2023高考数学考前必备二级结论

备战2023高考数学考前必备4——二级结论

集合、常用逻辑用语、不等式

1:子集的个数问题

若一个集合/含有“（〃wN）个元素，则集合4有2"个子集，有个真子集，有（2"-1）个非空子集，

有（2"-2）个非空真子集.

理解：力的子集有2"个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则〃个元素共有2"种选

择，该结论需要掌握并会灵活应用.

对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的,

有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集、真子集、子集、

非空真子集之间的联系有区别.

2:子集、交集、并集、补集之间的关系

/仆8=/=/U8=8o4U8=,（其中/为全集）.

（1）当4=8时，显然成立；

（2）当"GB时，图如图所示，结论正确.

这个结论通过集合的交、并、补运算与集合的包含关系的转换解决问题.

3.均值不等式链

2//T/升b/la2+b2

（心0力>0,当且仅当方占时取等号）

一十一

ab

4.两个经典超越不等式

（1）对数形式：l+lnx（A>0）,当且仅当尸1时，等号成立.

（2）指数形式：ex>x+\（xeR）,当且仅当x=0时，等号成立.

进一步可得到一组不等式链：ex>x+1>x>1+lnx（x>0且yI）

V2—0X,

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：eJ=l+x+—+-•-+—+ee,

2!〃！

ln(l+x)=r；+y--+(-1)""+4Q),截取片段：，>x+l(xeR),ln(l+x)<x(x>-l),当且仅当x=0

时，等号成立；进而：IruMx-l(QO),当且仅当x=I时，等号成立.

1.奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xGD,都有f(x)+f(-x)=O.特别地,

若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=O,且若OGD,则f(O)=O.

2.函数周期性问题

【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xGD,都有

f(x)+f(-x)=O.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=O,且若OSD,则

f(O)=O.已知定义在R上的函数f(x),若对任意xGR,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),

则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数

有关的结论如下：

(1)如果人户&)=如)(4彳0),那么人x)是周期函数，其中的一个周期42“.

1

(2)如果_/(x+a)=(存0),那么y(x)是周期函数，其中的一个周期7=2”.

/(x)

(3)如果加计尸c(存0),那么人均是周期函数，其中的一个周期T=2a.

(4)如果加)=/(x+a)Mx-a)(分0),那么兀0是周期函数，其中的一个周期7=6°.

3.不同底的指数函数图像变化规律

当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近y轴；当底数大于o且小于1时，底数越小，指数函数的

图像越靠近N轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：0<c<d<l<b<a,即图1中由y

轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.

2

4.不同底的对数函数图像变化规律

当底数大于o且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近》轴；当底数大于1时，底数越大，对数函数

的图像越靠近x轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：0<6<a<l<d<c,即图2中，

在x轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.

5.方程x+“X）=A的根为网，方程x+广⑺父的根

x

若函数y=/G）是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T（X）.特别地，y=a^y=\ogllx

（a>0且awl）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于产、对称，即（xo，/（x。））与（/（x。），/）分别在函数

产/'（x）与反函数”广«）的图像上

若方程x+/（x）=Z的根为%，方程x+/—（x）=上的根为%，则玉+々=左.

三角函数与解三角形

1.降募扩角公式

3

cos2a=；(1+cos2a),

【结论阐述】

sin2a=；(1一cos2a).

2.升嘉缩角公式

H-cos2cr=2cos2a,

【结论阐述】

1—cos2a=2sin2a.

3.万能公式

a,2。>a

2tan—1-tan-2tan—

【结论阐述】①sina=--------；②cosa=----------—；(3)tana=----------

,.?<2a

1+tan~-1+tan~一1-tan-

222

3.正切恒等式tan4+tan5+tanC=tan力tanStanC

若△为斜三角形，则有tan力+tan8+tanC=tanAtan8tanC（正切恒等式）.

4.射影定理

在△力6C中,«=bcosC+ccos5,b=acosC4-ccosJ,c=acosB+bcosA.

