2014-2015-2-概率统计北科大

A卷北京科技大学2014—2015学年度第二学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共15分）.设事件A和B中至少发生一个的概率为5,A和B中有且仅有一个发生的概率为2，那么A和B63同时发生的概率为。。从1,2,3,4中任取一个数记为X，再从1,…，X中任取一个数记为Y,则P{y=2}二。&设n是n次独立试验中事件A发生的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的Aε>0，limP<nA^一p≥ε

n→+∞Hn.设X服从区间hθ］（θ>0）上的均匀分布,X1,X2,…，X，是来自该总体的样本，则θ的矩估计量θ二..设X,X,…,X,"〉L是来自正态总体N（μ,θ2）的样本，σ=12一1IX-X|为总体参数σ的2 k i+1 ii=1无偏估计量,则k=.2 1 -填空题答案：1.- 2。4A7.8 4. 5.X59二．选择题（每小题3分,共15分）.若随机事件A和B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,下述关系中正确的是.(A)P(AIB)=P(A) (B)P(BIA)>0(C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(BIA)=02.设随机变量X的概率密度函数是φG),且有φ(-Q=φG),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有。(A)F(-a)=1-ʃaφ(x)dx (B)F(-a)=ɪ-ʃɑφ(x)dx0 2 0(C)F(-a)=F(a) (D)F(-a)=2F(a)-13.设X,Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为F(x)和F(y),贝UZ=min{X,γ}的分布X Y函数是。(A)F(Z)=max{f(Z),F(Z)} (B)F(Z)=min{f(Z),F(Z)}z XY Z XY(C)F(Z)=1-「1-F(Z)]「1-F(Z)] (D)F(Z)=F(Z)Z I-X-II-Y-I Z Y.设随机变量X,Y都服从正态分布且不相关，则它们。(A)一定独立 (B)(X,Y)一定服从二维正态分布(C)未必独立 (D)X+Y一定服从一维正态分布.设X,X,…，X是来自总体X的一个样本,则DX=σ2的无偏估计是1 2nɪZ(x-X)

n-1ti=1(C)1∑(x-X)

ni=1ɪZ(X-X)

n-1ii=1(D)1Z(X-X)

nii=1选择题答案：1.D 2.B 3.C 4。C5.A三.(本题10分)有两只编号的口袋，一号口袋中放有2个白球及4个黑球，二号口袋中放有3个白球及3个黑球。任取一只口袋，再从中任取一个球，问：(1)取出的这个球是白球的概率是多少？(2)如果取出的是白球，分析它来自哪只口袋的可能性大？【解】以A表示取出i（i=1,2）号口袋，A表示最后取出的是白球（1分）。i(1)P(A)=P(AIA)P(A)+P(AIA)P(A)=-(L口=-511 1 12 2 2132)12（2+1+1分）。(l) P(AlA)P(A)⑵尸JA=P(AA)P(A)+P(AA)P(A)~1 1 2 2一.一23

TT^^TT

—•一+—•一

2322(2+1分)(l) P(AlA)P(A)2a=P(AA)P(A)+P(AA)P(A)1 1 2 2112∙2 3 `——2_4——=_(1分)11 11 5(I刀)_∙_+_∙-2322所以，60%来自二号口袋，40%来自一号口袋（1分）。四.（本题12分）在某次实验中需要测量物体的质量。一组测量结果如下（单位：g）7。6 7。5 7∙9 7∙47。4 7。7 7∙8 7。3 7。8。1125均值和方差分别记作μ和C.问题：（1）求均值μ的置信区间，置信度为0.95;（2）是否可以认为物体的质量是7.2g?显著性水平α=0.05;（3）是否可以认为物体的质量μ≤7.2?显著性水平α=0.05.已知数据：Z=1.65；t(8)=1.860

