第四章无穷级数

第四章无穷级数第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五讨论无穷级数的目的→解析函数的表达形式复数级数完全等价于实数级数一个复数级数=两个实数级数的有序组合第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五②若有限，则称级数收敛于F，且F是级数的和，否则称级数发散。4.1复数级数

定义

①复数，的无穷级数

称为复数级数。③级数的收敛性＝部分和序列的收敛性第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五级数收敛的柯西充要条件使对任意正整数P，有定理当P＝1，级数收敛的必要条件定义

若级数收敛，则称绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛。定理第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五级数绝对收敛的判别法

比较判别法比值判别法

若，而收敛，则收敛，即绝对收敛。若，而发散，则发散。若存在与n无关的常数r

，则当时，级数绝对收敛；当时，级数发散。第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五若，则级数收敛，即绝对收敛；若，则级数发散。若，则收敛，即绝对收敛；若，则发散。达朗贝尔判别法柯西判别法第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五绝对收敛级数的性质ⅰ改变次序不改变绝对收敛性和级数的和Fⅱ把绝对收敛级数拆成若干子级数，每个子级数仍绝对收敛。ⅲ两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五②设在区域G内有定义，对，级数收敛，则称级数在点收敛；反之，若发散，称在点发散。4.2函数级数

定义

①各项均为复变函数，的无穷级数

称为复变函数项级数。第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③若级数在G内每一点都收敛，则称级数在G内逐点收敛，其和函数F(z)是G内的单值函数。④若e

>0，与z无关的N(e)，使当n>N(e)时，成立，则称级数在G内一致收敛。第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五魏尔斯特拉斯的M判别法定理若在区域G内，Mk与z

无关，而

收敛，则在G内绝对且一致收敛。——判别级数是否一致收敛第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一致收敛级数的性质ⅰ连续性若fk(z)在G内连续，级数在G内一致收敛，则其和函数也在G内连续。ⅲ逐项可导性设fk(z),(k=1,2,3…)在G上单值解析，在G上一致连续，则此级数的和函数F(z)是G内的解析函数，且求导后在G内一致收敛。ⅱ逐项可积性若fk(z)在分段光滑曲线CG上连续，则对于C上一致收敛级数可逐项求积分。第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五幂级数幂级数是通项为幂函数的函数项级数。4.4幂级数幂级数是解析函数最重要的表达形式之一，除了代数函数，许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的。定义

Ci,a为复常数。它是一种特殊形式的函数级数，也是最基本最常用的一种函数项级数。第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五若级数在某点z0收敛，则在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而在上一致收敛。阿贝尔第一定理（阿贝尔定理）定理证明∵

在z0

收敛∴

（级数收敛的必要条件）

e>0,d(e),

使当z0－0<e时，

∵

q>0，使成立∴

第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五当

，即时，

收敛，故

在圆

内绝对收敛而当时，（与z无关）常数项级数收敛故

在圆上一致收敛第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五推论

若级数在某点z1

处发散，则在内处处发散。证明反证法假设在内某一点z2处收敛由阿贝尔定理可知，级数在圆内收敛，与假设矛盾故级数在内处处发散。第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五幂级数的收敛点所构成的圆内区域称为幂级数的收敛圆。收敛圆的半径称为收敛半径R。定义

级数在内绝对收敛，在上一致收敛，在上，敛散性不定。特殊情况：收敛半径为0——收敛圆退化为一个点，除该点外幂级数在全平面处处发散。收敛半径为∞——收敛圆是全平面，在∞点发散（除非只有常数项）。第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五求幂级数收敛半径的常用方法

1、根据柯西判别法当，即时，级数绝对收敛，当，即时，级数发散。因此，幂级数的收敛半径为第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五2、根据达朗贝尔判别法当，即时，级数绝对收敛，当，即时，级数发散。因此，幂级数的收敛半径为若存在则第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

例题解求级数的收敛半径。

收敛圆为

例题解求级数的收敛半径。

收敛圆为第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

例题解已知和的收敛半径分别为R1和R2，求级数的收敛半径。

收敛圆为第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

例题解求级数

的收敛半径。

收敛圆为将奇偶项分开第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

例题解求级数

的收敛半径。

收敛圆为第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

例题解求级数

的收敛半径。

例题解求级数

的收敛半径。

收敛圆为级数

发散。

第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五定理在收敛圆内，幂级数可以逐项积分或求导任意次，而收敛半径不变。证明由一致收敛性质可知第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五设积分后的幂级数(1)的收敛半径为Ri，求导后的幂级数(2)的收敛半径为Rd。则，对(1)式两边求导，必然存在，即所以同理可证一般地，逐项积分后收敛性加强，逐项求导后收敛性减弱。第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五定理若幂级数在收敛圆内收敛到f(z)，且在收敛圆周上某点z0也收敛，和为S(z0)，则当z由收敛圆内趋向于z0时，只要保持以z0为顶点，张角为2f<p，f(z)就一定趋向于S(z0)。阿贝尔第二定理第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五4.5含参量的反常积分的解析性定理

设①f(t,z)是t和z的连续函数，t>a，②在上单值解析③在上一致收敛，即，当T2>T1>