专题61反比例函数（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题6.1反比例函数（知识讲解）【学习目标】理解并掌握反比例函数的定义，判断一个函数是否为反比例函数；能够根据反比例函数的表达式确定参数值；能根据问题的反比例关系确定函数解析式．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.【典型例题】类型一、反比例函数定义➼➼识别★★求参数★★函数值★★自变量取值范围1、下列关系式中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的定义，进行判断即可．解：A、，是正比例函数，不符合题意；B、是反比例函数，符合题意；C、，是二次函数，不符合题意；D、，是一次函数，不符合题意；故选B．【点拨】本题考查反比例函数的判断．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．【变式】下列函数中，不是反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．解：反比例函数的三种形式为：①（为常数，），②（为常数，），③（为常数，），由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．2、若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（）A．0 B．-2 C．2 D．-6【答案】B解：∵点（a，b）反比例函数上，∴b=，即ab=2，∴原式=2-4=-2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．【变式】反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于(

)A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2【答案】D【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=2×(-4)，然后解关于n的方程即可．解：∵点（2，-4）和点（4，n）在反比例函数y=的图象上，∴4n=2×(-4)，∴n=-2．故选D．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．3、已知反比例函数，若，则y的取值范围是______．【答案】或【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．解：把x=-2代入得：y=-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，故答案为：y≤-4或y＞0．【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．【变式】已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______.【答案】【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据即可求解.解：把，代入得：∵∴故答案为-12【点拨】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键.4、如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______．【答案】##【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可．解：∵点A在反比例函数（）上，轴∴∵∴∵的垂直平分线交轴于点∴∴△的周长=故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．【变式】两个反比例函数的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3…P2010在的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P1、P2、P3、…、P2010分别作x轴的平行线，与图象交点依次是Q1、Q2、Q3、…、Q2010，则点Q2010的横坐标是__．【答案】﹣8038解：试题分析：根据P2010和Q2010的纵坐标相同找出排列规律，代入反比例函数的解析式即可．解：根据题意，因为P2010Q2010∥X轴，所以P2010和Q2010的纵坐标相同．根据数列1，3，5，7，9，11，…，的排列规律，得第2010个数为2×2010﹣1=4019，代入y=得，y=，代入y=﹣，得=﹣，x=﹣8038．故答案为﹣8038．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：数字的变化类．点评：考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题将规律探索和求点的坐标结合起来，而且解答时要抓住问题的关键：两反比例函数中，Pn和Qn纵坐标相等．类型二、待定系数法求反比例函数解析式★★求函数值5、已知反比例函数的图像经过直线上的点，求m和k的值【答案】；．【分析】先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值．解：把，代入的左右两边解得；把，代入的左右两边解得．【点拨】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键．【变式1】已知反比例函数y＝（k≠0），当x＝﹣3时，y＝．（1）求y关于x的函数表达式．（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．【答案】（1）y＝﹣；（2）x＝1【分析】（1）将x＝﹣3，y＝代入y＝（k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式；（2）将y＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x值即可．解：（1）根据题意，得＝﹣，解得，k＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y＝﹣；（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y＝﹣，∴当y＝﹣4时，﹣4＝﹣，即x＝1．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还利用了反比例函数图象上点的坐标特征，求函数值对应得自变量的值．【变式2】已知与y成反比例，且当时，（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值.【答案】（1）;（2）6.【分析】（1）设，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式；（2）把x=-1代入解析式求出y的值即可．解：（1）∵x与y成反比列，∴设，当x=-2时，y=3，得，解得：k=-6∴y关于的函数解析式是（2）当x=-1时，=6【点拨】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．类型三、反比例函数解析式➼➼反比例函数与一次函数综合6、将直线向下平移1个单位长度，得到直线，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是3．（1）求和的值；（2）结合图象求不等式的解集．【答案】（1）m=0,k=3；（2）试题分析：（1）利用一次函数的平移规则求出m，求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值.解：（1）由向下平移1个单位长度而得点的纵坐标为3，且在上，上，（2）由图像得：考点：一次函数与反比例函数的综合运用；数形结合【变式1】如图，点D在双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交双曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（3，2）．（1）求该双曲线的解析式；（2）求△OFA的面积．【答案】（1）双曲线解析式为；（2）试题分析：（1）根据点C的坐标，利用比值关系求出D点的坐标，然后根据待定系数法求出反比例函数的解析式；（2）根据解析式求出B点的坐标，用A点坐标求出直线AB的解析式，再求出F点的坐标，最后根据三角形的面积求解.解：（1）∵点C的坐标为（3，2）；

∴OA=3，AC=2．

∵AC：AD=1：3，∴AD=6，∴点D的坐标为（3，6）；设该双曲线的解析式为；

∴k=3×6=18，∴该双曲线的解析式为；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）；

∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线上，∴

∴x=9

∴B点的坐标为（9，2），A点的坐标为（3，0）；

∴

解之得：

∴直线AB的解析式为y=x-1；

∵直线AB与y轴的交点为F；

∴F点的坐标为（0，-1），∴OF=1，

∴△OFA的面积=×OA·OF=.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过□的顶点.点的坐标为，点在轴上，且轴，.（1）填空：点的坐标为；（2）求双曲线和所在直线的解析式.【答案】（1）（0，1）；（2），.试题分析：（1）由D得坐标以及点A在y轴上，且AD∥x轴即可求得；（2）由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得OE得长，得到B得纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．解：（1）∵点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，∴A（0，1）；故答案为（0，1）；（2）∵双