2023届广西贵港市高三毕业班上学期12月模拟考试数学试题（解析版）

2023届广西贵港市高三毕业班上学期12月模拟考试数学试题

一、单选题

1.已知复数z满足（z+l）（2—i）=5,则三（）

A.1+iB.3-iC.3+iD.1-i

【答案】D

【分析】应用复数的运算律求出复数z,再由共辄复数的定义即可得到答案.

【详解】由（z+l）（2—i）=5得

5（2+i）］

（2-认2+。，

=2+i-l=l+i

所以5=1

故选:D

2.如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2~12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费

价格指数（CP/）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第〃个月与去年第〃个月相比，环比是现在

的统计周期和上一个统计周期相比）

0/2020年居民消费价格月度涨跌幅度

3.0----------------------------------------------------------------------------------------

2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

一月度累计同比一月度环比

下列说法错误的是（）

①2020年9月C/7环比上升0.5%,同比上涨2.1%

②2020年9月CP/环比上升0.2%,同比无变化

③2020年3月CP/环比下降1.1%,同比上涨0.2%

④2020年3月CP/环比下降0.2%,同比上涨1.7%

A.①③B.①④C.②④D.②③

【答案】D

【分析】根据月度同比折线图与月度环比折线图判断可得出结论.

【详解】根据折线图中的数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%,同比比上年上涨2.1%,故①

正确，②错误；

根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%,同比比上年上涨1.7%,故④正确，③错误.

故选：D.

2

3.设集合A千六<okB={x|x-9<o},则AC3=()

A.{目一4Vx43}B.{x|-3vxv2}

C.何一3<%<2}D.{1-4cx<3}

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A,再利用交集的定义求解作答.

【详解】由1*崔4-4.<0得(x+4)(x-2)<0,解得-4<x<2,即A={x|-4<元<2},

由f-940得(x+3)(x—3)40,解得一3MxM3,即8={x|-34x43},

所以4cB={x|-34x<2}.

故选：C

4.“lga>lg〃”是"(a-2)3>S-2)3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据对数函数、基函数的单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

【详解】解：因为y=lgx在(0,+e)上单调递增，由lga>lg6得到a>力>0,由y=d在定义域上

单调递增,又3-2)3>(b-2)3,即q-2>6-2,所以a>b；

故由lg〃>财能够推得出(a-2)3>S-2)3,即充分性成立；由(a-2)3>3-2尸推不出即

必要性不成立，故3>Igb是(a-2)3>(6-2>的充分不必要条件;

故选：A

5.公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率乃的两个近似分数值：y(称为“约率”)

和不（称为“密率”）.一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1）,如果取圆周率为“密

【答案】C

【分析】首先把三视图转化为几何体，再根据椎体体积公式求出几何体的体积.

【详解】如图，几何体由圆锥的一半与一个三棱锥组合而成，所以

,,,,,,11355,11.„„

丫=%咽怫+暝棱铢=鼻'5'2x—x3+-x-x4x2x3

710,710+4521162

-T13+―-H3~-713~

故选:C.

6.函数/（x）=sinxln在（一4,乃）的图象大致为（）

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域，然后判断出函数的奇偶性，取特殊值X=5判断函数值的符号，从而

可排除不满足的选项，得出答案.

【详解】解：根据题意，函数/(x)=sinxln不£(一耳万)，

7T+X

f(-x)=sin(-x)In7r+x=sinxln——-=/(x),

n-x乃+x

则/(x)在区间(一巴乃)上为偶函数，所以排除3C,

又由/百|=si吟lnW=lng<0,所以排除。，

故选：A.

7.若函数〃句=(*-6-2产有两个极值点且这两个极值点互为倒数，则广(2)=)

A.14e2B.15e2C.—zD.—7

ee

【答案】B

【分析】先求函数/(x)的导函数，根据极值点互为倒数应用韦达定理,

得出“，即可求出导函数的值.

广(%)=卜2-ar-2)e'+(x2-or-2)(evj=(2x-a)ev+(x2-ox-2)ev

【详解】

=[x?+(2-a)x-(a+2)]e*

函数f(x)的极值点即方程/+(2-。)》-(“+2)=0的两个实根,

由题意可知，两实根互为倒数，则-(。+2)=1,解得°=-3,

所以r(x)=(Y+5x+l卜二故〃2)=15e2,

故选：B.

