第九章 时间序列分析

第九章时间序列分析1第一页，共一百页，编辑于2023年，星期四第一节时间序列基础－预测知识一线性最小二乘法（LinearLeastSquaresPrediction,LLS)假设X和Y是两个散点分布的随机变量，它们具有某种联合分布。它们的期望、方差、协方差分别是：XμxEY=μy第二页，共一百页，编辑于2023年，星期四X–μxX–μxEY-μyY-μy

=RSSQ第三页，共一百页，编辑于2023年，星期四其中，X的期望E(X)=μx,Y的期望E(Y)=μy,X的方差E(X-μx)2=RY的方差E(Y-μy)2=QCOV(XY)=E(X-μx)(Y-μy)=S

第四页，共一百页，编辑于2023年，星期四现假设我们可以观测到X的一组值，如何预测Y呢？即如何利用X推知Y，假设只知道它们的期望、方差和协方差。我们可以利用这些已知条件求出Y的线性最小二乘估计值。第五页，共一百页，编辑于2023年，星期四假设这一线性形式为：Yhat=a+b(X-μx)我们的任务是在使平均平方误差（均方误）最小的情况下求出a和b的值。MSE=E[Y-Yhat]2=E[Y-a-b(x-μx)]2=E{[(Y-μy)-(a-μy)-b(X-μx)]}2第六页，共一百页，编辑于2023年，星期四=E(Y-μy)2+E(a-μy)2+b2E(X-μx)2

-2E(Y-μy)(a-μy)+2bE(X-μx)(a-μy)-2bE(Y-μy)(X-μx)=Q+(a-μy)2+b2R-2bS分别对a和b求导，令其为零2（a-μy）=0,所以a=μy,2bR-2S=0,b=S/R=SR-1所以，Yhat=μy+SR-1(X-μx)[也可以写成：Yhat=μy+[cov(X,Y)/var(x)]*(X-μx)(X-μx)的系数表明我们所估计Y值受观测值X影响程度的大小，它和X的方差成反比，X、Y的协方差成正比。第七页，共一百页，编辑于2023年，星期四二，线性最小二乘估计的特点1，Y的估计值和Y的期望相同。证明：E（Yhat）=E[μy+SR-1(X-μx)]=μy

第八页，共一百页，编辑于2023年，星期四2,线性转换如C是任一常数，则CY的LLS估计是CYhat.证明：令Z=CYYhat=a+b(X-μx)根据定义：Zhat=μz+[cov(X,Z)/var(X)]*(X-μx)第九页，共一百页，编辑于2023年，星期四μz=E(CY)=Cμy

Cov(X,Z)=E(X-μx)(Z-μz)=E(X-μx)(CY-Cμy)=CE(X-μx)(Y-μy)=Ccov(X,Y)第十页，共一百页，编辑于2023年，星期四将结果代入定义：Zhat=μz+[cov(X,Z)/var(X)]*(X-μx)=Cμy+Ccov(X,Y)/var(X)]*(X-μx)=C[μy+cov(X,Y)/var(X)]*(X-μx)]=CYhat第十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四3，线性组合Y1、Y2的LLS估计分别是Y1 hatY2hat.则Y1+Y2的LLS估计为Y1hat+Y2hat.证明：已知：Y1hat=μy1+S1R-1(X-μx)Y2hat=μy2+S2R-1(X-μx)第十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四根据定义：Zhat=μz+[cov(XZ)/var(X)](X-μx)μz=E(Y1+Y2)=μy1+μy2,cov(XZ)=E(X-μx)(Z-μz)=E(X-μx)(Y1+Y2-μy1-μy2)=E(X-μx)(Y1-μy1)+E(X-μx)(Y2-μy2)=cov(X,Y1)+cov(X,Y2)第十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四Zhat=μz+[cov(XZ)/var(X)](X-μx)=μy1+μy2+{[cov(X,Y1)+cov(X,Y2)]/var(X)}(X-μx)=Y1hat+Y2hat第十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四4,MSE(Yhat)=E(Y-Yhat)2=E[Y-μy-SR-1(X-μx)]2=E(Y-μy)2-2SR-1E(X-μx)(Y-μy)+S2R-2E(X-μx)2=Q-S2R-1第十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四第二节时间序列基本概念一，平稳性定义任何一个时间序列都可以被看作是由随机过程产生的结果。如果一个随机过程所产生的时间序列均值和方差在任何时间过程上都是常数，并且任何两个时期之间的协方差仅依赖于这两个时期的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称该时间序列是平稳的（Stationary)。第十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四我们可以把上述的描述表达成下式:如果时间序列Yt具有下列性质：1，E(Yt)=μ,2,var(Yt)=σ2,3,cov(YtYt+k)=E(Yt-μ)(Yt+k-μ)=rk,第十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四二，自协方差函数和自相关函数如果Yt的均值为0，那么rk=E(YtYt+k)被称为自协方差函数定义：ρk＝rk/r0,为自相关函数r0=E(YtYt)=var(Yt)=σ2,第十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四三，滞后算子(Lagoperator)为了使计算简单，引入滞后算子的概念。定义LYt=Yt-1,L2Yt=Yt-2,….LsYt=Yt-s,例如Yt－1.5Yt-1＋0.6Yt-2=（1－1.5L+0.6L2)Yt,第十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四第三节自回归模型(AR)一，AR模型的定义如果时间序列Yt可以表示为它先前的值和一个误差项的线性函数，称此模型为自回归模型(AutoregressiveModels,记做AR（p))。一般的表达式是：Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μt,第二十页，共一百页，编辑于2023年，星期四μt为白噪声序列，它满足以下条件：1,E(μt)=0,2,E(μtμs)=σμ

