第十章 机械振动

第十章机械振动第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五

1、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。

前言2、振动的特征(在时间上）具有某种重复性。第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。2、振动的特征(在时间上）具有某种重复性。广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五以几个例子导出系统简谐振动的动力学方程，分析其动力学和运动学的共同特征，给出简谐振动的几何描述，介绍简谐振动的合成，用以解决系统的简谐振动问题。给出阻尼振动的微分方程以及运动学解，进一步分析弱阻尼时的系统的能量问题。给出受迫振动的微分方程及其运动学解，重点讨论稳态振动时的共振特征。第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§10-1简谐振动的动力学特征任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。振动中最简单最基本的是简谐振动。第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。条件：位移限定在弹性限度内，不 计弹簧内部摩擦。2）无阻尼时的自由振动阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。X0xFK一、简谐振动的几个例子1.

弹簧振子第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五（3）惯性的作用整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振动的。恢复力与位移成正比而反向（线性回复力），即（2）弹性恢复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F=-kx

X0xFK第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五3）弹簧振子的运动微分方程由牛顿定律：以振子为对象解微分方程得：第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五4）.简谐振动的定义—胡克定律—谐振动的微分方程—谐振动的运动方程

若物体的运动规律满足上述方程中的任一个，则其运动为简谐振动。第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五2）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原点。（2）恢复力矩的特点：重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。1）定义2、单摆对于较小幅度的摆动，

第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五3）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：方程的解为对于较小幅度的摆动，

第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五3.复摆

对于较小幅度的摆动，

令

整理得：1)定义2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程方程的解为第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五4.扭摆实验表明：

转动定律得：

令

整理得：

结论：在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振动的标准微分方程为：第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二.简谐振动的速度和加速度图图图第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§10.2简谐振动的运动学

本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。一、简谐振动的运动学方程方程的解为：（1）上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二、描述简谐振动的物理量1.周期（T）完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：2.

频率（）单位时间内完成的全振动的次数：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五固有角频率固有振动周期第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五3.振幅定义：物体离开平衡位置的最大位移。振幅可以由初始条件决定。如：t=0时刻，第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五

4、位相和初位相位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相─取其具有周期性）(i)用分析法确定特殊情况下的位相

t=0时，x0=A,v0=0.(位——位置；相——变化的态势）X0X0=+A（2）0

是t=0时刻的位相，即初位相（0—2之间取值）第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五X0

t=0时,x0=0,v0<0vX0

t=0时,x0=-A,v0=0-AX0v

t=0时,x0=0,v0>0第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五即由初始条件所决定的两个积分常数(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相φ0取使x0、v0均满足的值X0A／2

t=0时,x0=A/2,v0<0v第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五相位:⑴

相位决定了振动物体任时刻相对平衡位置的位移和速度，是反映振动物体的运动状态的物理量。⑵为初相位，描述质点初始时刻的运动状态.⑶相位在内变化，质点无相同的运动状态；反映出简谐运动的周期性。相位相差为整数质点运动状态全同。讨论：第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五讨论质点做谐振动，讨论=0、、/2、-/2时，质点的运动状态。位于正最大位移处，速度为零位于负最大位移处，速度为零位于平衡位置，以速度A沿x负方向运动

位于平衡位置，以速度A沿x正方向运动

第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五相位差：两振动相位之差。讨论：（1）若是的整数倍，则振动同相位；（2）若是的奇数倍，则振动相位相反；（3）若，则称超前；（4）若，则称落后；相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例1

一弹簧振子，t＝0时，求振动的初位相。解：因此，在第一象限，第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五总结：⑴简谐振动是周期性运动；⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。三、简谐振动的图象：x-t图线

描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1、旋转矢量的规定法则

(1)旋转矢量的制作(2)旋转矢量的作用：(3)旋转矢量本身不是谐振动若已知一个谐振动

x=Acos(t+0)相应的旋转矢量如图所示。习惯上用

A的位置xt+t时刻t=0

时刻A的位置x0XO四、简谐振动的旋转矢量表示法第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0时，矢量与坐标轴的夹角为，矢量以角速度逆时针匀速转动。第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。⑵矢端的速度大小为，在x轴上的投影为：⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在x轴上的投影：第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五总结：旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一设谐振动方程为

从图中得：A＝4cmt＝0时，x0＝-2cm，且0＜0，得得再分析，t＝1s时，x＝2cm，>0，第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五得即＝所以振动方程为方法二：用旋转矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五一、动能二、势能三、总能四、动能和势能在一个周期内的平均值设x(t)=Acos(ωt+0)v(t)=-Aωsin(ωt+0)§10-3简谐振动的能量第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间作周期性变化，Ｅｋ最大，Ｅｐ=0；Ｅｐ最大，Ｅｋ=0，但任一时刻总机械能保持不变。即：动能和势能互相转化（3）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

（2）谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：讨论：第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五简谐运动势能曲线在任意位置，动能与势能之和为．在一周期内平均动能和平均势能是相等的，都等于总能量的一半．第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例题当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五§10—4简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合位移：令：第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五则：因此，（1）⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频率旋转，、之间的夹角不变，也以旋转，平行四边形的形状不变。

第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五讨论：（1）若相位差，即同相位，则：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，则：，振幅最小；（3）一般情况下，振幅A介于与之间。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二、同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：，n，m有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。若：周期之比