第八章 阻抗和导纳

第八章阻抗和导纳第一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四工程上往往以频率区分电路：工频50Hz中频400-2000Hz高频电路TtiOf(t)=f(t+nT)n=0,±1,±2,…一、周期信号:正弦信号、方波信号、三角波等都是周期信号。第一节正弦信号有效值第二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四为什么要研究正弦信号?主要考虑以下几点：1.正弦量是最简单的周期信号之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；2.正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；3.非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。第三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四二.正弦信号（电流或电压）三要素正弦量的表达式：f(t)=Fmcos(wt+)正弦量的三要素：振幅、初位相、频率波形：tO/TFmf(t)第四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四(1)振幅

(amplitude)：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w：反映正弦量变化快慢。即相角随时间变化的速度。 正弦量的三要素：相关量：频率f(frequency)：每秒重复变化的次数。周期T(period)：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：w：rad•s-1，弧度•秒-1

f：Hz，赫(兹)

T：s，秒市电：f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2/T=2f=314rad/s第五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四(3)初相位(initialphaseangle)

：反映了正弦量的计时起点。(wt+

)——相位角

—初相位角，简称初相位。注意：初相位是由f(t)=Fmcos(wt+)确定，若原用sin表示，求初相位时应先化为cos形式再求可以为多值（2n＋），但规定正弦量的初相位只能取-

第六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例：f1(t)=Fmsin(t+/2)，f2(t)=Fmsin(t－1200)，其初相位？？解：f2(t)=Fmsin(t－1200)=Fmcos(/2-

t＋1200)=Fmcos(－2100-

t)=Fmcos(t＋2100)故初相位=1500解：f1(t)=Fmsin(t+/2)=Fmcos[/2－（t+/2）],＝cos（－t）＝

cos（t）

故初相位=0求初位相步骤：1。化成标准式：Amcos（t＋），利用sinα＝cos（/2－α）2。检查是否在±1800之间第七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四三.相位差(phasedifference)：两个同频率正弦量相位角之差。设u(t)=Umcos(wt+

u),i(t)=Imcos(wt+

i)则相位差j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i若j>0，则u超前

i相位角j，或i滞后

u相位角j。若j<0，则i超前u相位角

j，或u滞后i相位角j

。第八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四j=0，同相j=±(180o)

，反相规定：||(180°)。tu,iu

iOtu,iu

iO如何从波形上判断相位先后关系？方法：在两条曲线上取两个最相邻的极大（小）值点，先达极值者相位超前后者？图中AC还是ABtu,iu

iOABC第九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四tu,iu

iO哪个超前？？=？？=p/2：u超前ip/2,不说u滞后i3p/2

=p/2,正交第十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四四、有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来衡量。1.有效值(effectivevalue)定义定义：若周期性电流i流过电阻R，在一周期T内产生的热量，等于一直流电流I流过R,在时间T内产生的热量，则称电流I为周期性电流i的有效值。第十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四Q2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为rms。)第十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+)第十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四同理，对正弦电压也有：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。第十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例：求如图周期信号的有效值。(a)101230-1-2u1(t)(V)t(s)(b)A1230-1u2(t)(V)t(s)-A解：(b)U2=A（有效值）若加在1电阻上，则平均功率：第十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第二节正弦信号的相量表示一、相量的引入正弦量有三要素：振幅，相位，频率正弦波激励的电路其稳态响应也是同频率的正弦波，因此可以把振幅和位相单独提出来表示一个正弦量，称之为相量（phasor），用大写字母上加一点表示。例：u（t）＝Umcos（wt+

u）i（t）＝Imsin（wt+

i）二、振幅相量和有效值相量相量的模取最大值得到的相量，加下标m以是区分相量的模取有效值值得到的相量，没有下标**如无特别说明都是指有效值相量第十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四3。利用相量可以简化正弦稳态电路的稳态求解（类似于拉普拉斯变换）4.相量运算法则与复数运算法则一致复数简单复习三、相量的特点1。相量既有方向也有大小，是一种向量。2。相量可以用复数来表示第十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四1.复数A表示形式：A的向量表示模为|A|＝sqrt（a2＋b2）幅角＝arctg（b/a）AbReImaOA=a+jbAbReImaO第十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示2.复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。第十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四(2)乘除运算——极坐标若A1=|A1|1，若A2=|A2|2则A1

A2=|A1||A2|q1+q2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。例1.547+10-25=？？(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61第二十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例2.第二十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例1.解：已知①试分别写出i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。②求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。③作i、i1、i2的有效值相量图。将i1、i2化为标准cos形式:①振幅相量：第二十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四有效值相量：②（由相量形式写时域形式）第二十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例.③i的有效值相量:i、i1、i2的有效值相量图+1O+j注：频率不同的相量不能画在同一个相量图上。第二十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第二十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四4.相量运算(1)同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1i2=i3这实际上是一种变换思想第二十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例．同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。y1y2ReIm第二十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四(2)正弦量的微分，积分运算证明：第二十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四5.相量法的应用示例求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt强制分量(特解)：Imcos(wt+yi)例Ri(t)u(t)L+-第二十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四wt+u=wt+

i+qi=u-qq=tg-1(wL/R)用相量法求：qRL第三十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域：时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。(求解以时间为变量的微分方程)频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。（时间变量变换成频率变量，求解以频率为变量的线性方程组）相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。第三十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四小结①正弦量相量时域频域②相量法适用范围：激励为同频、正弦量、线性电路。③相量法的用途：分析正弦稳态电路，即求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图第三十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第四节基尔霍夫定律的相量形式一、KCL定律i3i2i1时域表达频域表达i1(t)+i2(t)+i3(t)=0相量的方向取正弦量的方向？第三十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四二、KVL定律时域表达频域表达？第三十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四一.电阻时域形式：相量形式：uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系：u=i

