2023年新高二暑假讲义12讲第6讲 直线的方程含答案

14/142023年新高二暑假讲义第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。知识梳理1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在3.直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)A(a，0)，B(0，b)且ab≠0方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝14.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))5.直线的一般式方程形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为06.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1直线的点斜式方程名师导学知识点1求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．知识点2直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3点斜式、斜截式方程的综合应用【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?名师导练A组-[应知应会]1．（宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（）A． B． C． D．2．（绵阳期末）已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．（上饶期末）直线y＝eq\r(3)(x－eq\r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是()A．eq\r(3)，eq\r(3)B．eq\r(3)，－3C．eq\r(3)，3D．－eq\r(3)，－34．（通州区期末）直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<05．（龙凤区校级期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是（）A． B． C． D．6．（南关区校级期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A． B． C． D．7．（兴庆区校级期末）直线y＝2x－5在y轴上的截距是________．8．（无锡期末）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．9．（金牛区校级期末）与直线l：y＝eq\f(3,4)x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________．10．（南岗区校级期末）斜率为eq\f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的点斜式方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程．B组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．3.2.2直线的两点式方程名师导学知识点1直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为()A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0知识点2直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．名师导练A组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1 B.eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1C.eq\f(x,4)－eq\f(y,3)＝1 D.eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．B组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)C．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．5．（杨浦区校级期末）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．3.2.3直线的一般式方程名师导学知识点1直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－eq\f(4,3)，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0(2)直线eq\r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.eq\r(3) B．－5 C.eq\f(9,5) D．－3eq\r(3)【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.知识点2直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是()A．2x－y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．2x－y－4＝0 D．x－2y－4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________．名师导练A组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．（辽源期末）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A．－1 B．1 C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．（宜兴县校级期中）直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()5．（城关区校级期末）直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为()A．－2 B．2 C．－3 D．36．（金凤区校级期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．7．（越秀区校级期末）已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．8．（凯里市校级期末）已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？B组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程． 第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。知识梳理1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在3.直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)A(a，0)，B(0，b)且ab≠0方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝14.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))5.直线的一般式方程形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为06.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1直线的点斜式方程名师导学知识点1求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的方程为y－4＝－(x＋1)．(3)∵直线与y轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，∴斜率k＝eq\f(－4－1,3－2)＝－5.由点斜式得y－1＝－5(x－2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.知识点2直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴y＝eq\r(3)x＋5.(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2)．∴k＝eq\f(－2－0,0－4)＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x－2.知识点3点斜式、斜截式方程的综合应用【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，又2a≠2，解得a＝－1.(2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【证明】法一直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．法二直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?【解析】假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，可得直线l与x轴的交点为(eq\f(－5k＋4,k)，0)，与y轴的交点为(0，5k－4)．因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以eq\f(1,2)|eq\f(－5k＋4,k)|·|5k－4|＝5，所以eq\f(－5k＋4,k)·(5k－4)＝±10，即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，所以k＝eq\f(8,5)或k＝eq\f(2,5)，所以存在直线l满足题意，直线l的方程为y＋4＝eq\f(8,5)(x＋5)或y＋4＝eq\f(2,5)(x＋5).名师导练A组-[应知应会]1．（宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵直线过点且斜率为，

由直线方程的点斜式得：，

整理得：.

