高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算讲义新人教A版必修

第二课时对数的运算目标导航课标要求1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.了解对数的换底公式及其应用.3.初步掌握对数在生活中的应用.素养达成通过本节内容的学习,使学生体会转化思想在对数中的作用,提高学生数学运算能力.新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】导入一问题1:指数运算有哪些性质?答案:若a,b>0,且a≠1,b≠1,r,s∈R,则ar·as=ar+s;arbr=(ab)r;(ar)s=ars.问题2:指数式ax=b对应的对数式是什么?答案:x=logab.导入二求下列对数的值:①log24;②log28;③log232;④log832.解:①设log24=x,则2x=4,所以x=2,即log24=2;②设log28=x,则2x=8,所以x=3,即log28=3;③设log232=x,则2x=32,所以x=5,即log232=5;想一想导入二中①②③之间存在什么运算关系?知识探究1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=

;(2)loga

=

;(3)logaMn=

(n∈R).探究1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立?答案:不一定,当M>0且N>0时,该式成立,当M<0,N<0时,该式不成立.logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM【拓展延伸】与对数有关的方程的求解与对数有关的方程主要有三类:第一类是形如关于x的方程logaf(x)=b(a>0,且a≠1),通常将其转化为指数式f(x)=ab,这样解关于x的方程f(x)=ab即可,最后要注意验根.第二类是形如关于x的方程logaf(x)=logag(x)(a>0,且a≠1),通常将其转化为求方程f(x)=g(x)的解即可,最后要注意验根.第三类是形如关于x的方程f(logax)=0(a>0,且a≠1),通常利用换元法,设logax=t,转化为解方程f(t)=0得t=p的值,再解方程logax=p,化为指数式,则x=ap,最后要注意验根.自我检测BD1.(运算性质)log42-log48等于(

)(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)22.(运算性质)log35-log345等于(

)(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2A答案:14.(换底公式)log816=

.

5.(换底公式)log23·log34·log45·log52=

.

题型一对数运算性质的应用课堂探究·素养提升解:(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.

(1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.(2)对数计算问题中,涉及lg2,lg5时,常利用lg2+lg5=1及lg2=1-lg5,lg5=1-lg2等解题.方法技巧(2)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.题型二换底公式的应用【例2】

计算:(1)log1627log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).方法技巧应用换底公式时,(1)一般都换成以10为底的对数.(2)根据情况找一个底数或真数的因子作为底.(2)已知log627=a,试用a表示log1816.题型三与对数有关的方程问题【例3】

解方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lgx)2+lgx3-10=0.解:(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2)得2x+1=x2-2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.检验:当x=-1时,2x+1<0,舍去;当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.(2)原方程整理得(lgx)2+3lgx-10=0,即(lgx+5)(lgx-2)=0,所以lgx=-5或lgx=2,解得x=10-5或x=102,经检验知,x=10-5,x=102都是原方程的解.方法技巧简单的对数方程及其解法名称题型解法基本型logaf(x)=b将对数式转化成指数式f(x)=ab同底型logaf(x)=logag(x)转化成f(x)=g(x),需验根需代换型F(logax)=0换元,令t=logax,转化成关于t的方程(2)lgx+2log10xx=2.【备用例3】

已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一个实根,求实数a,b的值.题型四