第四章热传导问题的数值解法

第四章热传导问题的数值解法第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期五本章具体内容安排：4.1导热问题数值解法的基本思想4.2内部节点离散方程的建立方法4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.4非稳态导热问题的数值解法第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期五4.1导热的问题数值解法的基本思想1.数值解法的基本思想:

用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。

2.数值解法求解导热问题的基本步骤：

1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程（即导热控制方程）和单值性条件；第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期五3）求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）,每个节点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的温度；4）建立节点温度代数方程组；5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；6）对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结果满意为止。

目前求解导热问题常用的数值解法主要有有限差分法、有限元法及边界元法。其中有限差分法比较成熟，应用较广。第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期五有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商近似微商，将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。

以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明1求解域的离散化考虑根据导热物体的几何形状选择坐标系，利用一组与坐标轴平行的网格线将物体划分成若干个子区域。网格的宽度称为步长。步长大小（即网格疏密）的选择根据问题的需要而定。1)子区域的划分2）节点的选择选择网格线交点和网格线与物体边界线的交点作为节点，每个节点代表以它为中心的子区域。如：(m,n)节点就代表涂阴影的子区域。控制方程：第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期五2建立节点离散方程如何得到各节点的差分方程？？建立节点温度差分方程的方法有两种：1）泰勒级数展开法

2）热平衡法第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期五4.2内节点离散方程的建立方法1泰勒级数展开法对节点（m+1,n)和（m-1，n)分别写出t在（m,n)节点的泰勒级数展开式：

以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明将上两式相加略去高阶项则得：中心差分格式第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期五同理可得y方向的中心差分格式：

对二维常物性，无内热源的稳态导热问题：第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期五2热平衡法

内节点离散方程的建立方法

热平衡法的基本思路是：根据节点所代表的控制容积在导热过程中的能量守恒建立节点温度差分方程。

内部节点(m,n)所代表的控制容积在导热过程中的热平衡可表述为：从周围相邻控制容积导入的热流量之和等于零。即有：根据导热付里叶定律，对于垂直于画面方向单位宽度有：仍以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期五4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解

把第2类及第3类边界条件合并考虑，根据热平衡法进行分析；对具有第三类边界条件的边界节点(m,n)，根据热平衡有：

网格毕渥数第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

其他几种边界节点的温度差分方程：

1.第三类边界条件下的外拐角边界节点：2.第三类边界条件下的内拐角边界节点：3.绝热边界节点：第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

节点温度差分方程组的求解方法

运用有限差分方法可建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。这些节点温度差分方程构成一个线性代数方程组，求解该方程组，就可以得节点温度的数值。线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法。

1)简单迭代法设节点温度差分方程的形式为：为常数

第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

将该方程组改写为显函数的形式：先假设一组节点温度的初始值

第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

2)高斯-塞德尔迭代法

高斯-塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据。高斯-塞德尔迭代法要比简单迭代法收敛速度快。第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

4.4非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法与稳态导热的主要区别：1）非稳态导热问题的控制方程比稳态导热多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；2）除了与稳态导热问题一样需要对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；3）在利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；4）由于时间和空间同时离散，会带来节点温度方程求解的稳定性问题，有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择。第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

以“第三类边界条件下无限大平壁的一维非稳态导热问题为例”1一维非稳态导热问题的数值求解2）节点温度差分方程的建立控制方程：1)求解域的离散

时间步长为：

空间步长：空间和时间步长的大小要保证节点温度方程求解的稳定性。

表示空间节点在时刻（简称k时刻）的节点温度。

运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期五1)内节点离散方程的建立对于常物性、无内热源的无限大平壁的一维非稳态导热问题

内部节点i所代表的控制容积（图中阴影部分）的热平衡可表述为：在k时刻，单位时间内从相邻控制容积i-1与i+1分别导入的热流量之和等于该控制容积热力学能的增加.即：如果节点i的温度对时间的变化率采用向前差分，则有：第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期五移项后变为

称为网格付里叶数

一维非稳态导热内部节点温度方程的显式差分格式两点结论：1.任意一个内部节点在某一时刻的节点温度，都可以由该节点及其相邻节点在前一时刻的节点温度由上式直接求出，不必联立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温度出发依次求出等各时刻的节点温度；2.必须满足显式差分格式的稳定性条件，即：稳定性条件说明，一旦空间步长或时间步长的数值确定之后，另一个步长的数值的就不能任意选择，必须满足稳定性条件。物理意义？？第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期五2）边界节点温度差分方程

以第三类边界条件下无限大平壁的一维非稳态导热为例

边界节点0所代表的控制容积（图中阴影部分）的热平衡可表述为：在k时刻，单位时间内从相邻控制容积1导入的热流量与从流体以对流换热的方式传入的热流量之和等于该控制容积热力学能的增加。即：边界节点0的温度对时间的变化率采用向前差分，则有：

经过整理，并引入网格毕渥数和网格付里叶数有：第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

同内部节点温度方程的显式差分格式的道理一样，上式必须满足解的稳定性条件，即：第三类边界条件下一维非稳态导热物体边界节点温度方程的显式差分格式。即：注：这一要求比内点的限制还要苛刻。当边界条件及内节点的稳定性条件得出的不同时，应以较小值来确定允许的时间步长。第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期五

本章小结重点掌握以下内容：1）理解数值解法的基本思想，熟悉数值解法的基本步骤；2）掌握有限差分法的原理；3）重点掌握热平衡法建立节点温度差分方程；4）了解差分方程组的求解方法；复习题P185-186：1.2.6例题：4-3第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期五离散方程的相容性，收敛性，稳定性问题关于数值计算的补充内容

1.数值计算是基于离散方程

2.希望离散方程具备微分方程原有的基本属性

第二十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期五离散方程截断误差:

差分算子与相应微分算子之间的差值离散方程的截断误差可以由差分方程的精确解作Taylor展开分析得出离散方程的相容性:当时间和空间步长趋近于零时，如果离散方程的截断误差趋近于零，则称此离散方程与微分方程相容。初值问题离散格式的稳定性:一个初值问题的离散格式，如果可以保证在任一时间层计算中所引入的误差都不会在以后各层的计算中被不断地放大，以至变得无界，则称此格式为稳定的。稳定或不稳定，是一个计算格式的固有属性。

稳定格式：任何误差扰动被放大的程度总是有限的；