8.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”象，征习近平新时代中国特色社会主义思想大潮

的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AO的长度是4,弧8c的长度是g几何图形ABCD面积

Is

为扇形80c面积为邑，若二=3,则£■=()

A、D

19thAslanGames、、J

Hangzhou2022O

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】由弧长比可得|Q4|=3|O8|,结合扇形面积公式得答案.

【详解】因为g=3,所以a=3,

*2\CJLJ

又因为与琢°。*尔=夕•|图,S^BOC=^lR=h2-\OB\,

所以学陋=母=9,所以决丝=8.

，扇形B0C公|06,扇形B0C

故选:D

9.已知等比数列｛4｝的前4项和为600,心-&=150,则%=()

A.5B.9C.12D.15

【答案】A

【分析】本题分两种情况解答4=1和4=1,利用等比数列前”项和公式和通项公式,

联立方程组，基本量运算得到4,4,再由通项公式计算即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为9，

若q=l,则%-4=。，与题意矛盾,

q(l-/

%+a,+/+/=-1--=-6-00

所以"1,则1一4

5

a2_4=%q-%q=150

4=320

解得1,所以%=44,=5.

q=a

故选：A.

10.以ABC为底的两个正三棱锥P-A8C和。-ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P-ABC的侧

面与底面ABC所成的角为45。，记正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-A8C的体积分别为匕和匕，则

x=()

%

A.1B・；C.-D.一

234

【答案】D

【分析】由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三

棱锥高的关系得答案.

【详解】解：如图，正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-A8C内接于同一个球，

设户到底面A8C的距离为匕，0到底面ABC的距离为〃>

则》■=:，取A8的中点M,连接PM,CM,PQ,记尸。与平面ABC的交点为R,

由两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，故PQ一定为球。的直径，

记其中点为。，且由题意可知，R为正三角形A8C的中心，

因此，PR,QR分别为正三棱锥P-ABC和正三棱锥ABC的高九，h2,

由84=P8,QA=QB,CA=CB,且M为A3的中点，可得QM-LAB,CMLAB,

则ZPMR为正三棱锥P-ABC的侧面与底面ABC所成的角为45。，

:.MR=PR=\,RC=2MR=2h、,i己球的半径为r,于是OR=r_/i,,

在RtJDRC中，由勾股定理可得，OC2=r2=OR2+Rc2=(-4)2+4/)：,

解得r=，于是QR=PQ-PR=2f=5%-%=4/7,=为，

川也4-

'.匕也4'

故选：D.

p

Q

11.已知椭圆C:斗+方=1（a>6>0）的离心率为1直线/：丫="（女二。）交椭圆6于48两

点，点O在椭圆C上（与点A3不重合）.若直线AZ）,80的斜率分别为勺，右，则的最

4

小值为（）

A.2B.2石C.4D.4夜

【答案】A

【分析】设点，然后列出方程利用点差法表示出用心，根据离心率计算出结果&&=-4

,4

变换&=-陵，在利用基本不等式求最值

【详解】设。（电,%）,则8（-占,-%），

:点B,。都在椭圆上，

（22

=1

=1

2222

两式相减得』乎+工萨=0,

ab

,•（办一々）（国+々）护'

广2MXv2-

当且仅当占=±1时取"=”，

故选：A.

12.已知/(x)是定义在R上的函数，且满足〃3x-2)为偶函数，/(2x-l)为奇函数，则下列说法

正确的是()

A.函数/(x)的周期为2B.函数“X)关于直线x=-1对称

C.函数“X)关于点(-1,0)中心对称D./(2023)=1

【答案】C

【分析】根据〃3x-2)为偶函数推导出"x)=〃—x-4),根据〃2x-l)为奇函数，得到

y(x-l)=-/H-l),得到函数的图象关于点(—1,0)对称，故B错误，C正确；

由由〃x)=/(r—4)及/(x—1)=—"T—1)推导出/(x)=〃x+4),故周期为4,A错误;

根据函数的周期性求出/(2023)=/(T)=0,D错误.

【详解】2)为偶函数，

.•./(-3x-2)=/(3x-2),

.•.〃=2)=小-2),

故/'[-(T-2)-2]=/(-X—2-2)

BP/(X)=/(-X-4),

..•函数的图象关于直线》=-2对称.

