第四章辐射传输方程

第四章辐射传输方程第一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五Maxwell方程组与辐射传输方程麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。一般而言，波长较长的电磁波波动性较为突出。所以在微波遥感领域，可以看到用麦克斯韦方程组解释电磁波与介质的相互作用。短波部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地表现为粒子性。在光学和热红外领域，为方便和直观起见，则常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互作用。麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相互转换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解方法有所区别，在不同的领域，有各自的优势。第二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五消光截面在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一术语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光束中所移除的能量大小。当对粒子而言时，截面的单位是面积（厘米2），因此，以面积计的消光截面等于散射截面与吸收截面之和。但当对单位质量而言时，截面的单位是每单位质量的面积（厘米2·克-1），这时，在传输研究中用术语质量消光截面，因而，质量消光截面等于质量散射截面与质量吸收截面之和。此外，当消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消光截面乘以密度（克·厘米-3）时，该量称为“消光系数”，它具有长度倒数（厘米-1）的单位。第三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五传输方程在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的相互作用而减弱。如果辐射强度Iλ，在它传播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ，则有：

dIλ=-kλρIλds式中ρ是物质密度，kλ表示对辐射波长λ的质量消光截面。辐射强度的减弱是由物质中的吸收以及物质对辐射的散射所引起。第四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五I(0)I(s1)I+dII0dsS1第五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质的发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其它方向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我们如下定义源函数系数，使由于发射和多次散射造成的强度增大为：

dIλ=jλρds式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理意义。联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：

dIλ=-kλρIλds+jλρdsjλ的单位与kλ的单位不同：前者带有强度概念。第六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五进一步为方便起见，定义源函数Jλ如下：

Jλ≡jλ/kλ这样一来，源函数则具有辐射强度的单位。因此有：

dIλ=-kλρIλds+kλJλρds即：这就是不加任何座标系的普遍传输方程，它是讨论任何辐射传输过程的基础。求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。第七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五比尔-布格-朗伯(Beer-Bouguer-Lambert)定律当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射传输方程可以简化为：如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处，其射出强度可以通过对上式的积分获得：第八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五假定介质消光截面均一不变，即kλ不依赖于距离s，并定义路径长度：这就是著名的比尔定律，或称布格定律，也可称朗伯定律。它叙述了忽略多次散射和发射影响时，通过均匀介质传播的辐射强度按简单的指数函数减弱，该指数函数的自变量是质量吸收截面和路径长度的乘积。由于该定律不涉及方向关系，所以它不仅适用于强度量，而且也适用于通量密度。介质完全均一（ρ也不依赖s），出射强度？则此时出射强度为：第九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五光学厚度(opticalthickness,opticaldepth)定义点s1和s2之间的介质的光学厚度为：并有：

dτλ(s)=-kλρds(对大气如此)因此传输方程可以写为：在实际应用中，τ的定义使τ永远是正数。而且I与τ的关系一般为exp(-τ0)。第十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五平面平行(planeparallel)介质在遥感定量分析过程中，为简化起见，我们通常假设电磁波穿过的介质（如大气与植被冠层）是平面平行的，或称水平均一(horizontallyuniform)的。即介质可以分成若干或无穷多相互平行的层，各层内部（对辐射影响）的性质一样，各层之间的性质不同。θθ为辐射方向与分层方向法线的夹角。z上述传输方程用z、θ替换s后，具体表达式？第十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：或其中μ=cosθ，τ是光学厚度(此时已是垂直计量)