0.05 0.05；t (9)=1.833;t (10)=1.813;0.05 0.05Z=1.96;t (8)=2.306;0.025 0.025t (9)=2.262;t (10)=2.228。0.025 0.025解：构造t—统计量t=XU则t〜t(8)(2分)。简单计算得到X=7.6,S2=0,045∙(2分)(1)置信度为0.95,则t (8)=2.306,0.025置信区间为［X±三%（8））=（74367764）∙（2分）(2)作双边检验H:μ=7,2,H:μ≠7.2,(1分)拒绝域为Id=>t (8)=2.306,(1分)本题0.025M=5.66>2,306,因此不接受零假设H，不能认为物体的质量是μ=7.2（1分）。(3)作单边检验H:μ≤7.2,H:μ>7,2,(1分)拒绝域为t=X—μ>t (8)=1.860,(1分)本题0.05t=5,66>1.860，因此拒绝原假设H，认为物体的质量μ>7.2.（1分）0五.（本题12分）若某厂生产的灯管寿命T服从指数分布，其分布密度函数为,X—μ001100f（t）=Xe-Xt,t≥0，T其中X是未知参数.现随机抽取10只灯管，测得它们的寿命为（单位：小时）1190117812201224123012001190117611821210（1）用极大似然估计法估计参数X的值；（2）用矩估计法估计参数X的值。【解答】（1）极大似然估计法。设来自总体的样本X,X,…，X,那么似然函数为L=XiOMe-Xχ,（2分），1 2i=1取对数并对X求导得到dXlnL=10-EXi（I分），令导数等于零（1分），可以解得X的极大似i=110 1然估计量为X=kL（2分），于是X的极大似然估计值为X= （2分）。EX 1200ii=11（2）矩估计法.T的数学期望为ET=Jx%∙XeXXdX=（1分），令ET=X（1分），则解得X的

0X矩估计量为X=X（1分），进而矩估计值为X=10 1EXii=11200（1分）。六.（本题12分）设随机向量X,Y独立，都服从区间［。,2］上的均匀分布。设随机变量Z1=X+Y,Z2=max{X,Y},Z3=∣X—Yl。（1）求：Z,i=1,2,3，的分布密度函数;i⑵求：P{z≤2,Z≤l},并判断Z与Z是否相互独立。1212解答：（1）（9分）Z的分布密度。因为X与Y独立，所以X,Y的联合概率密度为1f(X,y)=fX(X)fY(y)=4, 0≤%,y≤20,其它<由分布函数的定义有F(Z)=P{z≤Z}=P{X+Y≤Z}=ʃʃf(x,y)dxdy

ZI 1X+y≤Z<0,ʃZdxʃz-x1dy=z-,0 04J81-ʃ2dxʃ2d-d==-1+Z--

z-2 Z-x4J 8z≤00≤Z≤22<Z≤41,Z≥4此时概率密度函数为f(Z)=Z1Z4,1-Z,0,1<Z≤2(3分)。其它0≤Z≤1<Z的分布密度.由分布函数的定义有2Z≤0F(z)=PImaX{X,Y}≤z}=P{X,Y≤Z}=<Z20,ʃʃ1"ʃʃ1" Z2dxdy=dxdy=—4 4 40≤Z≤2。此时概率密度函数为fz(Z)=V0,其它max{x,y}≤Z0≤x,y≤21,0≤x,y≤Z(3分)。Z-,0≤Z≤22Z>2Z的分布密度。由分布函数的定义有30, Z≤0F(Z)=P1X一Yl≤z}=]ʃʃ—dxdy=ʃʃ—dxdy=Z——, 0<Z≤2。z3 I∣<4 4 4X-yl≤Z X-Z≤y≤X+Z0≤x,y≤2 0≤x,y≤21, Z>2此时概率密度函数为fz(Z)=VZ1一- 0≤Z≤22, ≤≤ (3分)。0, 其它(2)(3分)P{Z≤2,Z≤1}=P(X+Y≤2,max{X,Y}≤1}=ʃʃf(x,y)dxdy=1(1分).由于

1 2 4X+y≤20≤X,y≤1P{z≤2}P{Z≤1}=-∙-=-W-(1分)，因此Z与Z不独立(1分).1 2 24 8 4 1 2方法二：因若max{X,Y}≤-则X+Y≤1(1分)，故而2P∖z≤1,Z≤1[=PIX+Y≤1,max1 22{X,Y}≤2卜HmaX{X,γ}≤2>=F(L)=—(1分)。

z22 40七.(本题16分)设连续型随机变量X的分布函数是F(Q={A+Bx1x<—1-1≤X≤1，问:X>1(1)a,B各是多少？(2)X的分布密度是什么？.兀(3)求出随机变量Y=sι∏-X的分布密度函数。(4)计算DY。【解】(1)由于limF(X)=1,limF(X)=0(1+1分)，所以IA-B=0(1分)，解出得到X→1-0 X→-1+0 1A+B=1a=B=—(1分)。(2)在-1<X<1时，F(X)=1+X，所以概率密度函数f(X)=F'(x)=1(1分)。在X≤-1和X≥1时，f(X)=F'(X)=0(1分)。⑶当y<-1时，F(y)=0，因此f(y)=0。Y Y当y>1时，F(y)=1，因此f(y)=0。(1分).YY当一1≤y≤1时，F(y)=P{y≤y}=PJSinTX≤y>=PUX≤arcsi∏y\o"CurrentDocument"2 1 1 1=P∖X≤—arcsi∏y>=arcsi∏y+ (4分)，于是,f(y)=F'(y)=—.\o"CurrentDocument"IπIπ 2 兀1, (1分)√1-y2(4)显然，EY=0(1分)，因此，DY=EY2=∫1y2∙1∙-1兀11dy=-(3分)。-y2八.(本题8分)利用概率论的方法证明恒等式:(c0)+(C1)+(C2)+∙∙∙+(c)=Cn。2nnnnn【解答】设一袋中有n只红球，n只黑球，随机抽取n只球的取法数为Cn(2分),取至股只红球，n-12n 、，一「i… ，7 ClCn-1