•••/(2x—l)为奇函数，

.\/(-2x-l)=-/(2x-l),

.*./(x-l)=-/(-x-l),所以函数的图象关于点(一1,0)对称，故B错误，C正确；

由/(X)=/(T-4)及/(x—1)=-f(—x—1)知，/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),

.­./(x-4)=-/(x-2),

/.〃x+4-4)=-〃x+4-2),即/(x)=-/(x+2),

/(x+2)=—〃x+4),故/(x)=/(x+4)

函数f(x)的周期为4,A错误，

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,故D错误.

故选：C.

二、填空题

13.已知向量£,否满足忖=2,|a=1,a(a+b^=5,则cos(a®=.

【答案】y##0.5

【分析】由数量积运算得到7九再由数量积公式计算可解得向量夹角余弦值.

【详解】a-^a+h^=a+a-b=4+2cos(a,B)=5,

/.cos(a®=g

故答案为

14.已知双曲线C:£-£=l(a>0,6>0)的渐近线与圆丁+丁一2》+』=0相切，则双曲线C的

ab~3

离心率为

【答案】6

【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求出c

之间的关系即可求解.

【详解】不妨取双曲线C:二-工=1(a>0,%>0)的一条渐近线方程为

ab~

y=—x,即反—ay=0,

a

i09

化圆X2+/-2X+-=0的方程为标准方程，得(x—1)-+丁二§,

则圆心坐标为(1,0),半径为

由题意可得关再当b22

即

77^3

即〃=2。2,即*=2,

又/+加=c2

所以双曲线的图心率为0=^1+—7=J1+2=>/3,

故答案为：百.

15.在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、

历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学

恰有两科相同的概率为.

【答案】）

【分析】先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科相同的

总数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为C；C：xC；C；=144种，

若相同的科目为4选2的科目，从4科中选2科，有C；种选择，

则2选1两人选择不同，由A；种选择，共有C：A；=12种；

若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，从4科中先选出1科相同的，有C；种选择，甲乙再分

别从剩余3科中选择1个不同的，有A；种选择，再从2选1中选择一科相同的，有C；种选择，共

有C；A；C；=48种，

所以所求概率为空子=三.

14412

故答案为：—.

16.已知函数在区间［°，句上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，

正确的序号是.

①“X）在区间（0,万）上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是当；

913

③口的取值范围是；

_44_

④“X）在区间（0金上单调递增.

【答案】②④

【分析】由函数/（X）在区间［0,句上有且仅有3个极值点，++即

547t77r913

了可求出丁腔a判断出C，再利用三角函数的性质依次可判断ABD-

【详解】由题意可知?忘妙+540乃+?,要使得函数“X)在区间[0,句上有且仅有3个极值点,

、冗-rr

只需咚+7=TT,解得9:故13③错误；

24244

又0=(9]31，故f(x)的最小正周期可能是T=点">TT，故②正确；

当生防+53万，即(〈oW2时，“X)在区间(0㈤上有且仅有2个不同的零点，故①错误;

,913（071万）1371717万71

由一一可矢口——+—W—x一+———<—

441544154152

.,(71CO7C71|,、，、-、辽一

故如在匕石+"上单调递增，上单调递增，故④正确.

故答案为:②④.

三、解答题

222

17.在①“sinJinA).，(2)sinA+sinC-sinB=sinAsinC;③牛.这三个条件

sinC+sinBbcosB

中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在AABC中，内角A8,C所对的边分别是a,b,c,.

⑴求8；

(2)若b=7,c=5,点M在线段8c上，AM=5,求NM4c的余弦值.

【答案】(1)选①②③答案均为B=]

⑵竺

14

【分析】(1)选①②：由正弦定理得至IJ/+c2-〃=ac,再由余弦定理得到cosB=；,结合8e(O,兀)，

求出8=；；

选③：化简得至【J2acos8=Z?cosC+ccos8,由正弦定理得到2sinAcos8=sinA,cosB=—,求出

2

B=l;

(2)先由余弦定理求出a=8,结合第一问求出8=g得到AA8M是等边三角形，MC=3,由余弦

定理求出ZMAC的余弦值.