。注意μ

，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现第十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五对于平面平行大气，τ的定义为由大气上界向下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：对于水平均一植被，τ的定义为由z处向上测量到冠层表面的垂直光学厚度：其中uL为叶面积密度。大气植被冠层0zz在植被中，dτ与dz关系如何？以平面平行大气为例，比尔定律具体表达式？第十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射和发射，则传输方程为：上式的解为：定义τ0=τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0，因此有：请注意指数形式在辐射传输中的作用。第十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五总结两个概念：光学厚度、平面平行介质一组不同表达形式的传输方程：传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式对大气对大气第十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数中散射的表达第十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五散射电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波强度发生变化，可能减弱，也可能增强。1/12第十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五当电磁波由方向Ω0前进时，它被介质散射到方向Ω的散射过程包括单（一）次散射和多次散射过程。多次散射是为了区别单次散射而定义的，凡是辐射被介质散射超过1次，均称为多次散射。区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐射传输方程。Ω0Ω单次散射多次散射第十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五散射相函数（scatteringphasefunction）为描述电磁波被介质散射后在各个方向上的强度分布比例，定义散射相函数P(Ω,Ω’)为方向Ω’的电磁波被散射到方向Ω的比例，并且P(Ω,Ω’)/4π是归一化的，即：根据互易原理：因此同样有：第十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五思考：对于在4π空间内各向均一的散射（散射辐射强度不随散射方向变化），散射相函数的表达式是什么？对于散射光只在入射方向Ω’存在，其它方向均为0的情况下，散射相函数的表达式是什么？第二十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五通常散射相函数P(Ω,Ω’)只与方向Ω’和方向Ω之间的夹角Θ有关，可以写为P(cosΘ)。散射角Θ定义为入射光束和散射光束之间的夹角。散射角的余弦可以表示为：请注意P与两个方向的天顶角，以及相对方位角有关。第二十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五单次散射反射率（singlescatteringalbedo）实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。单次散射反射率ω定义为辐射发生每一次消光（或简称散射）过程中，遭受散射的百分比。入射为1，散射后各个方向的总和（积分）即为ω第二十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数中散射的表达对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初始值为I0，传播方向为Ω0，则它到达τ处的辐射强度为：Ω0Ω单次散射多次散射τ第二十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度即为：对上式中入射方向Ω0在4π空间积分，并考虑只有一个入射方向，则上式中的强度变成通量密度，即有：上式就是单次散射产生的源函数。上式结果肯定是强度单位第二十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五则多次散射产生的源函数为来自所有方向、并经散射，到方向Ω的辐射总和。即上式对方向Ω’在4π空间的积分，即：对于多次散射，我们假设位于τ处、传播方向为Ω’的辐射强度为I(τ,Ω’)，则它散射到方向Ω的辐射强度为：第二十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数中的散射的表达是单次散射与多次散射之和，即：J(τ,Ω)=其中B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即各向均一。又，源函数中的发射的表达可以写为：J(τ,Ω)=B[T(τ)]第二十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五因此，考虑散射与发射源函数后，辐射传输方程可以展开为：通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值解法或简化求解。回忆上一小节中提到的平面平行介质中的传输方程为：第二十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五总结两个概念：散射相函数、单次散射反射率考虑散射与发射源函数的传输方程：传输方程中的散射表达是导致方程复杂化的根本原因，也是辐射传输过程的魅力所在。第二十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五

辐射传输方程的解

源函数J与待求强度I无关时的解单次散射解与散射逐次计算法二流(two-stream)近似第二十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五我们之前给出了不考虑源函数J时传输方程的解(比尔定律），但是显然这是极不准确的。这里给出考虑源函数J（J与I无关）时传输方程的解。为简单起见，仍考虑平面平行介质，其传输方程为：将方程两边同时乘以，则得到上式乘以dτ后，两边对τ积分，即可求得带有源函数的传输方程的解。第三十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五根据上式，请给出τ=0处的辐射强度I(0,Ω)与τ=τ0处的辐射强度I(τ0,Ω)之间的关系表达式，并简要解释其物理含义。第三十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五参考式：对上式从0到τ0

积分：即：第三十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五整理得I(0,Ω)与I(τ0,Ω)之间的关系：对上式的解释：位于τ=0处的辐射强度由两部分组成：τ=τ0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值，整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强度的总和。第三十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五I(0,Ω)与I(τ0,Ω)之间的关系也可以表述为：请注意，此时μ<0，若将其变为正数，则上式可变为：对上式的解释：位于τ=τ0

