复变函数与积分变换第一章复数

第三节

复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考一、乘积与商2定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证

设复数z1和z2的三角形式分别为z1

=

r1

(cosq1

+

i

sinq1）,

z2

=

r2

(cosq2

+

i

sinq2）,则z1

z2

=

r1

(cosq1

+

i

sinq1

)

r2

(cosq2

+

i

sinq2

)=

r1

r2[(cosq1

cosq2

-

sinq1

sinq2

)+

i(sinq1

cosq2

+

cosq1sinq2

)]z1

z2

=

r1

r2[cos(q1

+q2

)

+

i

sin(q1

+q2

)]两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.2再把它的模扩大到

r

倍,从几何上看,

两复数对应的向量分别为

z1

,

z2

,

2旋转一个角q

,先把

按逆时针方向z1所得向量

z

就表示积

z1

z2

.oxyr2r1r

z213zzArg(z1z2

)

=

Argz1

+

Argz2

.[证毕]说明由于辐角的多值性,Arg(z1z2

)=Argz1

+Argz2两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，设

z1

=

-1,

z2

=

i,则

z1

z2

=

-i,Argz1

=

p

+

2np,22(n

=

0,

–

1,

–

2,),(m

=

0,

–

1,

–

2,),Argz

=

p

+

2mp,21

2(k

=

0,

–

1,

–

2,),Arg(z

z

)

=

-

π

+

2kπ,p4故

3p

+

2(m

+

n)p

=

-

+

2kp,

只须

k

=

m

+

n

+

1.2

2若

k

=

-1,

则m

=

0,

n

=

-2

或

m

=

-2,

n

=

0.设复数z1和z2的指数形式分别为5.21

2i

(q

+q

)则

z1

z2

=

r1

r

e1

22

2iq

iqz1

=

r1e

,

z

=

r

e

,由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:z1

z2kk

k

kk

k,

(k

=

1,2,,

n)iqq

+

i

sinq

)

=

r

e设

z

=

r

(cos

zn

=

r1r2

rn[cos(q1

+q2

+

+qn

)+

i

sin(q1

+q2

+

+qn

)]11

2

ni

(q

+q

+q

)=

r

r2

rne

.定理二两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证11122z

,zz按照商的定义,

当

z

„

0

时,

z=z1z2=

2

z1

z

z

z1

, Argz2

=

Arg

2

+

Argz1

,1

1z

zz2于是

=

z2

,122-

Argz

.Arg

=

Argzz

1

z

设复数z1和z2的指数形式分别为z1

r16则z2

=

r2

ei

(q2

-q1

)

.,1

222iq

iqz1

=

r1e

,

z

=

r

e[证毕]例13

321z

=

sin

p

-

i

cos

p,3i),已知

z

=

1

(1

-1

3

3

解

因为

z

=

cos

-

p

+

i

sin

-

p,2

6

6

z

=

cos

-

p

+

i

sin

-

p,6

p3p3 6

1

2-

p

+

i

sin

-

-所以

z

z

=

cos

-p

=

-i,

+6

p

p3=

cos

-21+

i

sin

-

3

+

6

zz3

-

1

i.2

2p

p

=.7212zz2求

z1

z

和例2已知正三角形的两个顶点为z1

=1

和z2

=2

+i,绕

z

旋转p(或

-

p)就得1

3

3将表示z2

-z1

的向量求它的另一个顶点.解

如图所示,oxy1z

=

1z2

=

2

+

iz33zp3,8p3到另一个向量,它的终点即为所求顶点z3

(或z3¢).pi因为复数

e

3

的模为1,

转角为z3

-

z1

=

e

3

(z2

-

z1

)pioyz

=

2

+

i2z3xz3p3z1

=

1

2

2=

1

+

3

i

(1

+

i)+

i

+

=

-

2

2

2

2

1 3

1 3

2233

i,=

3

-

3

+

1

+所以z29233

i.3

+

1

-z¢=

3

+二、幂与根记作zn

,1.

n次幂:n

个相同复数z

的乘积称为z

的n

次幂,zn

=

z

zz

.n个对于任何正整数n,有zn

=rn

(cos

nq

+i

sin

nq

).上式仍成立.10zn如果我们定义z-n

=1

,那么当n

为负整数时,当z

的模r

=1,即z

=cosq

+i

sinq,棣莫佛介绍(cosq

+

i

sinq

)n

=

cos

nq

+

i

sin

nq

.棣莫佛公式3.