2t=s0t≠s3,E(μtYt-i

)=0可以进一步假设误差项服从于正态分布，期望是0，方差是固定的常数σμ

2。条件3表明t时刻的误差μt与Yt的过去值无关。同时为简单起见，假设E(Yt)=0,该假设一直存在，除非特别说明。第二十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四利用滞后算子，可以把AR(p)表示成：Yt＝φ1LYt+φ2L2Yt+….φpLpYt+μt,(1-φ1L-φ2L2-……-φpLp)Yt=μt,令φ（L）＝(1-φ1L-φ2L2-……-φpLp)φ（L）Yt=μt,或Yt=φ（L）－1μtAR（1)模型：Yt

＝0.5Yt-1

+μt，可以写成(1-0.5L)Yt

=μt,或Yt

=(1-0.5L)－1

μtYt

＝0.6Yt-1

+0.4Yt-2

＋μt，可以写成：(1-0.6L-0.4L2)Yt

=μt，第二十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四二，AR（1）平稳的必要条件Yt＝φYt-1+μt对上式两边平方再取期望E(Yt

2)=φ2E(Yt

-12)+E(μt

2)+2φE(Yt-1μt)=φ2E(Yt

-12)+σμ

2

如果Yt序列是平稳的，则在任何时候的方差是相同的，所以E(Yt

2)=E(Yt

-12)＝σy

2

第二十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四σy

2=σμ

2/（1-φ2）,因为σy

2是非负的，所以σμ

2/1-φ2

≥0，从而就有|φ|<1,因此|φ|<1是AR（1）模型平稳的必要条件。第二十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四三，AR模型的自相关函数1，AR（1）的自相关函数Yt＝φYt-1+μt其自协方差函数为：r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)=E(φYt-1+μt)Yt-1

=φE(Yt

-12)=φr0,r2=cov(YtYt-2

)=E(YtYt-2)=E(φYt-1+μt)Yt-2

=φE(Yt

-1Yt-2

)=φr1

=φ2r0,r3=cov(YtYt-3

)=E(YtYt-3)=E(φYt-1+μt)Yt-3

=φE(Yt

-1Yt-3

)=φr2=φ3r0,第二十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四rk=φkr0,所以，根据自协方差函数，可以计算出自相关函数为：ρk＝rk/r0＝φk，如果Yt是平稳的，|φ|<1，当k趋于无穷大时，φk趋于0，这种现象被称为拖尾第二十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四平稳的一阶自回归的自相关图第二十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四3，AR（2）的自相关函数Yt

＝φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt，自协方差为：r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-1

=φ

1r0+φ2r1,r2＝cov(YtYt-2)=E(YtYt-2

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-2

=φ

1r1+φ2r0,第二十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四r3＝cov(YtYt-3)=E(YtYt-3