故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.3．（上饶期末）直线y＝eq\r(3)(x－eq\r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是()A．eq\r(3)，eq\r(3)B．eq\r(3)，－3C．eq\r(3)，3D．－eq\r(3)，－3【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为eq\r(3)，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.4．（通州区期末）直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0【答案】B【解析】∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.5．（龙凤区校级期末）过点且与直线垂直的直线l的方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所求直线与直线垂直，所以其斜率为，又所求直线过点，因此，所求直线方程为：，即.故选D.6．（南关区校级期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线与直线平行，直线的斜率与的斜率相等，即直线的斜率：；又直线过点，则由点斜式可知直线方程为整理可得：故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y＝2x－5在y轴上的截距是________．【答案】－5【解析】∵令x＝0，则y＝－5，∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．【答案】y＝eq\r(3)x－6或y＝－eq\r(3)x－6【解析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：k＝tan60°＝eq\r(3)，或k＝tan120°＝－eq\r(3)，∴y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝eq\r(3)x－6或y＝－eq\r(3)x－6.9．（金牛区校级期末）与直线l：y＝eq\f(3,4)x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________．【答案】y＝eq\f(3,4)x－3【解析】根据题意知直线l的斜率k＝eq\f(3,4)，故直线l1的斜率k1＝eq\f(3,4).设直线l1的方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，则令y＝0，得它在x轴上的截距a＝－eq\f(4,3)b.∵a＋b＝－eq\f(4,3)b＋b＝－eq\f(1,3)b＝1，∴b＝－3.∴直线l1的方程为y＝eq\f(3,4)x－3.10．（南岗区校级期末）斜率为eq\f(3,4)，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】y＝eq\f(3,4)x±3【解析】设所求直线方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，令y＝0得x＝－eq\f(4b,3).由题意得：|b|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))＋eq\r(b2＋\f(16b2,9))＝12，即|b|＋eq\f(4,3)|b|＋eq\f(5,3)|b|＝12，即4|b|＝12，∴b＝±3，∴所求直线方程为y＝eq\f(3,4)x±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.【解析】(1)斜率k＝tan45°＝1，可得斜截式：y＝x＋2.(2)k＝eq\f(－1－1,0－3)＝eq\f(2,3)，可得斜截式方程：y＝eq\f(2,3)x－1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的点斜式方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程．【解析】(1)∵所求直线与直线y＝2x＋7平行，∴所求直线斜率为2，由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)．(2)∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，∴所求直线的斜率为－eq\f(1,3)，由点斜式方程得：y＋2＝－eq\f(1,3)(x＋2)，即y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(8,3).故所求的直线方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(8,3).B组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】直线AB的斜率kAB＝eq\f(－3－0,3－（－5）)＝－eq\f(3,8)，又过点A(－5，0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－eq\f(3,8)(x＋5)，即所求边AB所在直线的斜截式方程为y＝－eq\f(3,8)x－eq\f(15,8).同理，直线BC的方程为y－2＝－eq\f(5,3)x，即y＝－eq\f(5,3)x＋2.直线AC的方程为y－2＝eq\f(2,5)x，即y＝eq\f(2,5)x＋2.∴边AB，BC，AC所在直线的斜截式方程分别为y＝－eq\f(3,8)x－eq\f(15,8)，y＝－eq\f(5,3)x＋2，y＝eq\f(2,5)x＋2.3.2.2直线的两点式方程名师导学知识点1直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．【解答】直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－1,－2－1)，整理，得4x－3y＋5＝0，这就是直线AB的方程．直线AC垂直于x轴，其方程为x＝1.直线BC平行于x轴，其方程为y＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为()A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为eq\f(y－（－1）,1－（－1）)＝eq\f(x－2,1－2)，整理得2x＋y－3＝0，故选C.知识点2直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．【解答】(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1.又l过点A(3，4)，所以eq\f(3,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝eq\f(4,3)，直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？【解析】(1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，又知l过(3，4)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝7，∴直线l的方程为x＋y－7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.知识点3直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．【解答】如图，过B(3，－3)，C(0，2)的两点式方程为eq\f(y－2,－3－2)＝eq\f(x－0,3－0)，整理得5x＋3y－6＝0.这就是BC边所在直线的方程．BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(eq\f(3＋0,2)，eq\f(－3＋2,2))，即(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))．过A(－5，0)，M(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))的直线的方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.这就是BC边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．【解析】当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为eq\f(1,2)，所以直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.又因为过点A，所以eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)＝1.①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|.②由①②联立方程组，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))所以所求直线的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,6)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1，化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－6＝0或x－y－2＝0.名师导练A组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2【解析】代入两点式得直线方程eq\f(y－1,4－1)＝eq\f(x＋2,1＋2)，整理得y＝x＋3.【答案】A2．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1 B.eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1C.eq\f(x,4)－eq\f(y,3)＝1 D.eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1【解析】由P，Q两点坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即eq\f(x,4)－eq\f(y,3)＝1.【答案】C3．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解析】当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．【答案】B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0【解析】经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：eq\f(y－0,－5－0)＝eq\f(x－5,2－5)，整理，得5x－3y－25＝0.故选B.【答案】B5．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1【解析】显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq\f(x,\f(2,a))＋eq\f(y,2)＝1.∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴eq\f(2,a)＝2，解得a＝1，故选A.【答案】A6．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5【解析】∵M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，∴eq\f(4＋6,2)＝n，eq\f(m－9,2)＝－3；∴n＝5，m＝3，故选D.