集合本章整合

数学必修①

·人教B版营口市高级中学吴丹妮第一章集合整合提升知识网络2.集合间的基本关系或关系文字语言符号语言图形语言性质集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B—子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B含n个元素的集合有2n个子集(续表)关系文字语言符号语言图形语言性质集合间的基本关系真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素______含n个元素的集合有(2n－1)个真子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB3.集合的基本运算∁UA＝{x|x∈U，且x项目集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}A}4.集合的运算性质并集的性质A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A交集的性质A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B补集的性质A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)专题突破[解析]

∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，B＝{y|y＝x＋2，x∈R}＝{y|y∈R}．∴A∩B＝{y|y≥0}．专题一⇨集合问题中几个注意的地方『规律方法』进行集合间的运算时，弄清集合中的元素是什么？是进行集合运算的前提．同时，我们要注意区分点集与数集．(2)当a≠0，若A中有一个元素，即方程ax2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时A＝{1}，满足题意；若A中无元素，即方程ax2－2x＋1＝0无实数根，则Δ＝4－4a<0，解得a>1，此时A＝∅，满足题意．故所求实数a的取值范围是{a|a＝0，或a≥1}．[分析]由M∪N＝M，得N⊆M，则N中的元素也在集合M中，则令M中的两个元素分别与t2－t＋1相等求解.[解析]

∵M∪N＝M，∴N⊆M，即t2－t＋1∈M，(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，当t＝1时，M中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不符合题意，舍去．综上所述，t的取值集合为{0}．[解析]

由集合A⊙B的新定义x∈A，y∈B得，x＝0，y＝2或x＝0，y＝3或x＝1，y＝2或x＝1，y＝3，故z＝0,6,12，则A⊙B＝{0,6,12}，则集合A⊙B的所有元素之和为18，故应选D．专题二⇨集合中的创新题型D

[解析]

假设存在集合C满足条件，因为C≠∅，且C⊆{0,2,4,6,7}，C⊆{3,4,5,7,10}，∴C＝{4}或{7}或{4,7}．『规律方法』存在性问题，先假设存在，问题转化的关键就在于集合A与B的逆向转换，从两个方面去寻找集合C，逆向操作：A中元素减2得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7或4、7.6.数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数、形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和维恩图法．(1)数轴法对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化．在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解．专题三⇨数学思想方法在集合中的应用[解析]

由题意得A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<m＋2}．(1)在数轴上画出集合A和B，若A∩B＝∅，则实数m＋2落在－1的左边或与－1重合，所以m＋2≤－1，即m≤－3.(2)维恩图法维恩图是集合语言中的图形语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念．问题的本质以及相互之间的关系．加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义．[解析]

根据条件画出韦恩图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．C

7．分类整合思想分类整合思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类整合思想解决问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类整合问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类整合问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类整合思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．[分析]

M、N都是以一元二次方程的根为元素组成的集合，一个集合的子集一定有∅.『规律方法』分类整合思想是一种重要的思想方法，即通过化整为零、各个击破的方法，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．8．转化与化归思想在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A⊆B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．D

[分析]由集合相等可得两集合中的元素对应相等，列出方程组即可，求解后注意集合中元素的互异性．9．方程思想有些集合问题，条件很多，未知量也多，这时可以考虑通过列出方程或方程组来解决问题，既直观又快捷．10．补集思想对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系时，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如a∉A，可转化为a∈∁RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．[分析]

A∩B≠∅的对立面为A∩B＝∅，故可先求出A∩B＝∅时a的取值范围，再用补集思想求A∩B≠∅时a的取值范围．『规律方法』已知全集U，要求子集A，若直接求A较困难或较麻烦时，则可考虑先求出A的补集∁UA，再利用A＝∁U(∁UA)求出集合A．这就是数学中的补集思想．本课小结

1、集合问