第九章 力矩分配法

第九章力矩分配法第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四9.4无剪力分配法一、两个概念1、有侧移杆与无侧移杆杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆2、剪力静定杆杆件内的各截面剪力可以由静力平衡条件唯一确定的杆称为剪力静定杆BAC图（A）第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量的结构。是位移法解决基本未知量中无节点线位移的结构其内力的一种近似方法二、无剪力分配法CBA图（B）

如果某结构为有节点线位移的结构，但独立的节点线位移可以不作为位移法基本未知量，而只以角位移为基本未知量，因而也可以用力矩分配法计算。第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期四图示刚架，若只取节点A的转角为基本未知量，也就是只在节点A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移，则竖杆AB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁BC仍可看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因A、C两点同时等量左右移动时不引起内力，无侧移杆）。此时图D仍是各基本单跨梁的组合体，可用位移法（留为作业），因此也可直接用力矩分配法。BCA图（D）BAC图（C）第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期四BACBACABMAB-MABQ=0SAB=iAB

CAB=-1加刚臂阻止转动ASAB=iAB

SAC=3iAC放松节点使产生真实转角(节点A处产生不平衡力矩)(A处不平衡力矩反号后待分配)右2图A处实际转角时，水平杆在A端有转动刚度，AB杆受弯（参与A节点不平衡力矩的分配）右1图因节点A,C同时水平移动，AC杆作刚体平移不引起内力B第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期四由以上知：1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力矩分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时剪力为零，因此称为无剪力分配法。2）求剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，按该端滑动、远端固定的杆在杆端剪力和杆上荷载共同作用下通过查载常数表确定固端弯矩（若某剪力静定杆上无直接作用荷载则可先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定杆件计算固端弯矩）3）剪力静定杆件的转动刚度S=i；传递系数C=-1。4）AC杆的计算与以前一样。第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期四三、应用条件结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。PPPPPPABCDPPPABCD柱剪力图P2P3P剪力分配法（按侧移刚度分配）第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期四例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。解：选取结点角位移为基本未知量，加刚臂成基本体系，竖杆为剪力静定杆件，可用无剪力分配法。（1）求固端弯矩MF2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3BABC5KN第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期四（2）求杆端转动刚度S

、分配系数和传递系数C0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.61BAi2i2i2SBCSBA3i1CB1.395.706.61M图(kN·m)1.39第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期四四、多层单跨剪力静定刚架MAB1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力；2）将杆端剪力作为杆端荷载，按该端滑动、另端固定求杆件固端弯1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。P1P2ABCDEP1P2ABP1MBABCMBCMCBP1+P2第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递

同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。BCDEASBA=iABSBE=3iBESBC=iBCQ=0Q=0iABABCBA=-1MBA=Q=0BECBC=-1AMBC=-MBCQ=0iBCBAD第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四无剪力分配法的应用——符合倍数关系的多跨刚架在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形（内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多跨刚架。一、倍数定理独立倍数刚架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1h位移内力成1:n

的关系结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时，内力也成比例而变形相等。刚架Ⅰ和刚架Ⅱ线刚度成1:n刚架Ⅰ和刚架Ⅱ荷载成1:n第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四刚架的串联ADB1E1i1i2i1P=（1+n）P1B2E2ni1ni2ni1CF刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。独立倍数刚架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1内力成比例而变形（位移）相等多跨刚架ADi1i2BE（n+1）i1ni2ni1CFP=（1+n）P1在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期四二、计算步骤例:10kN②③③④⑥⑥④③④③⑥⑥⑧⑧(1)分解(2)基本单元计算0.20.8-2.5-2.50.52.0-0.5-2.02.0-3.0(3)单元弯矩图2232344646623224496（4）原刚架弯矩图②④③⑨⑥3mM(kN·m)第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期四抗剪柔度：单位侧向力所引起的杆端相对侧移。通常以

表示。2023/6/229.5剪力分配法剪力分配法的本质及其适用范围剪力分配法是计算承受水平结点荷载的刚架内力的一种实用算法，它假定刚架横梁为无限刚性，即不计刚性结点转动的影响、只考虑结点的侧移，从而使位移法的计算大为简化。

即，剪力分配法的适用范围为：刚性横梁的排架或刚架承受水平结点荷载。

基本概念抗剪刚度与抗剪柔度实际工程中，横梁不是无限刚性，所以剪力分配法的计算结果是近似的。当横梁与立柱的线刚度之比时，剪力分配法的计算精度能满足工程要求。当时计算误差较大，可通过修正立柱的剪切刚度（如D值法）来调整计算。

