高中总复习第一轮数学(新)第四章三角函数()三角函数的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精4。10三角函数的应用巩固·夯实基础一、自主梳理1。三角函数图象和性质的应用,画三角函数图象常用的两种方法是“五点法”与“平移伸缩法”；我们常说的三角函数的性质一般指定义域、值域、周期、单调性、奇偶性、对称性。2.三角函数恒等变形常见题型有一般恒等式与条件恒等式;考查的数学思想方法有化归、整体代换、换元、函数与方程的思想.3.三角函数与其他数学知识联系密切。由你的做题经验总结三角函数经常与向量、解析几何、立体几何、不等式等联系.4。三角函数在实际问题中经常用到,它在解决实际问题中的一般步骤是审题、建立数学模型、解模、回归实际问题。二、点击双基1.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB—sinA，sinB-cosA）在（)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B〉.∴A>-B，B>—A.∴sinA〉cosB,sinB>cosA.∴P在第二象限.答案：B2.设0＜｜α｜＜,则下列不等式中一定成立的是（)A。sin2α＞sinαB。cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD。cot2α＜cotα解析:由0＜｜α|＜，知0＜2|α|＜且2|α|＞｜α｜，∴cos2｜α｜＜cos|α｜.∴cos2α＜cosα.答案:B3。已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b)，则mx+ny的最大值为（)A.B.C。D.解析：设m=sinα,n=cosα,x=cosβ，y=sinβ，则mx+ny=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β）。答案：B4。在△ABC中，∠A=60°，BC=2，则△ABC的面积的最大值为_________。解析:由余弦定理得4=b2+c2—2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，∴bc≤4,S△ABC=bc·sinA=bc≤×4=。答案:5。在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD(如右图)，今在距离B点60m的地面上取一点A,若测得C、D所张的角为45°,则这个电视塔的高度为________________。解析:设∠CAB=α,则tanα==.由题意tan(α+45°)=,即=。解得CD=150(m)。答案:150诱思·实例点拨【例1】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t（0≤t≤24,单位：小时）的函数,记作:y=f（t）。下表是某日各时的浪高数据:t(时)03691215182124y(米）1。51.00.51.01。510.50。991。5经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b。(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;（2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1)的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解:(1）由表中数据,知周期T=12。∴ω===.由t=0，y=1.5,得A+b=1。5.①由t=3，y=1.0,得b=1。0.②∴A=0。5，b=1。∴振幅为.∴y=cost+1。（2）由题知,当y>1时才可对冲浪者开放。∴cost+1〉1.∴cost>0.∴2kπ—〈t〈2kπ+,即12k-3〈t<12k+3.③∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0，1，2,得0≤t〈3或9<t〈15或21〈t≤24。∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.讲评:把数学问题与实际相结合,弄清条件，推导所求.【例2】如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.（1）求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式。解：（1）由题中图所示,这段时间的最大温差是30-10=20(℃)。(2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象,∴·=14-6，解得ω=。由图示,A=（30—10）=10，b=（30+10）=20。这时y=10sin(x+φ）+20.将x=6，y=10代入上式，可取φ=.综上,所求的解析式为y=10sin（x+)+20，x∈［6,14].讲评：本题是三角函数模型在实际问题中的简单应用,解决这个问题的关键是正确识图.链接·聚焦一般地,所求函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.【例3】如图，化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）剖析：欲使表盘看得最清楚,人眼A距表盘的水平距离AD应使视角φ最大。解:CD=2—1.2=0。8，设AD=x,则tanα===，tanβ==.因为tanφ=tan（α—β)=,所以tan