处的辐射强度由两部分组成：τ=0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值，整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=τ0处的辐射强度的总和。第三十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数只考虑介质发射情况下的解当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程相对考虑散射时要简单得多，因为它不需要考虑各方向散射辐射因素，而且J与I无关。此时的辐射传输方程可以写为：B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即各向均一。第三十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五总结辐射传输方程的求解是对τ的积分，而J与I是否有关决定了求解难易。不考虑源函数的解为比尔-布格-朗伯定律，只考虑发射的解也相对简单。注意辐射传输方程中单次散射项也与I无关：下一小节将重点解决该问题。第三十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数J与待求强度I无关时的解单次散射解与散射逐次计算法二流(two-stream)近似第三十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五不考虑发射和多次散射，仅考虑源函数为单次散射情况时的传输方程为：此时源函数与待求强度I无关，可套用上一小节的解法，即上式可转换为：其中第三十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五参照上一小节的解：代入即可求得仅考虑源函数为单次散射情况时的传输方程的解。第三十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五散射的逐次计算方法散射的逐次计算方法是这样一种方法，我们单独对散射一次、二次、三次等的光子计算其强度，而总强度则为所有各次散射之和。式中n表示散射的次数。第四十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五注意到多次散射的源函数为：由于二次散射是由一次散射引起的，因而从一次散射强度I1(τ,Ω)即可求出二次散射源函数：而二次散射强度是可以由其源函数计算出来的：第四十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五同样我们可以由二次散射强度推导出三次散射源函数，继而推出三次散射强度。依此类推，我们可以得到任意次散射的强度，其递归关系式可以表示为：注意是对τ积分,还是对Ω积分第四十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五利用递归关系式可以设计数值方法，逐级导出源函数和强度，进而根据：求出包含多次散射的总强度。第四十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五总结在辐射传输方程中，单次散射源函数J与待求强度I无关，可以求出解析解。单次散射解中的第1项反映了比尔-布格-朗伯定律，有时也称为零次散射解，而将第2项，即对源函数的积分结果称为单次散射解。利用逐次计算方法可以依次得到各次散射的源函数和强度，进而求出考虑多次散射的方程解。第四十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五源函数J与待求强度I无关时的解单次散射解与散射逐次计算法二流(two-stream)近似第四十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五辐射传输与方位无关时的简化观察我们已熟知的辐射传输方程(不考虑发射)：当辐射传输与方位φ无关，而仅与μ有关时，注意到此时，则有：注意μ=cosθ第四十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期五勒让德（Legendre）展开散射相函数可以表征为散射角余弦的函数：上式可以用有限N项的勒让德多项式进行展开：第四十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期五其中l

阶勒让德多项式：前几阶的勒让德多项式为：第四十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期五针对P(cosΘ)进行勒让德多项式展开的系数为：前2阶的展开的系数为：注意：P为散射相函数，Pl为勒让德多项式的l阶展开，二者符号差不多，不要搞混。第四十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期五引入不对称因子：对各向同性散射，g为零；当相函数的衍射峰变得越来越尖锐时，g也随之增大；若相函数峰值位于后向，g为负值；(1+g)/2可以看作积分前向散射能量的百分比数；(1-g)/2可以看作积分后向散射能量的百分比数。不对称因子g第五十页，共五十九页，编辑于2023年，星期五观察与方位φ无关时的辐射传输方程对其进行勒让德多项式展开，有：-μ0中的负号用于表征方向第五十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期五为了用解析方法求解上式，必须用有限个求和代替积分。业已发现，对于区间[-1，1]上的求积分，可用高斯公式展开，即对任何函数f(μ)，有：式中权重值其中μj是偶阶勒让德多项式P2n(μ)的零点，并有：第五十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期五考虑：用高斯公式展开后得：式中μi(-n,n)代表辐射流的方向。第五十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期五取n=1，则得到两个辐射流，即j=-1和1，此时N=1，并且相应的高斯点和权重值分别为重排各项并以I↑表示I(τ,μ1)和I↓表示I(τ,-μ1)后，可导出两个联立方程，即式中第五十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期五上式即为二流近似的辐射传输方程，它可以得到解析解，这里不继续推导其求解过程，有兴趣者可以翻看相关参考资料当取n=2时，即可得到四个辐射流，列出4个方程，称为四流近似。同样，我们可以采用六流近似、八流近似等求解。流数越多，精度越高。与二流近似相近的有爱丁顿（Eddington）近似。解的精度与光学厚度的关系？第五十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期五离散纵标方法（DiscreteOrdinatesMethod）利用离散纵标方法可以将辐射传输方程中的散射相函数用勒让德多项式展开，并用高斯求和式代替方程中的积分式，进而将原有的积分微分方程转化为微分方程组，最终通过边界条件的代入，求解辐射在几个特定方向（由高斯点决定）上的解析解。这种方法的精度取决于多项式展开的次数，次数越多，精确性越高，但也越复杂。方向解的个数（即流数）是展开次数的2倍，如一次展开为二流近似，二次展开为四流近似，三次展开为六流近似，等等。另外，方向解向上和向下的数目