(u,i同相)注：(1)uR,i是同频正弦量第五节元件约束的相量形式第三十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四波形图及相量图：u=it

iOuRpRP=URI第三十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四二.电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：有效值关系：UL=wLI相位关系：u=i+90°

(uL

超前i90°)第三十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四iu相量图t

iOuLpL波形图第三十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四三、电容时域形式：相量形式：有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前u90°)iC(t)u(t)C+-第三十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四ui相量图波形图t

iCOupC第四十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第六节阻抗和导纳相量模型一、阻抗（impedance）（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。阻抗定义（关联方向）：基本元件的阻抗：欧姆定律的相量形式第四十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四二、电抗（reactance)X=Im[Z](Ω)基本元件的电抗：感抗容抗第四十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四导纳定义：三、导纳（admittance）基本元件的导纳：欧姆定律的相量形式第四十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四四、电纳（susceptance）B=Im[Y](S)基本元件的电纳：容纳感纳第四十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四五、相量模型(phasormodel)NNω时域模型相量（频域）模型1、电路拓扑结构不变。2、电路变量用相量表达，相量方向取正弦量方向。3、电路参数用阻抗或导纳表示。第四十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四将直流电路的分析方法、定理和公式推广应用于正弦稳态分析中：（1）将时域模型变为相量模型；（2）列电路相量形式的方程；（3）解方程，求得响应相量；（4）把响应相量再变为时间函数式。第四十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四1.RLC串联电路的正弦稳态特性由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-＋uR－jLR+-+-+-+-第四十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四Z—阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；|Z|—阻抗的模；z—阻抗角。关系：或R=|Z|coszX=|Z|sinz|Z|=U/I——反映u,i有效值关系z

=u-i——反映u,i相位关系|Z|RX阻抗三角形z第四十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四阻抗Z与电路性质的关系：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠z

wL>1/wC，X>0，z>0，电路为感性，电压超前电流；wL<1/wC，X<0，z<0，电路为容性，电压滞后电流；wL=1/wC，X=0，z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(设wL>1/wC)三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即z第四十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例.已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC及u,i的相位差.解：其相量模型为LCRuuLuCi+-+-+-＋uR－jLR+-+-+-+-第五十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四故：注：分压UL大于总电压U第五十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四法二：相量图解法选电流为参考相量z第五十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四则：故：第五十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四iLCGuiLiC+-iGjCG+-2.GCL并联电路的正弦稳态特性由KCL：第五十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四Y—导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—导纳的模；y—导纳角。关系：或G=|Y|cosy

B=|Y|siny|Y|=I/Uy

=i-u反映i,u幅度关系。反映i,u相位关系。|Y|GB导纳三角形y第五十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠y当wC>1/wL，B>0，y>0，电路为容性，i超前u；当wC<1/wL，B<0，y<0，电路为感性，i滞后u；当wC=1/wL，B=0，y=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(设wC<1/wL，y<0)y电流三角形第五十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四例：如图正弦稳态电路，已知交流电压表V1读数为60V，V2读数为80V，求V读数。解:（1）相量法求解假设以电流为参考相量，即设：（2）相量图解法RLiV-+V1V2+--+6080100相量图解法第五十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四用相量图分析例：移相桥电路。当R2由0时，解：当R2=0，q=180；当R2

，q=0。且R2

，q

。ººabR2R1R1+_+-+-+-+-第五十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz求：线圈的电阻R2和电感L2。已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。例：解：q2qR1R2L2+_+_+_第五十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四另解：利用阻抗概念。解得：R1R2L2+_+_+_第六十页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第七节相量模型的分析方法电阻电路与正弦稳态电路分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法应用于正弦稳态的相量分析中。第六十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期四一、网孔分析法R11i1+R12i2+…+R1mim=uS11…R21i1+R22i2+…+R2mim=uS22Rm1i1+Rm2i2+…+Rmmim=uSmm+_-+Z1Z2Z3Z4Z5445第六十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期四二、节点分析法+_-+21Y1Y2Y3Y4Y5第六十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期四5j5a5-j5-j5+-+-100V解：法一：网孔分析法化简为：第六十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期四第六十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期四5j5a5-j5-j5+-+-100V法二：节点分析法第六十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期四法一：电源变换解：三、简化分析Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-第六十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期四法二：戴维南等效例：用叠加定理计算电流-Z0Z+Z2Z1Z3+-第六十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期四解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-第六十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期四解：