赢在微点文数二轮专题微练重点增分专练

第二篇二轮高效复习分层设计(攻关篇)第二层级重点突破增分考点(深度精研——重点攻关)专题二 数列重点增分专练(五)数列大题考向探究第一次作业

基础通关训练1．(2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16。求{an}的通项公式；设bn＝log2an，求数列{bn}的前n

项和。解

(1)设{an}的公比为

q，由题设得2q2＝4q＋16，即

q2－2q－8＝0。

解得

q＝－2(舍去)或

q＝4。n

n因此{a

}的通项公式为

a

＝2×4

＝2－

－n

1

2n

1。(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n

项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2。2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6

成等比数列。求{an}的通项公式；记{an}的前n

项和为Sn，求Sn

的最小值。解

(1)设{an}的公差为

d。因为

a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d。因为a2＋10，a3＋8，a4＋6

成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)。所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)。解得d＝2。所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12。(2)由(1)知，an＝2n－12。所以，当n≥7

时，an>0；当n≤6时，an≤0。所以，Sn

的最小值为S6＝－30。3．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知等比数列{an}的前n

项和为Sn，公比q>1，且a2＋1

为a1，a3

的等差中项，S3＝14。求数列{an}的通项公式；记bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n

项和Tn。解

(1)由题意，得

2(a2＋1)＝a1＋a3。又

S3＝a1＋a2＋a3＝14，所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4，41因为S3＝q＋4＋4q＝14，所以q＝2

或q＝2，因为q>1，所以q＝2。n

2－

－n

2

n

2

n所以

a

＝a

q

＝4·2

＝2

。(2)由(1)，知an＝2n，所以bn＝an·log2an＝2n·n。—

n所以

Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n

1＋n×2

①。2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n

1

②。＋①－②得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n

1＋＝2(1－2n)1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2。所以

Tn＝(n－1)2n

1＋2。＋n＋14．(2019·江西省八校联考)设数列{an}满足

a1＝1，a

＝44－an(n∈N*)。(1)求证：数列

1

an－2是等差数列；n(2)设b

＝a2na2n－1n，求数列{b

}n的前n

项和T

。n＋1解

(1)因为

a

＝44－an，所以n＋11

1na

－2

a

－2—

＝1

4

4－an－2—14－an＝n

na

－2 2a

－4—12－an＝n

n1a

－2 2a

－4＝－2。又a1＝1，所以

1

a1－2

1

an－212＝－1，所以数列

是以－1

为首项，－

为公差的等差数列。(2)由(1)知

1

an－2

12＝－1＋(n－1)－

＝－n＋12，所以an＝2－

2

2n n＋1

n＋1＝

，a2n所以bn

＝a2n－1

4n

2n＋12n4n2

1

1＝2(2n－1

＝(2n－1)(2n＋1

＝

1

＋(2n－1)(2n＋1

＝

1

＋2)

)

)

1—1

12n－1 2n＋

，所

以

Tn＝

b1＋

b2＋

b3＋

…

＋

bn＝

n

＋12

－3＋3－5＋5－7＋…＋2n－

－1

1

1

1

1

1

1

1

1

2n

11

1

1＋

＝n＋21－2n＋

＝n＋

n

2n＋1，n

n所以数列{b

}的前n

项和T

＝n＋n2n＋1。5．(2019·河北省九校联考)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n

项和为n

n

n

1anS

，且

S

为

a

与 的等差中项。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)nan，求{bn}的前n

项和Tn。n

n

1an

n

n解

(1)由题意知，2S

＝a

＋ ，即

2S

a

－a2＝1，①n当n＝1

时，由①式可得S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，整理得

S2－S2

＝1。n

n－1所以{S2}是首项为1，公差为1

的等差数列，S2＝1＋n－1＝n。n

n因为{an}的各项都为正数，所以Sn＝

n，所以

an＝Sn－Sn－1＝

n－

n－1(n≥2)，又

a1＝S1＝1，所以

an＝

n－

n－1。(2)bn＝(－1)nan＝(－1)nn－

n－1＝(－1)n(n＋

n－1)，3＋

2)＋…＋(

n－1＋

n－2)－(

n＋

n－1)＝当n

为奇数时，Tn＝－1＋(

2＋1)－(—

n；3＋

2)＋…－(

n－1＋

n－2)＋(

n＋

n－1)＝当n

为偶数时，Tn＝－1＋(

2＋1)－(n。所以{bn}的前

n

项和

Tn＝(－1)n

n。6．(2019·长沙市统考)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*。求数列{an}，{bn}的通项公式；求使b1＋b2＋…＋bn>2

018

成立的最小正整数n

的值。解

(1)令

n＝1

得，a1－2a2＋a3＝0，解得

a2＝5。又由an－2an＋1＋an＋2＝0

知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2

的等差数列，于是an＝2n＋1，b

n—1

nn＝a2n－1＝2·2

＋1＝2

＋1。(2)由(1)知，bn＝2n＋1。1

2

n于是b

＋b

＋…＋b

＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝2(1－2n)1－2＋n＝2n＋1＋n－2。令f

(n)＝2n＋1＋n－2，易知f

(n)是关于n

的单调递增函数，又f

(9)＝210＋9－2＝1

031，f

(10)＝211＋10－2＝2

056，故使b1＋b2＋…＋bn>2

018

成立的最小正整数n

的值是10。第二次作业 能力增分加练1．(2019·广东省七校联合体联考)已知数列{an}为公差不为0

的等差数列，a1＝5，且a2，a9，a30

成等比数列。(1)求{an}的通项公式；n(2)若数列{b

}＋n

1*n

n

1满足

b

－b

＝a

(n∈N

)，且

b

＝3，求数列

1

bn的前n

项和Tn。解

(1)设等差数列{an}的公差为

d(d≠0)，依题意得(a1＋d)(a1＋29d)＝(a1＋8d)2。又a1＝5，所以d＝2，所以an＝2n＋3。(2)依题意得bn＋1－bn＝2n＋3(n∈N*)，所以bn－bn－1＝2n＋1(n≥2

