2022-2023学年陕西省西安市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（

）A．30 B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式求得结果.【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1，所以扇形的面积.故选：B.2．已知向量，，若共线，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值.【详解】因为，，共线，所以，所以，故选：A.3．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．【详解】由棣莫弗公式知，，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．4．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得的定义域.【详解】由，解得，所以的定义域为.故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．在中，边上的点满足，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算表示出答案即可.【详解】由，得，∴，故选：B.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.【详解】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，所以.故选：D.7．在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.【详解】设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P，设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q，则∽，由于，故,同理求得,故两点重合，则,故，而，故,同理可得,即四边形为平行四边形，连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，由题意可知故该截面的周长是，故选：C8．在边长为的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，在三角形中，利用正弦定理求得的表达式，结合的取值范围，求得的最小值，也即是的长度的最小值.【详解】显然A，P两点关于折线MN对称，连接MP，图（2）中，可得AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，再设AM＝MP＝x，则有，在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPM＝120°﹣2θ，又∠MBP＝60°，在中，由正弦定理知，即，∴，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．此时x取得最小值，且∠AME＝75°．则AM的最小值为．故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.二、多选题9．设，是虚数单位，复数.则下列说法正确的是（

）A．若为实数，则B．若为纯虚数，则C．当时，在复平面内对应的点为D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若为实数，则虚部为0，即，故正确；若为纯虚数，则实部为0，即，故正确；当时，，则在复平面内对应的点为，故错误；（当且仅当时取等号），故正确，故选:.10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（

）A．AB⊥EFB．AB与CM所成的角为60°C．EF与MN是异面直线D．MNCD【答案】AC【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形为底面有对选项A,因为∥,且有,故A正确.对选项B,因为∥,所以B错误.对选项C,由图可得显然正确.对选项D,,故D错误.故选：AC11．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若为钝角三角形，则B．若，则有两解C．若为斜三角形，则D．若为锐角三角形，则【答案】BCD【分析】利用余弦定理即可判断A；利用正弦定理即可判断B；由两角和的正切公式可判断C；由为锐角三角形，可得，再根据正弦函数的单调性及诱导公式即可判断D.【详解】对于A，若为钝角，则有，则，故A错误；对于B，，则，如图：所以有两解，故B正确；对于C，因为，所以因为，所以，所以，故C正确；对于D，若为锐角三角形，则，故，则，同理可得，所以，故D正确.故选：BCD.12．已知函数，则（

）A．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3B．若关于x的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1D．若函数在区间上单调，则【答案】BC【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A，由根的个数可确定，据此判断B，平移后由函数为奇函数可得，可判断C，特殊值检验可判断D.【详解】对于A，因为函数的图象关于直线对称，所以，则，因为，则的值不可能为3，故A错误；对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；对于C，由已知得，因为函数为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；对于D，当时，，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．故选：BC．三、填空题13．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.

【答案】【分析】根据斜二测画法的规则，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出的长度，即可求出原三角形的周长.【详解】因为为以为斜边的等腰直角三角形，，所以，根据直观图画出原图如下，则有，，所以，那么原三角形周长是.故答案为：.

14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐标表示）【答案】.【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再根据投影向量定义计算向量在向量上的投影向量.【详解】因为，则，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.15．设复数z满足，则的取值范围是_________.【答案】【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，所以取值范围为.故答案为：.16．如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为__________.

【答案】【分析】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球，作出小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形，求出小球滚动形成的几何体的体积，再由容器的体积减去小球滚动形成的几何体的体积得出答案.【详解】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示：

由题意知：，则，，，小球滚动形成的圆柱的高为则小球滚动形成的几何体的体积为：，容器的体积为，则小球无法碰触到的空间部分的体积为.故答案为：．四、解答题17．已知向量，．（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结果；（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.【详解】（1）因为，，所以，设与之间的夹角为，则，因为，所以与之间的夹角为.（2），因为，所以，故的取值范围是.18．若函数在一个周期内的图象如图所示.

(1)写出函数的解析式；(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.【答案】(1)(2)的增区间为，，函数的值域为【分析】（1）根据函数的图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）由图可知，则，所以，故，又，则，所以，即，又，所以，所以；（2）令，得，所以的增区间为，，由题意，由，得，则，所以函数在上的值域为.19．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF为矩形，，且.(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；(2)若，且，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取线段中点H，连接，利用中位线定理得到且，证明四边形是平行四边形，得到，根据线面平行的判定即可证明；（2）利用线面垂直的判定得到面，利用三角形面积公式求出，利用等体积法代入计算即可求解.【详解】（1）在图中取线段中点H，连接，如图所示：由题可知，四边形是矩形，且，∴O是线段与的中点，∴且，又且，而且.所以且，∴且，∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面.（2）∵，面，，∴面，，所以，即三棱锥的体积为.20．在中，设角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若为上的点，平分角，且，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质代入计算．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得：，整理得.由余弦定理得：又因为所以（2）由（1）知.又因为平分角，所以.由得.即.又因为，，所以.再由角平分线的性质可知：21．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点M是棱上的动点．(1)证明：；(2)设，求当平面时的值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据平面和推出，根据余弦定理计算推出，根据线面垂直的判定定理得到平面，从而可得；（2）连，交于点N，连，根据线面平行的性质定理推出，再根据三角形相似可求出结果.【详解】（1）证明：由于平面且，所以平面，又平面，所以．由，得，即，解得或（舍），所以，即，又平面，，且，所以平面，而平面，因此．（2）连，交于点N，连，因为平面，平面，平面平面，所以，故．在梯形中，根据与相似，可得，所以，即当平面时的值为．22．定义在R上的连续函数满足对任意，，.(1)证明：；(2)请判断的奇偶性；(3)若对于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)为奇函数，为偶函数(3)【分析】（1）令，利用条件运算可以证明；（2）运用（1）的结果，令，计算出，再令，对条件进行运算可以判断出的奇偶性；（3）运用条件将不等式转化为对勾函数，再用基本不等式可以求解.【详解】（1）令，则有，，因为是任意的，，由得，，；（2）令，由①②得，将代入，解得或（，舍去），代入③得；令，则有，两式相加得，由（1）的运算结果，代入上式，得：，由可知如果，则有，不可能，所以，，由于x是任意的