方程wn

=z

的根w,其中z

为已知复数.11n

n+

i

sinw

=

n

z

=

r

n

cos1

q

+

2kπ

q

+

2kπ(k

=

0,1,2,,

n

-1)推导过程如下:2.棣莫佛公式设

z

=

r(cosq

+

i

sinq

),

w

=

r(cosj

+

i

sinj

),根据棣莫佛公式,wn

=

rn

(cos

nj

+

i

sin

nj

)

=

r(cosq

+

i

sinq

),于是rn

=r,cos

nj

=

cosq,

sin

nj

=

sinq,显然nj

=q

+2kπ,(k

=

0,

–

1,

–

2,),nq

+

2kπ1故

r

=

r

n

,

j

=12nn+

i

sinw

=

n

z

=

r

n

cos1

q

+

2kπq

+

2kπ当k

=0,1,2,,n

-1时,得到n

个相异的根:1

n

+

i

sin

,w0

=

r

n

cosq

q

n,1

n+

i

sinnw1

=

r

n

cosq

+

2πq

+

2π,

131

+

i

sin

.n

nwn-1

=

r

n

cosq

+

2(n

-1)πq

+

2(n

-1)π当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.例如k

=n

时,nn+

i

sinwn

=

r

n

cos1

q

+

2nπ

q

+

2nπq

q

n n

+

i

sin=

r

n

cos1

=

w0

.n

z

的n

个值就是以原点为中心,从几何上看,114r

n

为半径的圆的内接正n

边形的n

个顶点.例3化简(1

+i)n

+(1

-i)n

.

2

2解

1

+

i

=

2

1

+

1

i

4

4=

2cos

p

+

i

sin

p

2

22

1

-

1

i

1

-

i

=15

4

4

=

2cos

-

p

+

i

sin

-

p(1

+

i)n

+

(1

-

i)n

=pn+

i

sinp4 4

(

2)n

cospnp4

+

i

sin

-4

+

(

2)n

cos

-

4

444=

(

2)n

cos

np

+

i

sin

np

+

cos

np

-

i

sin

np.1642=

2

cosnpn+2例4计算3

1

-i

的值.

2

2解

1

-

i

=

2

1

-

1

i

4

4

=

2cos

-

p

+

i

sin

-

p17--3p43p43

1

-

i

=

6

2cos+

2kp+

i

sin+

2kp(k

=

0,1,2).,6012

p12

p2

cos

-+

i

sin

-w

=122

cos6112

7p7p+

i

sin

,w

=4182

4

w

=

6

2cos

5p

+

i

sin

5p.即例5

计算

4

1

+

i

的值.

4

4解

1

+

i

=

2cos

p

+

i

sin

p444p

+

2kp+

i

sin

4p

+

2kp4

1

+

i

=

8

2cos(k

=

0,1,2,3).0即

w

=

8

2cos

p

+

i

sin

p

,819116 16

9p16

169p+

i

sin

,w

=

2

cos216 16

w

=

8

2cos17p

+

i

sin

17p,316

16

w

=

8

2cos

25p

+

i

sin

25p.这四个根是内接于中心在原点半径为

8

2

的圆的正方形的四个顶点.oxyw1w2w3w020例6解方程(1

+z)5

=(1

-z)5

.解

直接验证可知方程的根

z

„

1,=

1,故原方程可写成

1

-z

1

+

z

51

+

z令

w

=

,1

-

z52kpi2piw1

=

e

5

,

w

=

e

,

k

=

0,1,2,3,4.4piw2

=

e

5

,则w5

=1,故w0

=1,6piw3

=

e

5

,8pi21w4

=

e

5

.w

-1

eia

-1因为

z

=

=

=w

+

1

eia

+

1

cosa

+

i

sina

+

1cosa

+

i

sina

-1=2

22

22

2

2cosa

cosa

+

i

sina

2sina

-

sina

+

i

cosa

2a

=

i

tan

,0故原方程的根为

z

=

0,51z

=

i

tan

p,5

52

3z

=

i

tan

2p,

z

=

i

tan

3p,5224z

=

i

tan

4p.n求证

:

x

y

-

x

y

=

4n-1

3.n-1

n

n

n-1例7

若

n

为自然数,

且

xn

+

iyn

=

(1

+

i

3)

,证n

npn3