抗剪刚度：杆件两端发生单位相对侧移时所需的侧向力。通常以D表示。排架(多用于工业厂房)刚架(不宜用于抗震结构)与杆件材料、几何特征、约束形式有关第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22基本概念抗剪刚度与抗剪柔度两端固定的等截面柱单柱的抗剪刚度与抗剪柔度力法可求：柱子剪力为抗剪刚度为单柱的抗剪柔度与抗剪刚度互为倒数，即反弯点反弯点相对高度系数一端铰接、一端固定的等截面柱力法可求：柱子剪力为所以，抗剪刚度为抗剪柔度为反弯点相对高度系数第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22单柱的抗剪刚度与抗剪柔度一端铰接、一端固定的单阶柱（主要用于大跨单层工业厂房）从而可得柱子的抗剪柔度和抗剪柔度（略）。力法可求：柱子剪力为，其中，，柱子的串联与并联剪力分配除了与单柱的抗剪刚度有关外，还与柱子的连接方式有关。

柱间连接一般可分为串联和并联两种方式。并联体系对图示结构，有几何条件：…………(1)物理条件：………………(2)平衡条件：……………(3)第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22并联体系对图示结构，有几何条件：

…………(1)物理条件：………………(2)平衡条件：

……………(3)满足上述变形条件和受力特征的体系，称为并联体系。所有柱子两端相对侧移相同

⑴⑵代入⑶，得；其中，称为结构总抗剪刚度。柱子剪力记，称为剪力分配系数。（剪力平衡）

并联体系结构总抗剪刚度等于柱子抗剪刚度之和，柱子剪力与柱子抗剪刚度成正比。第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22串联体系对图示结构，有几何条件：…………(1)物理条件：………………(2)平衡条件：…………(3)满足上述变形条件和受力特征的体系，称为并联体系。⑵⑶代入⑴，得；其中，称为结构总抗剪柔度。串联体系结构总抗剪柔度等于柱子抗剪柔度之和，柱子侧移与柱子抗剪柔度成正比。所有柱子剪力相同

第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22串并联体系的电工学模拟荷载作用点——阳极地基基础——阴极刚性梁——导线弹性柱——电阻已知条件总水平荷载——电压柱抗剪刚度——电阻值柱子剪力——电流计算值两点说明柱子的串并联关系除了与结构体系有关外，还与荷载作用位置有关。（A)（B)例：试分析图（A）和（B）所示结构中柱子的串并联关系。所有梁均为刚性梁，所有柱均为弹性柱。两部分并联三部分并联串并联体系的总抗剪刚度和总抗剪柔度计算公式只适用于无结点角位移的情况。例：对于图（C）所示单阶柱，上段柱的抗剪柔度为，下段柱的抗剪柔度为，两段柱子串联，故，总抗剪柔度为。上述计算是否正确？（C）CAB不正确，因为结点C有角位移。P(1)P(2)P(1.1)P(1.2)P(1)P(2)P(3)P(3)表示力的传递路线第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22应用例题【解】⑴首先分析柱子的串并联关系。【例1】试用剪力分配法绘制图示刚架的弯矩图。各柱子。力的传递与分配关系P(1)P(2)P(3)P(4)P(4)P(4.1)P(4.2)由力的分配与传递路线可见：①a、b、c与defg（d、e、f、g的联合体）并联；②defg中d、e与fg串联；③fg中f与g并联。结构变形图荷载作用点位移最大，柱子的串并联关系也可以根据结构的变形图判别。能否画出本例结构的变形图？第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22应用例题【解】⑴首先分析柱子的串并联关系【例1】试用剪力分配法绘制图示刚架的弯矩图。各柱子。⑵计算剪力分配系数和柱子的剪力剪力分配系数只与相对刚度有关，为了简化计算，记，则f、g并联d、e、fg串联a、b、c、defg并联2092092091761768888柱子剪力(kN)如何确定柱子的剪力方向？根据剪力平衡条件或变形特征判别剪力方向第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2023/6/22应用例题【例1】试用剪力分配法绘制图示刚架的弯矩图。各柱子。2092092091761768888柱子剪力(kN)⑶根据柱子的反弯点和剪力计算并绘制弹性柱子的弯矩图【解】⑴首先分析柱子的串并联关系⑵计算剪力分配系数和柱子的剪力弯矩图(kNm)41841841841841841817617635235288888888⑷根据柱子的杆端弯矩，利用结点力矩平衡条件，确定刚性横梁的端弯矩值注意：