且n∈N*)，所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＝n(2n＋1＋3)2＝n2＋2n(n≥2

且n∈N*)，b1＝3，上式也成立，所以bn＝n(n＋2)(n∈N*)，n所以b

＝1

1n(n＋2)2＝

n11－

1

n＋。2n所以T

＝1－

＋1

1

1—1

1

12

3

2

4

3

5＋

－

＋…＋n1－

1

n＋2＝13

1

1

1

n

222－n＋－＋。2．(2019·湖北襄阳二模)已知数列{an}的前n

项和为Sn，满足：a1＝1，Sn＋1n

n

n131－1＝S

＋a

，数列{b

}为等比数列，满足b

＝4b

，b2＝4<b1，n∈N*。(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列

1

anan＋1的前n

项和为Wn，数列{bn}的前n

项和为Tn，试比较n

1TnW

与 的大小。解

(1)由

Sn＋1－1＝Sn＋an，得

Sn＋1－Sn＝an＋1，即

an＋1－an＝1，又

a1＝1，所以数列{an}是首项和公差均为1

的等差数列，可得an＝n。1n

1

3

1*因为数列{b

}为等比数列，满足b

＝4b

，b2＝4<b

，n∈N

，所以设公比为q，可得b1＝4b1q2，所以q＝

1，±2当

q＝1

1

1

1

12时，2b1＝4，可得b1＝2>4。当

q

1

1

1

1＝－2时，－2b1＝4，得b1＝－2，不满足b2<b1，舍去，21n所以

bn＝

。(2)1a

an

n＋1＝1

1

1n(n＋1

＝n－n＋1)，n1

1

1

1

1

1

n

1

n

1W

＝1－2＋2－3＋…＋n－n＋1＝1－n＋＝

＋<1。n1

1

21－2n1－21

1

1

2

2T

＝

＝1－

n∈

，1，nTn

Tn则1<1

≤2，故W

<1

。3．若数列{an}是公差为

2

的等差数列，数列{bn}满足

b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1。(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝na

＋1bn＋1n

n，数列{c

}的前

n

项和为

T

，若不等式(－n1)

λ<T

＋

n

n

2n－1*对一切n∈N

恒成立，求实数λ

的取值范围。解

(1)因为数列{bn}满足

b1＝1，b2＝2，且

anbn＋bn＝nbn＋1。所以

n＝1

时，a1＋1＝2，解得

a1＝1。又数列{an}是公差为2的等差数列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1。所以2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，n所以数列{b

}n—n

1是首项为

1，公比为

2

的等比数列。

所以

b

＝2

。nan＋1(2)由数列{c

}满足cn＝

bn＋1＝2n2n＝

n2n－1，数列{cn}的前n

项和为n2

3

n T

＝1＋2＋22＋…＋2n－1①，n－11

1

2

n所以2Tn＝2＋22＋…＋

2n－1

＋2n

②，①－②，得1

1

1

1

n2Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－2n＝1－

12n1－2

n1

－2nn＋2

n＋2＝2－2n

，所以Tn＝4－2n－1

。n不等式(－1)

λ<T

＋nn2n

2n－1

2n－1，化为(－1)

λ<4－

，2n－1当

n＝2k(k∈N*)时，λ<4－

2

恒成立，取

n＝2，所以

λ<3。当

n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－

2

恒成立，取

n＝1，所以

λ>－2。2n－1综上可得，实数λ

的取值范围是(－2,3)。14．设f

(x)＝2xn2＋2x，f

′(x)是y＝f

(x)的导函数，若数列{a

}满足an＋1n＝f

′(a

)，且首项a1＝1。求数列{an}的通项公式；数列{an}的前n

项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n

项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn

的所有n

的值。解

(1)由

f

(x)

1

＋2x，得

f

′(x)＝x＋2。＝2x2因为an＋1＝f

′(an)，且a1＝1。所以an＋1＝an＋2，则an＋1－an＝2，因此数列{an}是公差为2，首项为1的等差数列。所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1。n(2)数列{a

}的前n

项和Sn＝n(1＋2n－1)2＝n2，等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以

q＝3。所以

bn＝3n

1。—21－3n

3n－1

3n－1所以数列{bn}的前

n

项和

Tn＝

1－3

＝

3－1

＝

。Tn≤Sn

可化为3n－12≤n2，即3n≤2n2＋1。又n∈N*，所以n＝1，或n＝2。故适合条件Tn≤Sn

的所有n

的值为1

或2。5．(2019·天津高考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3。(1)求{an}和{bn}的通项公式；1，n为奇数，2，n为偶数，(2)设数列{cn}满足

cn