只黑球的取法数分别是Cl,Cn-I,因此恰好取到l只红球的概率是-ɪrɪ-

nn Cn(Cl)2)一(2分)。用A,B，Cn ii2n 2n0≤i≤n，分别表示恰好取到i只红球和黑球，由全概率公式得到∑P3A}P%}=1（2分），n-ii i0≤i≤n(Ci)2

即乙_」Cn

0≤i≤n 2n=1,变形就是(co)+(C1)2+(C2)+∙∙∙+(cΛ=Cn(2分)。nnnn2nC卷北京科技大学2014—2015学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一、填空题（本题共30分,每小题3分）1.甲乙射击一个目标,甲命中的概率是0.6,乙命中的概率是0。9,两人同时各射击一次,目标被命中的概率是。.若ξ服从（0,4）上的均匀分布，那么P{ξ<2∣ξ>1}=。.若二维随机变量（X,丫）在以原点为中心的正方形[-ι,ι]×[-ι,ι]上服从均匀分布，那么PVX<—>= 。I 2J4。设η是n次独立试验中事件A出现的次数，P为A在每次试验中出现的概率，则对任意的ε>0，n有limPVηn--p≤ε>=。n→+∞ 、n J.标准正态分布的概率密度函数是..若随机变量X服从二项分布B（100,0.4），那么X的数学期望是，其方差是。。有十张彩票,其中有一张中奖,现采取抓阄的方式分配给10个人,前四个人都没有抓到这张彩票,那么这时第五个人抓阄的人恰好抓到这张中奖彩票的概率是。.若θ1,Θ2都是参数θ的无偏估计量，且/）<52）这时我们通常称统计量θ1比θ2 。.n个人随机地排成一列，其中甲和乙两个人排在一起的概率是。答案：1。0.96 2。133.34.11 _*2 C5。 .—e2,x∈Rv2π6.40，24 7。18.有效9。26n二、选择题（本题共15分，每小题3分）1。若P(AB)=0,则(A)A,B是互不相容的事件； (B)P(A)=0或者P(B)=0；(C)A,B是对立的事件； (D)P(ADB)=P(A)+P(B).2.已知X,y是相互独立的随机变量，同分布于标准正态分布。有人作出如下四个论断：X+r服从正态分布，但是X-y不服从正态分布；X+γ与X-γ有相同的数学期望；(3)X+Y与X-Y有相同的方差；X+Y与X-Y是不相关的.在这四个断言中，正确断言的个数是。(A)1 (B)2 (C)3 (D)43。设X,X,∙∙∙,X相互独立，且同分布于标准正态分布，下列随机变量中服从X2分布的是.1 2X+X+…+X1 2 n(X+X+∙∙∙+X\

1 2 n(C)X2+X2+…+X2 (D)JX2+X2+…+X22 n 1 1 2 n4。设X,X,…,X是来自某总体的一个样本，下面统计量中可以作为总体均值μ的无偏估计量的1 2 n是。X+X+∙∙∙+X1 2 nX+X+・・・+X—1 2 nnX+X+・・,+X—1 2 nn一1X+X+…+X→ 2 Tr-μn5。设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F(x),F(y),则Z=min(X,Y)的分布函

XY数是。(A)F(z)=min(F(z),F(z))Z XY(C)F(z)=1-min(F(z),F(z))Z XY(B)F(Z)=min(F(Z),∣F(Z))Z X Y(D)F(Z)=1-(1-F(Z))(1-F(Z))Z XY答案：1.D 2。B3。C 4.B 5.D三、(本题10分)设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,记Z=X2。求:(1)随机变量Z的分布函数以及分布密度；(2)数学期望EZ及方差DZ。解:X的概率密度函数为f(X)=1,X式0,1)(1分).(1)当0<z<1时,概率密度为f(z)=ɪ(3分)；其它情况概率密度为f(Z)=0(1分)。Z 2：z Z(2)EZ=J1Z—-=dz=—(2分)，DZ=EZ2—(EZ)2=—(3分).02、：z 3 45四、(本题10分)独立抛掷骰子100次，以X(1≤k≤100)记第k次抛掷得到的点数，X=更X表kk