【答案】D7．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．【解析】由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，又直线在y轴上的截距是－3，∴直线方程为eq\f(x,4)－eq\f(y,3)＝1，即3x－4y－12＝0.【答案】3x－4y－12＝08．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．【解析】当直线过原点时，斜率等于eq\f(2－0,3－0)＝eq\f(2,3)，故直线的方程为y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(3，2)代入直线的方程得m＝－5，故求得的直线方程为x＋y－5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．【解】(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－2，3)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(3,2)，此时，直线方程为y＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程式为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，此时，直线方程为x＋2y－4＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】过A，B两点的直线的两点式方程是eq\f(y＋1,3＋1)＝eq\f(x－4,－2－4).点斜式为：y＋1＝－eq\f(2,3)(x－4)，斜截式为：y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(5,3)，截距式为：eq\f(x,\f(5,2))＋eq\f(y,\f(5,3))＝1.B组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()【解析】化为截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,－b)＝1，eq\f(x,b)＋eq\f(y,－a)＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合．【答案】A2.（秦州区校级期末）直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞)C．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝eq\f(1,2)，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【答案】D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．【解析】设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－eq\f(d,3)，－eq\f(d,4)，∴6＝eq\f(1,2)×|－eq\f(d,3)|×|－eq\f(d,4)|＝eq\f(d2,24)，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.【答案】3或－34．（启东市校级月考）已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．【解析】直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，即当P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.【答案】35．（杨浦区校级期末）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．【解】(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0－2,2)))，BC边的中点为Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋7,2)，\f(y0＋3,2))).因为M在y轴上，所以eq\f(x0＋5,2)＝0，得x0＝－5.又因为N在x轴上，所以eq\f(y0＋3,2)＝0，所以y0＝－3.所以C(－5，－3)．(2)由(1)可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，所以直线MN的方程为eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.3.2.3直线的一般式方程名师导学知识点1直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－eq\f(4,3)，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0(2)直线eq\r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.eq\r(3) B．－5 C.eq\f(9,5) D．－3eq\r(3)【分析】(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－eq\f(4,3)的有：B、C两项．又y＝－eq\f(4,3)x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B项满足要求．(2)令y＝0，则x＝－3eq\r(3).【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝eq\r(3)(x－5)，化为一般式为：eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y＝4x－2，化为一般式为：4x－y－2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－（－1）,2－（－1）).化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.知识点2直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．(2)因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－eq\f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－（m2－m），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝eq\f(4m－1,2m2＋m－3)，所以eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))所以m＝－eq\f(1,2)或m＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．【解析】l的方程可化为y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq\f(3,4).法一(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq\f(3,4).又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq\f(4,3)，又l′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是()A．2x－y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．2x－y－4＝0 D．x－2y－4＝0【解析】由题意可设所求的方程为2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知点(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直线的方程为：2x－y－3＝0，故选A.【答案】A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________．【解析】直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为：y＝－eq\f(a＋1,3)x－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).若l1∥l2，则－eq\f(a＋1,3)＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).若l1⊥l2，则－eq\f(a＋1,3)×(－eq\f(1,2))＝－1，解得a＝－7.【答案】eq\f(1,2)－7名师导练A组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【解析】由题意可把ax＋by＝c化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b).∵ab<0，bc＜0，∴直线的斜率k＝－eq\f(a,b)>0，直线在y轴上的截距eq\f(c,b)<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．【答案】C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】由题意，得所求直线斜率为eq\f(1,2)，且过点(1，0)．故所求直线方程为y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】A3．（辽源期末）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A．－1 B．1 C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】由两直线垂直，得1×2＋(－2)m＝0，解得m＝1.【答案】B4．（宜兴县校级期中）直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()【解析】将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.【答案】C5．（城关区校级期末）直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为()A．－2 B．2 C．－3 D．3【解析】∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，当m2＝4时，与题意不符，∴eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝tan45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)．故选D.【答案】D6．（金凤区校级期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．【解析】∵直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0分别化为y＝－eq\f(a,2)x－eq\f(1,2)，y＝－x＋2，则－eq\f(a,2)＝－1，解得a＝2.【答案】27．（越秀区校级期末）已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．【解析】因为两条直线垂直，直线2x＋y－1＝0的斜率为－2，所以过点A(－2，m)，B(m，4)的直线的斜率eq\f(4－m,m＋2)＝