第六章线性空间

第六章线性空间第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1、映射及相关概念（1）设与是两个非空集合，如果对于中的每个元素，按照某一对应法则，都有中唯一一个确定的元素与之对应，则称为集合到的一个映射。并记上的一个变换。到自身的映射称为（2）集合称为在映射下的像，为在映射下的原像。s§1映射的基本概念第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五

（3）设为集合到的一个映射,用表示在映射下的像的全体，称为在映射下的像的集合。如果，则称为满射。如果，就一定有，则称为单射。如果一个映射既是单射又是满射，就称为双射。第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五（4）若和都是集合到的映射，且对每个都有，则称与相等，记为。（5）设为集合上的一个变换，如果对每个都有，则称为的恒等变换或单位变换，记为。第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五的一个映射。映射的乘法一般不满足的一个映射，为集合（6）设到是集合到的映射，乘积定义为则是到

交换律，但满足结合律，即若分别是集合到，到，到的映射，则有第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五（7）设为集合到的一个映射，如果存在到的映射，使得则称是可逆映射，并称是的逆映射，记为。是可逆映射的充分必要条件是为双射。第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§2线性空间的定义与简单性质例1在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平形四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法.我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例2为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组作为元素的n维向量空间.对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：例3对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法，譬如说，考虑全体定义在区间上的连续函数.我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数.第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定义1设V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于中任意两个元素与在中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素乘积，记为如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称为数域上的线性空间.在中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的数量第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五加法满足下面四条规则：3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4）对于V中每一个元素都有中的元素使得称为的负元素）.第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五数量乘法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五几个线性空间的例子：按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用表示.例1数域P上一元多项式环例2元素属于数域P的矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用表示.例3全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例4数域P按照自身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.线性空间的元素也称为向量.线性空间有时也称为向量空间.线性空间的一些简单性质：零元素是唯一的.1.负元素是唯一的.2.4.如果那么或者第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§3维数·基与坐标定义2设V是数域P上的一个线性空间，是V中一组向量，是数域P中的数，那么向量称为向量组的一个线性组合.有时我们也说向量可以用向量组线性表出.第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定义3设（1）（2）是V中两个向量组.如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么向量组（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定义4线性空间V中向量称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数使（3）如果向量不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组称为线性无关，如果等式（3）只有在时才成立.元素组的线性相关性有如下结论：单个向量1.是线性相关的充分必要条件是两个以上的向量线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五2.如果向量组线性无关，而且可以被线性表出，那么由此推出两个等价的线性无关的向量组，必定含有3.如果向量组线性无关，但向量组线性相关，那么可以被线性表出，而且表法是唯一的.相同个数的向量.第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称无限维的.定义6在维线性空间中，个线性无关的向量相关，因此可以被基线性表出：称为的一组基.设是中任一向量，于是线性其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就被称为在基下的坐标，记为第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而就是V的一组基.例1在线性空间中，的多项式都可以被它们线性表出，所以是维的，而就是它的一组基.在这组基下，多项式的坐标就是它的系数是个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域上第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五如果在中取另外一组基那么按泰勒展开公式因此，在基下的坐标是第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例2在n维空间中，显然是一组基.对每一个向量都有所以就是向量在这组基下的坐标.第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五不难证明，是P中n个线性无关的向量.在基下，对于向量有因此，在基下的坐标为第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例3如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和考虑的数域有关.第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§4基变换和坐标变换设与是n维线性空间V中两组基，它们的关系是设向量在这两组基下的坐标分别是与问题：与的关系.第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五矩阵称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的.（1）第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五结论：在基变换（1）下，向量的坐标变换公式或者第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例在§3例2中，我们有就是过渡矩阵.这里第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五因此不难得出也就是与§3结果一致.第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§5线性子空间定义7数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V的两种运算也构成数域上的线性空间.条件1条件2定理2如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么就是一个子空间.第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例1在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2线性空间也是的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时也叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.例4是线性空间的子空间.第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例5在线性空间中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.不难看出，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于其中为系数矩阵的秩.第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五设是线性空间中一组向量，不难看出，这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算是封闭的，因而是子空间，记为的一个子空间，这个子空间叫做由生成的第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定理31）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是的秩.定理4设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量使得是的一组基.这两个向量组等价.的维数等于向量组2）第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§6子空间的交与和定理5如果是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.定义8设是线性空间的子空间，所谓与的和，是指由所有能表示成而的向量组成的子集合，记作定理6如果是的子空间，那么它们的和也是的子空间.第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五子空间的交与和的结论：1.设都是子空间，那么由与可推出而由与可推出2.对于子空间与以下三个论断是等价的：1）2）3）第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例1在三维几何空间中，用表示一条通过原点的直线，表示一张通过原点而且与垂直的平面，那么，与的交是而与的和是整个空间.例2在线性空间中，用与分别表示方程组第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五与的解空间，那么就是齐次方程组的解空间.第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例3在一个线性空间中，我们有定理7如果与是线性空间的两个子空间，那么推论如果维线性空间中两个子空间的维数之和大于那么必含有非零的公共向量.第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§7子空间的直和定义9设是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为定理8和是直和的充分必要条件是等式只有在全为零向量时才成立.第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五推论和是直和的充分必要条件是定理9设是的子空间，令则的充分必要条件为定理10设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五定义10设都是线性空间的子空间.如果和中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为定理11是的一些子空间，下面这些条件是等价的：1）是直和；2）零向量的表法唯一；3）4）第四十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§8线性空间的同构定义11数域上两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个一一映射具有以下性质：1）2）其中是中任意向量，是中