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-3=φ

1r2+φ2r1,r4＝cov(YtYt-4

)=E(YtYt-4

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-4

=φ

1r3+φ2r2,第二十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四rk＝cov(YtYt-k

)=E(YtYt-k

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-k

=φ

1rk-1+φ2rk-2,所以自相关函数ρk＝φ

1

ρ

k-1+φ2ρ

k-2,(k>0)当k=1,2时ρ1＝φ

1+φ2ρ

1,ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2,ρ1＝φ

1/（1-φ2）,ρ2＝φ

1

2/（1-φ2）+φ2,第三十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例题求AR（2):Yt

＝0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt，自相关系数（k=0,1,2)可以按照上面推导的公式，直接计算。ρ1＝φ

1/1-φ2＝0.6/1-(-0.2)=0.6/1.2=0.5ρ2＝φ

1

2/1-φ2+φ2

=0.36/1.2-0.2=0.1也可以按照定义来计算第三十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)＝E(0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt)Yt-1

=0.6r0–0.2

r1r2＝cov(YtYt-2

)=E(YtYt-2)＝E(0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt)Yt-2

=0.6r1–0.2

r0ρ1＝φ

1+φ2ρ

1,ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2,所以自相关函数ρk＝φ

1

ρ

k-1+φ2ρ

k-2,(k>0)第三十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四也可以得到相同的结果。ρ3＝0.6ρ2-0.2ρ1＝0.6*0.1-0.2*0.5＝0.06-0.1＝-0.04ρ4＝0.6ρ3-0.2ρ2，＝0.6*（-0.04）-0.2*0.1＝-0.024-0.02＝-0.044第三十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四AR(p)自协方差函数和自相关函数Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μtr1=φ1

r0+φ2

r1+….φp

rp-1

r2=φ1

r1+φ2

r0+….φp

rp-2

….rk=φ1

rk-1+φ2

rk-2+….φp

rk-p

第三十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四ρ1＝φ

1+φ2ρ

1+…+φpρ

ρ-1

ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2+…+φpρ

ρ–2…ρk＝φ

1

ρ

k-1+φk-2+…+φpρ

k-p上述方程组被称为Yule-Walker方程。p阶的Yule-Walker方程可以用矩阵形式表达ρ11ρ

1…ρ

ρ-1φ

1

ρ

2ρ

11…ρ

ρ–2

φ2.=………ρkρ

ρ-1ρ

ρ–2…1φp

第三十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四四，AR（p））模型的参数估计Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μt根据样本观测值,可以利用最小二乘法估计模型,得到所有参数φ1φ2….φp的估计值。第三十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四也可以利用Yule-Walker方程，以样本自相关函数代替总体自相关函数，也可以估计出所有的参数。rk=E(YtYt+k)为总体自协方差函数rkhat=1/nΣ(Yt

-Ybar)(Yt+k

-Ybar)r0=E(YtYt)=var(Yt)r0hat=1/nΣ(Yt

-Ybar)2ρk＝rk/r0,为总体自相关函数ρkhat=rkhat/r0hat,第三十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四我们以AR（1）和AR（2）为例Yt＝φ1

Yt-1+μtφ1hat=ρ

1hat=r1hat/r0hatσμ

2=r0hat-φ1r1hat=r0hat(1-ρ

1hat2)第三十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+μtρ1hat=φ

1hat+φ2hat

ρ

1hatρ2hat=φ

1hatρ

1hat+φ2hat

可以求出：φ

1hat=（ρ

1hat-ρ

1hatρ2hat）/（1-ρ

1hat2）φ

2hat=（ρ2hat-ρ

1hat2

）/（1-ρ

1hat2）σμ

2=r0hat（1-φ

1hatρ

1hat-φ2hatρ2hat

）第三十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四第四节移动平均模型一，移动平均模型（MovingAveragemodels,MA(q))定义如果时间序列Yt是现在和过去误差的线性组合，即Yt＝μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q

则上式为Yt的移动平均模型，记做MA(q)第四十页，共一百页，编辑于2023年，星期四如果用滞后算子表示：Yt＝（1－θ

1L-θ

2L2-….θ

qLq)μt,=θ(L)μt,μt=θ(L)-1

Yt

第四十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四二，MA模型的自协方差函数和自相关函数r0＝E(Yt

2)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q)2,=σμ

2

(1+θ

12

+θ

2

2

+…+θ

q

2)rk＝E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q)(μt-k－θ

1

μt－k-1－θ

2

μt－k-2－……－θ

q

μt—k-q)=σμ

2

(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)1≤k≤q0k>q第四十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四ρk=(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)/(1+θ

12

+θ

2

2

+…+θ

q

2)1≤k≤q0k>q从上式可以看出，MA序列自相关函数序列的前q项是非零的，q+1项以后是零，我们称其为截尾。第四十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四我们现以MA(1）和MA(2)模型为例1，Yt＝μt－θ