【详解】(1)选择①：由"(smC-sinA)."可得a(sinC-sinA)=(c-b)(sinC+sin8),

sinC+sinB

由正弦定理得«(c-«)=(c—b)(c+6),即a?+‘2一加=

由余弦定理，得COSB='+C2-"2二.,

lac2

因为8«0,兀)，所以B=；

选②：sin2A+sin2C-sin2=sin/AsinC,

由正弦定理得：a2+c2-b2=ac,

由余弦定理，得cos8，+「从=1,

2ac2

因为3£(0,江所以

选择③：因为‘~-=00so,所以(2。一c)cosg=/?cosC,2rzcosB=Z?cosC4-ccosB,

bcos3

所以2sinAcosB-sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

因为AG(O,7I),故sinA>0,所以cos8=；,

因为兀)，所以B=

(2)因为匕=7,c=5,所以/=/+c°-2accosB=25+/一ZxSaxcos1=49,

可得/—5a—24=0,因为。>0,可得a=8,

7t

在ziABM中，8=§，=AB»故是等边三角形,

故BM=AB=5,MC=3,

AM2+AC2-MC225+49—9J3

故cosZMAC-

2AMAC2x5x7-14

18.如图，在四棱锥尸-43CD中，PA_L平面43c。，底面四边形AHCO是正方形，PA=2AD,点

E为PC上的点，PE=2EC.

(1)求证：平面PACL平面3。石；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵平•

【分析】(1)由AC_Z8O,PA1BD,得到线面垂直，再根据面面垂直的判定定理得出面面垂直.

(2)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设4)=1,分别求出平面与平面OEC的法向量，

由法向量所成角的余弦值可得平面比也与平面OEC所成二面角的余弦值，

根据同角三角函数关系可求出正弦值.

【详解】(1)因为底面四边形A3C。为正方形，所以AC1B。，

因为P4_L平面A8C。，3£>u平面A8C。，所以

又PAnAC=A，A4u平面PAC,ACu平面PAC,所以如/平面PAC,

又8£>u平面8/圮，所以平面PAC1•平面

(2)设A£>=1,则PA=2,

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为X,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

A-xyz,

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,1,0),尸(0,0,2).

所以斤=(1,1,-2),由尸E=2EC得E(|,|,J

DC=(1,0,0),屁=(|,-',|).设平面的的法向量.=(”2),

n-DC=x=0

则，—.212>取z=l,可得x=0,丫=2,所以〃=(O,2,l),

n-DC=—x——y+—z=0

333

而=(T」,0),而=［工,-|).

设平面BOE的法向量为浣=(〃,b,c),

in-BD=-a+b=0

取a=2,可得b=2,c=—l,所以证=(2,2,—1).

in-ED=--a+—b--c=0

333

设二面角^-。^-。的平面角为。,

则cos"网」0x2+2}2+*T)|

收胴5/02+22+l2XV22+22+125

19.2022年是中国共产主义青年团成立100周年，八桂大地兴起一股青年大学习的热潮，我市共青

团委会为了响应青年的这股热潮决定举办一次共青团知识擂台赛，我市A县团委为此举办了一场选

拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛.已知A

县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为g,通过初赛后再通过决赛的概率依次为?，

58

上,2，假设他们之间通过与否互不影响.

1216

(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

(2)设这3人中参加市赛的人数为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)匿124

13

⑵分布列见解析，亍

【分析】(1)先求出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案；

(2)得到X的可能取值，利用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求得相应的概率，得

到分布列及数学期望.

【详解】(1)3人都没有通过初赛的概率为1=卷

所以这3人中至少有1人通过初赛的概率为p=1-4=色124

(2)依题意X的可能取值为0,1,2,3.

设事件4表示“甲参加市赛”，事件8表示“乙参加市赛“，事件C表示“丙参加市赛”,

451451

则P(A)=_x_=_,P(B)=—x—=_

V7582V75123

则尸（x=o）=尸（而心）=

尸(x=l)=尸(A反+B/+C而)

4x(i4)x(14)4x(14Mi4)4x(i4)x(i4)=^-

P(X=2)=P(BCA+ACB+ABC)=|xlx^l-1^+1xlx^l-1j+lx|x^l-l^=l

P(X=3)=—x—x—=—!-

'723424

所以X的分布列为

X0123

£111

P

424424

所以X的数学期望为E（X）=Ox；+lx号+2x；+3x（=J|.

20.已知动圆E与直线x+!=0相切，且与圆f+y2-2x+g=0外切.

24

（1）求动圆E的圆心轨迹M的方程；

⑵过点S（2,0）且斜率为勺的直线与轨迹M交于A,8两点，点。（1,0）,延长AQ,8。分别与轨迹M

交于C,。两点，设CO的斜率为网，证明：）为定值.

