多少平方厘米？解析：三个长方体木块长、宽、高分别是6厘米、4厘米和1厘米，左右两个面的面积最小，上下两个面的面积最大。把最小面相连接拼成的长方体，表面积最大，把最大面相连拼成的长方体，表面积最小。解：如图那样拼成的长方体，表面积最大。这个长方体的长为6×3=18（厘米），宽为4厘米，高为1厘米。所拼成长方体的表面积为（18×4＋18×1＋4×1）×2=94×2=188（平方厘米）如图那样拼成的长方体，表面积最小。这个长方体的长为6厘米，宽为4厘米，高为3厘米。所拼成的长方体的表面积为（6×4＋6×3＋3×4）×2=54×2=108（平方厘米）答：拼成的长方体的表面积最大是188平方厘米，最小是108平方厘米。举一反三训练21、一个棱长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心挖去一个边长为1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是多少平方厘米？有长10厘米、宽7厘米、高2厘米的长方体三个，拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小是多少？如图所示，外面涂有红漆的长方体。长4厘米，宽3厘米，高3厘米，把它锯成棱长为1厘米的36个小立方体。（1）三面漆红色的有多少块？（2）两面漆红色的有多少块？（3）一面漆红色的有多少块？典例3、有一个圆柱形的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图，圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需要涂多少平方厘米？解析：这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同。所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了圆柱的底面。解：3.14×（）²×2＋3.14×8×12＋3.14×6×7=3.14×（32＋96＋42）=533.8（平方厘米）答：一共需要涂533.8平方厘米的防锈漆。举一反三训练3一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米，高是4厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？一个圆柱的底面直径为10厘米，它的高为15厘米，求它的表面积。把一根长1.2米，底面半径为1分米的圆柱形钢材截成3段，表面积增加多少平方分米？典例4、按要求做题。如图，已知A=25平方米，B=15平方米，H=4米。现在把A地的土堆运往B地，使A、B两地同样高，这样B地可升多少米？一个长15分米、宽12分米的长方体玻璃缸内盛有10分米深的水。放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未漫出。这时，水面升高了几厘米？解析：（1）已知A=25平方米，B=15平方米，H=4米，可求出A的体积比B的大25×4=100立方米，把100立方米摊在底面为25＋15=40平方米的地上，高为100÷40=2.5米，也就是B地可升高2.5米。（2）将正方体铁块放入长方体容器中，水面的高度上升，上升部分水的体积就是正方体铁块的体积。先求出正方体铁块的体积，也就是上升部分水的体积，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积，就是水面上升的高度。解：（1）25×4÷（25＋15）=100÷40=2.5（米）（2）3×3×3÷（15×12）=0.15（分米）0.15分米=1.5（厘米）答：（1）B地可升高2.5米；（2）水面升高了1.5厘米。举一反三训练4一个长方体水箱，从里面量长为50厘米，宽为40厘米，高为40厘米，里面放进自来水，水高12厘米。在箱内放一块棱长为25厘米的正方体铁块，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？现在有一块长方形铁皮，长为26厘米，在四角上剪去边长为3厘米的正方形，将它们焊接成容积为840立方厘米的无盖容器，这块铁块原来的宽是多少厘米？一个零件大小、形状如图所示。它的体积是多少立方厘米？一个长方体水池长15米，宽8米，池中的水深1.57米，池底有根出水管，它的内直径为2分米，放水时水流速度平均每秒2米。放完池中的水需要多少分钟？典例5、解答下列各题。一个稻谷囤，上面是圆锥表，下面是圆柱形。圆柱底面周长是12.56米，高是4米，圆锥高3米。这个粮囤的体积是多少？一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知圆锥与圆柱体积之比是1：6，圆锥的高是4.8米，那么圆柱的高是多少？解析：（1）按一般的计算方法，先分别求出圆锥、圆柱的体积，再把它们合并在一起求出总体积。但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱形，这时圆锥的高等于多少呢？已知等于3×=1（米），那么原来两个形体变成一高为4＋1=5（米）的圆柱。这样，求出变化后的圆柱的体积就可以了。（2）因为圆柱与圆锥的底面积相等，所以可以借助其为中间量，利用已知圆锥与圆柱的体积之比是1：6，建立等量关系式求解。解：（1）3.14×（）²×（4＋3×）=62.8（立方米）（2）设圆柱的高为X厘米，它们的底面积为S平方厘米。==X=9.6答：（1）粮囤的体积是62.8立方米；（2）圆柱的高是9.6厘米。举一反三训练5在仓库的一角有一堆谷子，呈圆锥形（如图），量得底面弧长为1.57米，圆锥的高为1米，如果每立方米的谷子重720千克，这堆谷子重多少千克？一个正方体纸盒恰好能放进一个体积为628立方厘米的圆柱形物体，那么这个纸盒的容积是多少？在一个底面直径是40厘米的圆柱形水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸入水中，取出铸件后，缸里的水面下降0.5厘米。求铸件的高。一个圆锥形谷子堆，底面周长为25.12米，高为3米，把这些谷子装入一个底面直径为4米的圆柱形粮仓囤正好装满，这个圆柱形粮仓的高是多少米？能力加强一、填空。1、一个圆柱形汽油桶底面直径是6分米，高是12分米，内装汽油体积占桶容积的，桶内有汽油（）升。2、一个圆柱的底面半径扩大2倍，高扩大2倍，它的体积扩大（）倍。3、一个正方形有（）条对称轴，等边三角形有（）对称轴，（）有无数条对称轴。4、一根铁丝可围成边长是10厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个长是16厘米的长方形，这个长方形的面积是（）平方厘米。5、用两个同样的正方体拼成一个长方体，表面积减少14.4平方分米，这个长方体的表面积是（）平方分米。6、把两个边长为3厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长比两个正方形周长的和少（）厘米。7、一个表面积为96平方分米的正方体，切成两个完全相等的长方体，表面积总和是（）平方分米。8、至少要（）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是3厘米，那么大正方体的表面积是（）平方厘米。9、一个长方体高26厘米，沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积增加80平方厘米，原来长方体的体积是（）立方厘米。10、等底等高的圆柱和圆锥底面相互完全粘在一起，那么圆柱、圆锥及粘成的总体积比是（）。11、压路机的滚筒长1.5米，底面半径0.6米，以每分钟滚动15周计算，把25434平方米的地基压完一遍，需要（）小时。二、判断。（正确的打“√”错误的打“×”）1、只要是四边形都最少有一条对称轴。（）2、如果一个平行四边形的面积是三角形面积的2倍，那么它们一定等底等高。（）3、大圆周长和直径的比值等于小圆周长和直径的比值。（）4、把一个圆柱平均分成两部分，每一部分的表面积是圆柱的表面积的。（）5、圆的半径增加2厘米，周长就增加12.56厘米，面积增加12.56平方厘米。（）6、有两个圆柱，它们的高相等，底面周长也相等，那么，体积也一定相等。（）三、选择（把正确答案的序号填在括号里）1、一个长方体和一个圆锥的底面积和高分别相等，长方体的体积是圆锥体积的（）。A、3倍B、C、2倍D、无法确定2、圆的半径缩小3倍后，它的面积和原来相比就（）。A、缩小3