第四章 弯曲内力正式

第四章弯曲内力正式第一页，共八十页，编辑于2023年，星期五2§4-1

基本概念及工程实例第四章弯曲内力§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§4-2

梁的剪力和弯矩§4-4荷载集度、剪力和弯矩间的关系§4-5

叠加原理作弯矩图第二页，共八十页，编辑于2023年，星期五3一、工程实例§4-1基本概念及工程第三页，共八十页，编辑于2023年，星期五4工程实例第四页，共八十页，编辑于2023年，星期五5第五页，共八十页，编辑于2023年，星期五6

二、基本概念2.梁

以弯曲变形为主的杆件。外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。（1）受力特征（2）变形特征

变形前为直线的轴线,变形后成为曲线。1.弯曲变形3.对称弯曲

作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为对称弯曲。第六页，共八十页，编辑于2023年，星期五7AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FRAF1F2FRB第七页，共八十页，编辑于2023年，星期五8（3）支座的类型4.受弯杆件的简化（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷类型集中力集中力偶分布载荷

可动铰支座FRAAAAA第八页，共八十页，编辑于2023年，星期五9固定铰支座固定端AAAFRAyAFRAxFRyFRxM第九页，共八十页，编辑于2023年，星期五10

起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.q

=38.105kN/mF=100kN第十页，共八十页，编辑于2023年，星期五11车床主轴示意图向心推力轴承滚珠轴承第十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五125.梁的基本形式

悬臂梁

外伸梁

简支梁静定梁第十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五13超静定梁连续梁子母梁第十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五14一、内力计算

例题4-1已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力§4-2

梁的剪力和弯矩BAalFFRAyFRAxFRBABF第十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五15求内力——截面法

弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩M

构件受弯时，与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM2.剪力FS

构件受弯时，与横截面相切的分布力系的合力.第十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五16FSdxmmFS+1.剪力符号

使dx

微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定

使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmFSFS-第十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五17

当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；2.弯矩符号mm+（受拉）MM

当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.mm（受压）MM-第十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五18解：（1）求梁的支反力FRA

和FRB例题4-2图示梁的计算简图.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c、d和l亦均为已知.试求梁在E

、F

点处横截面处的剪力和弯矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA第十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五19

记E

截面处的剪力为FSE

和弯矩

ME，且假设FSE

和弯矩ME

的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得第十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五20

计算F点横截面处的剪力FSF

和弯矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+第二十页，共八十页，编辑于2023年，星期五21§4-3

剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程2.弯矩方程第二十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五22弯矩图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧（刘洪文教材）弯矩图画在受拉侧，不注明正负号。两种方法表示均可，建议文字说明受拉侧。二、剪力图和弯矩图

剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧

以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS

图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)第二十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五23例题4-3如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解:

列出梁的剪力方程和弯矩方程FSxFFlxM第二十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五24例题4-4图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）

求支反力lqFRAFRBABx（2）根据平衡方程求剪力方程和弯矩方程：第二十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五25剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0处，x=l

处,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB第二十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五26弯矩图为一条二次抛物线lqFRAABxFRB令得驻点弯矩的极值绘出弯矩图+l/2第二十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五27

由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上

FS=0

两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2第二十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五28解:（1）求梁的支反力例题4-5图示的简支梁在C点处受集中荷载

F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabFRAFRB

有荷载变化处，内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.第二十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五29将坐标原点取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB第二十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五30

由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x

轴的直线.xxlFABCabFRAFRB++

由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.第三十页，共八十页，编辑于2023年，星期五31

在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.xxlFABCabFRAFRB++第三十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五32解：求梁的支反力例题4-6图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.取坐标原点在梁的左端.

因为梁上没有横向外力，全梁只有一个剪力方程：lABCabFRAFRBM整个梁的剪力图是一条平行于x

轴的直线.+剪力图第三十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五33AC段CB段AC

段和

BC

段的弯矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB

两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.

x=a,

x=0,AC段CB段

x=a,x=l,M=0+弯矩图第三十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五34

梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.lABCabFRAFRBM++第三十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五35例4-7外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、根据平衡条件求支座反力xx第三十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五362、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x第三十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五37yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图E-qa(-)(-)(+)(-)(+)第三十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五38例题4-8一简支梁受移动荷载F

的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载F

的位置.解:设F在距左支座A

为x

的位置支反力为：梁的弯矩为:令ABFlxABFlxCFRAFRB解得：第三十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五39此结果说明，当移动荷载F

在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.得最大弯矩值：代入式将ABFlxCFRAFRB第三十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五40三、平面刚架内力图