【答案】⑴丁二以

⑵证明见解析

【分析】（1）设出圆E的圆心坐标为（x,y）,根据几何关系列出方程，求出轨迹方程；

（2）设出设8（马,必），。（七，%），。（王，必），直线A8的方程为x=少+2,，=:，

44

联立抛物线，得到两根之和，两根之积，接下来可用两种方法得到%=一一,>4=一一,进而

%火

%=上&=一二¥二=2勺，得到答案.

【详解】（1）圆/+9―2x+：3=0的标准方程为圆（x-l）■-）+y2=；1,

设动圆E的圆心坐标为（x,y）,

101

由动圆与直线x+/=0相切，且与圆（x-1）外切，

故有J（x-l）2+y2=x+；+；=x+l,

两边平方化简得V=4x,

所以动圆E的圆心轨迹方程为V=4x；

（2）设点A（x，yJ,点8（.力），点C（玉，%），点以A，M），

由题意可知直线A3的方程为x="+2,其中，=；,

代入抛物线V=4x中，消去x得丁-4"-8=0,则%+%=*,7172=-8.

处理方式1（抛物线的直线弦方程），

k44,、

*cX3-X,yjy；%+%,故直线AC的方程为y-y=1—（x-再），

整理得（y+%）y-y；-XM=以一4%=4x-4，即4x-（y+%）y+x%=o，

又因为直线AC过点。（l,o）,故有4+y阴=0,可得x%=7，

4

；•%=---.

y

,、4

同理，由直线BO过点Q（l,o）,可得以=一一.

%

处理方式2（三点共线），

由题意可知A（%,y）,C（f,%），Q。，。）三点共线，

故"2=%c°，即告|=等7，

整理得yw-y=%演-丫3，

又4（%,%）,。（玉,为）在抛物线/=4》上，故玉=£，X3=A,

22

代入xw-y=%%一为得寸一弘二竽一%，竽（%-乂）=%-%，即y%=-4,

4

，%=—.

y

4

同理，由8（%,必），短（七，/），Q（l，0）三点共线，可得M=一一.

%

/：,二）'4_必_4（1-%）_44_——8=2=2勺

于是2七一*34一员L+%（4,41必+以4/t',

（必yi）

即证4为定值2,命题得证.

【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想,

进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.

21.己知函数/(x)=2x-sinx-alnx.

(1)证明不等式：sinx<x,xe[0,+oo)；

⑵若土,9e(0,+oo),犬产超，使得/'(*1)=尸(*2)，求证：X\X2<■

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)移项构造新函数，，(x)=x-sinx,应用导数求函数的单调性，根据最值证明结论成立.

⑵根据=得到a(lnx2-lnxj=2(w-xj-(sinw-sinx|),

结合(1)及函数的单调性求出〃>।，换元证明、一：,>斥成立即可.

in—inX]।inx-inA,

x22

【详解】(1)令"(x)=x-sin%,x>0,则〃'(x)=l-cosxNO,

故〃(x)=x-sinx在[0,+8)上单调递增，故“(x)》〃(O)=O-sinO=O,

即％-sinxNO,所以sinxWx,XG[0,-KO),当且仅当x=0时，等号成立；

(2)由〃％)=/(/)得2%—sin$_aIn2=2x2-sinx2-a\nx2,

整理得々(inx2-山％)=2(入2-x))-(sinx2-sinxj,

不妨设％<工2，由⑴可知〃(x)=x-sinx在(0,+8)上单调递增，

故有玉-sinXj<x2—sinx2,从而x2-x,>sinx2—sinjq,

所以a（lnx2-lnXj）=2（.X2—^）-（sin^—sinx1）>2（x2一百）一（马—xl）=x2—x1,

所以

x-X--1

下面证明；"一:」>J藐,即证a—>

InXj-lnX),强

演

令，=上>1,即证明其中「>1,故只需证明早-lnt>0.

XInt业

设"（/）='^=^-111，（，>1），则〃〃）=（M>0,所以双。在（1,m）上单调递增，

小\）2t4i

所以3（f）><⑴=/_lnl=O,

所以］-，即a>Jg,所以&了2</.

Ill111-Xi

22.在平面直角坐标系xOy中，直线4的参数方程为卜=‘二石（，为参数），直线4的参数方程为

y=kt

x=6