k=1示抛掷的总点数.请解答以下问题：(1)请写出X(1≤k≤100)的分布律；k(2)计算X+X+X=6的概率；123(3)计算X(1≤k≤100)的数学期望及方差；k⑷计算X的数学期望及方差。解答：(1)X11≤k≤100)的可能取值为1,2,3,4,5,6,且各种情况的出现是等可能的，因此Xkk得分布律为P{X=m}=-,1≤m≤6(1分)。k6(2)共有10种情况可以使得X+X+X=6，即(X,X,X)为(4,1,1),(1,4,1),(1,1,4),1 2 3 123(3,2,1),(3,1,2),(2,3,1),(1,3,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,2),(1分)且每种情况出现的可能性都是ɪ(1分).因此，所求概率为P{X+X+X=6}=也=工(1分)。216 1 2 3 216108⑶由(I)以及数学期望的定义有EXk=1∙6+2-6+3-6+4-6+5-6+6-6=T(I分)，Xk的二阶矩为EX2=12H22 H32H42 H52H62(1分),k6 6 6 6 6 66因此X的方差为

kDX=EX2-(EX)2=91—49=35(1分)。kkk6 4 12(4)由数学期望的性质知道，EX=E(更X]=㈣EX=100-7=350(2分)。又由于X(1≤k≤100)IJk=1k2 k相互独立，因此DX=DI艺X]=艺DX

I=1kL=1k=100.35=875

12 3(1分)。五、(本题15分)以函数f(x)=ɪe-",a>0，为其概率密度函数的分布称为拉普拉斯分布。请解2a答以下问题：(1)求拉普拉斯分布的数学期望和方差；(2)若有一总体服从拉普拉斯分布，其中a>0是未知参数。现有来自该总体的容量为n的样本X,X,∙∙∙,X,试求参数a的矩估计量与极大似然估计量；1 2(3)若有一组样本观察值为4,-1,3,-3,2，用上述两种方法给出参数a的估计值。解答：(1)由数学期望的定义得到EX=PO-∞1x 一、X eadx=0.(2分)2a1U由万差的定义得到DX=EX2-(EX)2=EX2=J÷∞x2 e-adx=2a2.(3分)-∞ 2a(2)矩方法.由于样本方差S2是总体方差的无偏估计(1分)，因此令2a2=S2(1分)，可以解得参数a>0的矩估计量为a=；S(1分)。2(方法二：由于EX2=∫÷∞X2∙ɪe-O 2a-adx=2a2，令2a2=A=1ZX2,得a的矩估计量为a=、a)。2ni 2i=1... .,. . …τ^τ1Url、n1Zii极大似然估计法.构造似然函数L=HLe-a=-1e-aZxi2a 12a) ii=1对数似然函数为lnL=-nln2a-1ZlXlaii=1(2分)，对a求导数有dlnL=n∙—+ɪ∑∣x∣(1分)。令dlnL=0,解得a=1∑∣x|，并容易看出da aa2 i da nii=1 i=1这是lnL也即L的极大值点（1分）.因此，a的极大似然估计量为1∑∣X|（1分）。nii=1（3）矩估计值，样本均值为x=5[4+（-1）+3+（-3）+2]=1，样本方差S2=1「32+（—2）2+22+（—4）2+12=4L 」17（1分），因此α的估计值a=1v17X2,06（1分）。2 2（方法二:样本二阶矩A?=5[32+（—2）2+22+（—4+12]=34，因此a的矩估计值a=\,；17≈1.84.）极大似然估计值，ɑ=1-IxI=2.6（1分）.ni

i=1六、（本题10分）某短跑运动员的运动成绩呈正态分布N（μ,。2）,μ,o2都未知。最近在一系列比赛中取得如下成绩（单位：秒）：13.2 13。1 13。5 13。0 13。0 13。3 13.4 12。9 13.4（1）求运动成绩μ的置信区间，置信度为0.95；（2）是否可以认为μ=13.1?显著性水平α=0.05；0（3）是否可以认为μ≤13.1？显著性水平α=0.05。一些已知数据：t（8）=1.860。0.05解答：构造t—统计量t=手，则t~t（8）.简单计算得到X=13.2

3，S2=0.045。（1）置信度为0.95，则t （8）=2.306（1分），0.025E,、一、一,S— S置信区间为X±—t30.025（8）]=（13.036,13.364）（3分）。/（2）作双边检验H:μ=13.1,H:μ≠13.1（1分）拒绝域为Itl=>t （8）=2.306（2分），本题0.025，X—