平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。每两个组成部分在其连接处夹角不变，这种连接称为刚节点（图中B节点）。第四十页，共八十页，编辑于2023年，星期五41

作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：

弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；

剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五42例题4-9试作图a所示刚架的内力图。第四十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五431.列各杆的内力方程CB杆(杆的上侧受拉)BA杆(杆的左侧受拉)解:(0<x≤a)(0≤x≤a)（压力）（0≤

x1≤l）（0<x1≤l）第四十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五442.绘内力图绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号；弯矩图则画在杆件的受拉一侧。不需注明正负号。第四十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五45

设梁上作用有任意分布荷载其集度§4-4

荷载集度、剪力和弯矩间的关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q=q(x)规定

q(x)向上为正.将x轴的坐标原点取在梁的左端.xyq(x)FM第四十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五46xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)

假想从梁中取出dx微段.mmnnq(x)Cx+dx

截面处则分别为FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，忽略q(x)沿dx的变化.m-m截面上内力为FS(x),M(x)nxmmndx第四十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五47FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段梁的平衡方程得到

略去二阶无穷小量即得第四十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五48公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性.第四十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五49M(x)图为一向上凸的二次抛物线.FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)<0xOM(x)第四十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五502.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0时,向右上方倾斜.当FS(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x第五十页，共八十页，编辑于2023年，星期五515.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧，或分布载荷发生变化的区段上。3.在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值，弯矩图有转折。4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。6.梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0的截面上，或发生在集中力所在的截面上，或集中力偶作用处的一侧。

第五十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五52无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C第五十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五53三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在x=x1

和x=x2处两个横截面无集中力则等号右边积分的几何意义是x1,x2两横截面间分布荷载图的面积.式中，分别为在x=x1

和x=x2

处两个横截面上的剪力.第五十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五54若横截面x=x1，x=x2

间无集中力偶作用则得式中M(x1)，M(x2)分别为在x=x1

和x=x2处两个横截面上的弯矩.等号右边积分的几何意义是x1,x2两个横截面间剪力图的面积.第五十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五55例题4-10一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.解：（1）求梁的支反力

将梁分为AC、CD、DB

三段.每一段均属无载荷区段.（2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段BFACD1151265FFRAFRB231950200第五十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五5623.61.727+DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上CD段BFACD1151265FFRAFRB231950200F=25.3kN第五十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五574.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大弯矩发生在C

截面（3）弯矩图

每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.第五十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五58（4）对图形进行校核

在集中力作用的C,D

两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.

在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.

最大弯矩发生在剪力改变正、负号的

C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.第五十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五59例题4-11作梁的内力图.解：（1）支座反力为3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN将梁分为AC、CD、DB、BE四段.（2）剪力图AC段

向下斜的直线()CD段向下斜的直线()第五十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五60DB段水平直线(-)EB段

水平直线(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直线()CD段向下斜的直线()F点剪力为零,令其距A截面的距离为x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m第六十页，共八十页，编辑于2023年，星期五61（3）弯矩图CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNx=5m第六十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五623m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5（4）校核第六十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五63解：支座反力为FRA

=81kNFRB=29kNMA=96.5kN·m例题12

用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB

五段。第六十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五64(1)剪力图AE段

水平直线FSA右

=FSE左

=FRA

=81kNED段

水平直线DK

段向右下方倾斜的直线FSK=-FRB

=-29kNFSE右

=FRA

-F=31kNKB

段水平直线FSB左=-FRB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，FRB=29kN第六十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五65

设距K截面为x

的截面上剪力FS=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，FRB=29kN第六十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五66（2）弯矩图AE，EC，CD

梁段均为向上倾斜的直线10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，FRB=29kNx=1.4581kN31kN29kN+第六十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五67KB

段向下倾斜的直线DK段向上凸的二次抛物线在FS=0的截面上弯矩有极值31x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mFRA

=81kN，MA=96.5kN·m，FRB=29kN96.515.5x=1.45第六十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五68

中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m+5534596.515.5第六十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五69

例题13已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)画荷载图AB段没有荷载，在B处有集中力所以F=20kN方向向下CABDF=20kN第六十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五70BC段无荷载CD

段有均布荷载q()abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN第七十页，共八十页，编辑于2023年，星期五71(2)弯矩图AB段向右上倾斜的直线BC段向右下倾斜的直线.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.48dab54c+第七十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五72例题14已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.AB段因为M(x)=常量,剪力图为水平直线,且FS(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力图BC段FS(x)=常量,剪力图为水平直线CD段剪力图为水平直线且FS(x)=0abcd2