μt－1r0＝E(Yt

2)＝E(μt－θ

μt－1)2=σμ

2(1+θ

2)r1＝E(YtYt-1)=E(μt－θ

μt－1)(μt-1－θ

μt－2)=-θσμ

2

r2＝E(YtYt-2)=E(μt－θ

μt－1)(μt-2－θ

μt－3)=0第四十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四ρ0=1ρ1=-θ/(1+θ

2

)ρk=0(k=23…….)所以对于MA(1)模型而言，k>1之后自相关系数就是零了。第四十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四2MA(2)模型Yt＝μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2r0＝E(Yt

2)＝E(μt－θ

μt－1－θ

2

μt－2)2＝σμ

2(1+θ

12+θ

2

2）r1＝E(YtYt-1)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-1－θ

1

μt－2－θ

2

μt－3)＝(-θ

1＋θ

1

θ

2)σμ

2

第四十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四r2＝E(YtYt-2)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-2－θ

1

μt－3－θ

2

μt－4)＝－θ

2

σμ

2

r3＝E(YtYt-3)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-3－θ

1

μt－4－θ

2

μt－5)＝0第四十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四ρ0=1ρ1=（-θ

1＋θ

1

θ

2

）/(1+θ

12

+θ

2

2

)ρ2=－θ

2/(1+θ

12

+θ

2

2

)ρk=0(k=34…….)MA(2)从k>2之后自相关系数就为零了。所以根据前面的推导，MA（q）模型从k>q之后自相关系数就是零了。第四十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四三MA模型的可逆性对于MA模型而言，我们关注的是它是否是可逆的。所谓可逆指的是MA（1)转换成自回归模型第四十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四Yt＝μt－θ

μt－1或μt＝Yt+θ

μt－1相应地μt－1＝Yt－1+θ

μt－2μt＝Yt+θ

μt－1＝Yt+θ（Yt－1+θ

μt－2）＝Yt+θYt－1＋θ2

μt－2重复迭代下去，第五十页，共一百页，编辑于2023年，星期四μt＝Yt+ΣθjYt－j＋θj+1

μt-j-1当

|θ|<1时，上式为：μt＝Yt+ΣθjYt－jYt＝μt－ΣθjYt－j（1)(1)式被称为MA（1)的逆转形式，也可以直接用模型推导出同样的结果。第五十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四而这种逆转也是有实际意义的。表明Yt可以用Yt的滞后项的函数来表示。序列Yt的历史值虽然对现在的值有影响，但是随着时间的推移，影响越来越小。如果|θ|>1地话，表明时间越滞后，对今天的影响越大，这是不合常理的。第五十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四三MA模型估计问题2，线性迭代法第五十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四rk=σμ

2(1+θ

12+θ

2

2+…+θ

q

2)k=0σμ

2(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)1≤k≤q上式是有q+1个参数的非线性方程组。可以有不同的求解方法。1，直接求解法第五十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四当q=1时，即一阶的移动平均模型。我们可以得到：r0hat=σμ

2(1+θ

12)r1hat=-θ

1σμ

2

θ

1=-r1hat/σμ

2

将θ

1代入r0hat=σμ

2(1+θ

12)=σμ

2[1+（-r1hat/σμ

2）2]第五十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四化简得到：σμ

4

-r0hatσμ

2+r1hat2=0σμ

2

hat=[r0hat+√

r0hat2-4r1hat2]/2=r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2θ

1hat=-r1hat/σμ

2=-r1hat/{r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2}=-2ρ

1hat

/[1+√

1-4ρ

1hat2]第五十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四上述参数估计有两个解，可以根据可逆性的条件来判断选取。σμ

2

hat=r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2θ

1hat=-2ρ

1hat

/[1+√

1-4ρ

1hat2]第五十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四r0hat=σμ

2(1+θ

12+θ

22)1r1hat=σμ

2（-θ

1+θ

1θ

2）2r2hat=-θ

2σμ

23由后两个方程可以得出：θ

2hat=-r2hat/σμ

2

θ

1hat=-r1hat/(σμ

2+r2hat)然后将结果再代入第一个方程，得到：r0hat=σμ

2{1+（-r2hat/σμ

2）2+[-r1hat/(σμ

2+r2hat)]

2}可以得到σμ

2的三次方程，可得σμ

2三个根，相应也有θ

1hat、θ

2hat三个解。对于q>2时，求解较为复杂，因此，q较大时用线性迭代法。第五十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四第五节自回归移动平均模型一，定义，如果Yt是先前序列值和当前及过去误差的线性组合，即Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+…φp

Yt-p+μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－…－θ

q

μt-q称上式为Yt的自回归移动平均模型（AutoregressiveMovingAverageModels,记做ARMA(p,q),pq分别表示自回归和移动平均的阶数第五十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四用滞后算子来表示：（1－φ1

L-φ2

L2-…-φp

Lp)Yt=(1-θ

1L-θ

2L2-…-θ

qLq)μtφ(L)Yt=θ(L)μt第六十页，共一百页，编辑于2023年，星期四二ARMA模型的自协方差函数和自相关函数1,ARMA（1，1）Yt＝φYt-1+μt－θ

μt－1把上式改写成：Yt－φYt-1

＝μt－θ

μt－1第六十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四E(Yt

μt)=σμ

2

E(Yt

μt-1)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)μt-1=φσμ

2

-θσμ

2,=(φ-θ)σμ

2

第六十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四r0＝E(Yt

2)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)2=φ2E(Yt-1)2+E(μt)2+θ2E(μt－1)2+2φE(Yt-1μt)-2φθE(Yt-1μt－1)-2θE(μtμt-1)=φ2

r0

+σμ

2

+θ2σμ

2

-2φθσμ

2

r0＝σμ

2(1+θ2-2φθ)/(1-φ2

)第六十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四r1=E(YtYt-1)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-1=φr0-θσμ

2=φ{σμ

2(1+θ2-2φθ)/(1-φ2

)}-θσμ

2,=σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)上式是通分化简后得到的最后结果第六十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四r2=E(YtYt-2)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-2=φr1＝φ

σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)第六十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四r3=E(YtYt-3)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-3=φr2＝φφ

σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)rk=φrk-1,k>1(k=2,3….)第六十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四所以自相关函数为:ρ1=r1/r0=(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)对于k>1,ρk=φ

k

ρk-1,第六十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四ρ2=φρ1

＝φ(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)ρ3=φρ2＝φ2(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)……ρk=φ

k

ρk-1＝φk-1(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)由此可以看出ARMA（1，1）是拖尾的第六十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例题Yt－0.6

Yt-1＝μt－0.4

μt－1+0.04μt－2，E(Yt

μt)=σμ

2

E(Yt

μt-1)=E(0.6Yt-1+μt－0.4

μt－1

+0.04μt－2)μt-1=0.6σμ

2

–0.4σμ

2,=0.2σμ

2

第六十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四E(Yt

μt-2)=E(0.6Yt-1+μt－0.4

μt－1

+0.04μt－2)μt-2＝0.6*0.2σμ

2+0.04σμ

2

＝0.16σμ

2

E(Yt

μt-1)＝E(Yt－1

μt-2)＝0.2σμ

2，将这一结果代入上式即可第七十页，共一百页，编辑于2023年，星期四利用上面的结果，计算自协方差和自相关函数首先将初始模型左右同乘以Yt，再取期望（1）r0－0.6r1

＝E(Yt

μt)-0.4E(Yt

μt-1)+0.04E(Yt

μt-2)=σμ

2(1-0.4*0.2+0.04*0.16)=σμ

2(1-0.08+0.0064)=0.9264σμ

2

第七十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四同乘以Yt-1，再取期望(2)r1－0.6r0

＝E(Yt－1

μt)-0.4E(Yt－1

μt-1)+0.04E(Yt－1

μt-2)＝σμ

2（-0.4+0.04*0.2）＝-0.392σμ

2

第七十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四同乘以Yt-2，再取期望3,r2－0.6r1＝E(Yt－2μt)-0.4E(Yt－2

μt-1)+0.04E(Yt－2

μt-2)=0.04σμ

2

第七十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四解上面的方程组首先（2）*0.6+（1）r0＝σμ

20.6912/0.64=1.08σμ

2

代入（2）式r1＝0.6r0－0.392σμ

2

＝（0.6*1.08-0.392）σμ

2

＝0.256σμ

2

第七十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四代入（3）式r2＝0.6r1＋0.04σμ

2

＝σμ

2（0.6*0.256+0.04）＝0.1936σμ

2

ρ1=r1/r0=0.256/1.08=0.237037ρ2=r2/r0=0.1936/1.08=0.179259第七十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四rk－0.6rk-1=0k>2所以ρk－0.6

ρk-1＝0ρ3＝0.6ρ2＝0.6*0.179259＝0.10756ρ4＝0.6ρ3＝0.6*0.10756＝0.06453……第七十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四二ARMA（1，1)模型的平稳性和可逆性的判断。|φ|<1是AR（1）模型平稳的必要条件

|θ|<1是MA(1)可逆的条件。第七十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四三，ARMA（1，1）模型的预测假设，ARMA模型是平稳可逆的，并且φ≠θYt＝φYt-1+μt－θ

μt－1Yt+1＝φYt+μt+1－θ

μt见板书第七十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四第六节非平稳的时间序列一，非平稳性，单位根如果一个时间序列的均值或方差随时间t而改变，就称该时间序列是非平稳的。特别的，我们把有一个单位根的时间序列叫随机游走（randomwalk)，时间序列包含单位根时，它就是一个非平稳的时间序列。第七十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四Yt＝Yt-1+μt当φ＝1时，我们称出现了单位根（unitroot)Yt是一个纯随机游走序列通过直接迭代，得到：Yt＝Y0+Σμii从1到t,E(Yt)=Y0

Var(Yt

)=tσμ

2

方差不再是固定不变的。第八十页，共一百页，编辑于2023年，星期四我们来看一个平稳的时间序列Yt＝0.8Yt-1+μt假设已知Y0=2，σμ

2=1E（Y1）=0.8E（Y0）+E（μ0）=0.8*2=1.6E（Y2）=0.8E（Y1）=0.8*0.8*2=1.28E（Y3）=0.8E（Y2）=0.8*0.8*0.8*2=1.024……E（Y100）=0.8100*E（Y0）≈0E（Yt）=0.8t*E（Y0）当t∞，E（Yt）→0第八十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四Var(Yt)=var(0.8Yt-1+μt)=0.82var(Yt-1

)+σμ

2

重复迭代下去=0.8var(Y0)+σμ

2[1+0.82+…+0.82(t-1)]=σμ

2(1-0.82t)/(1-0.82)当t→∞时，0.82t→0，Var(Yt

)

→σμ

2/(1-0.82)所以一个平稳的时间序列t的增大，其期望和方差均趋于固定的常数。第八十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四

但是我们可以发现：ΔYt＝Yt－Yt-1

＝μt即其一阶差分是一个平稳的过程。如果一个非平稳的时间序列的一阶差分是平稳的，则称其为一阶单整I（1）。如果非平稳的时间序列经过d次差分后为平稳的，则称其为d阶单整，记做I（d).第八十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四大多数的宏观经济流量指标和与人口规模有关的存量指标都是I（1），如产出及就业人口，名义GNP等.I(2)则具有相对不变的增长率。如物价指数。d>2的时间序列比较少见，但是经济异常时也会发生，如恶性通货膨胀时的物价水平就是一个I(3)。第八十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四二，虚假回归(spuriousregression)经济时间序列时常有一个长期所谓趋势，或近似单位根，即大多数的经济时间序列是非平稳的。如果我们直接对非平稳的时间序列进行回归，可能会出现：1，高R22，很低的标准差（低SE）3，d趋于0（DW值）一般地，当R2>d,时，上述回归就可能是虚假回归或谬误回归。（经验上的）第八十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四三，为了避免虚假回归，必须事先进行单位根的检验，即首先检验该序列是否是平稳的。常用的单位根检验被称为DF检验（Dickey–FullerTest)第八十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四Yt＝βYt-1+μt使用最小二乘法估计上述模型，我们要检验的是：H0:β＝1，Yt是非平稳的。H1:β<1,Yt是平稳的使用DF检验，计算DF值，然后与临界值进行比较。第八十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四在β＝1的虚拟假设下，把通常计算的t统计量称为τ(tau)统计量。Dickey–Fuller计算出τ统计量的临界值表。τ检验的方法是使用最小二乘法估计上述模型，将估计的参数β－1再除以其标准差就是τ统计量。然后与临界值进行比较。如果所计算的τ统计量的绝对值大于临界值绝对值，则不拒绝时间序列是平稳的假设，即认为该时间序列是平稳的。如果小于临界值绝对值，则时间序列是非平稳的。第八十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例题Yt＝0.147

Yt-1

（0.1427)因为待检假设β＝1DF值或τ统计量＝0.147