1.等差数列的性质

设，为等差数列s.｝的前〃项和，则有如下性质：

在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即见，勺+2"，…为等差数列，公差为

md

从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项的等差中项：

2&=«„-1+an+I（«22）,2%=an_k+an+k（«>k）

项的

性两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若m+〃=『+s,则%+为=%+4；若

质

m+n+p=r+s+t9贝=%+%+《

若｛/｝，｛a｝为项数相同的等差数列，则也见土色，｝仍为等差数列（卜」为常数）

等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点（当"3°时，a“=M+（a「d）是"的一次函数）

4

①S.，$2“-S.,$3“-$2“，…也成等差数列，公差为〃2d

Sti=—n+/——\n

②当dxO时，2I2）是〃的二次函数

和的③［"J是等差数列

性

S4

质

S^-S^=a^=--,S„=na.ll码奇2%明

③〃为奇数时，^n+l;〃为偶数时，丁

aSa2m1S

,n=2m-\n=（-）2n-l

④若｛《,｝，料｝为项数相同的等差数列，且前”项和分别为§“与。，则鬣也（2«-1）7'2,„_1

T

（处理方法分别设S”=+即，n=城+B2f1）

单调在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即《，a"+，"，a”+2m，…为等差数列，公差为

性md

2.等比数列的性质

设5„为等比数列｛%｝的前n项和，则有如下性质：

在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比列,即4,，，可+2,”，…为等比数列，公比为•

从第二项起每一项是它前一项与后一项的等比数列，也是与它等间距的两项的等比中项.

两积式项数相同，下标和相等，则两式积相等：即若〃?+〃=厂+5，则%4，=44；若

项加+〃+p=〃+s+E,贝I］。”4Mp

的

若｛《，｝，｛"｝为项数相同的等比数列，则①｛i°g,qJ（其中%为常数）为等差数列；②

性

质｛仇｝，｛地卜［卜六［，｛向卜｛叫,｛%｝,｛|%|｝a>0k

（其中%>°，%为常数）为等比数列.

等比数列的图像是一列分布的孤立点（当时，是〃的指数型函数）

4=aia2…4>B=4+4+2…。2*，C=a2k+\a2k+2…。3k,则力，台，C成等比数列

和①若｛“"｝是4HT的等比数列，则数列S"，S2"-S“，$3“一S2,,，…也成等比数列（其中"为常数）；

5

的q=T且〃为偶数时，数列加，2,-5“，$3/,-$2-一是常数列｛0｝,它不是等比数列；②

性

S…=S”+(fsn=S“+(fSm；③在等比数列｛4｝中，当项数为偶数2〃时，S儡=3奇；项数为奇

质

数2〃一1时，S奇=卬+0%

①4=1时，数列｛”」是常数列，如数列2,2,2,2,…；②4<°时，数列｛《，｝是摆动数列，如数列

1,-2,4,-8,16,-.

1111...

单③q>O,O<g<l时，数列｛叫是递减数列，如数列‘受'"&'…；

调

④时，数列｛•，，｝是递增数列，如数列1，2,4,8,…；

性

⑤q<0,O<g<l时，数列｛%｝是递增数列，如数列一，-2，_4，-8，",.

⑥q<O,g>l时，数列｛可｝是递减数列，如数列-1,-2,-4,-8,….

1.极化恒等式

(1)极化恒等式：”/=；［(a+b)2-(a-6)［；

(2)极化恒等式平行四边形型：在平行四边形"88中，^8.A5=1(|JC|2-|B5|：),即向量的数量积可

以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与"差对角线”平方差的:；

4

(3)极化恒等式三角形模型：在“8C中，M为边BC中点、,贝ij；AB-AC=\AM^-^BC^.

说明：(1)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；

(2)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

2.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为A48c所在平面上一点，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,则

(1)。为A48C的外心

6

次H赤闫困而+砺）•万=（砺+反=（5+历）•太=0.

（如图1）

（2）如图2,O为A48C的重心o5+无+反=0.

（3）如图2,。为M8C的垂心o刃.丽=砺.反=反.区.

（4）如图3,。为AJ8C的内心oa方+/）赤+c反=0=sin4^+sin小赤+sinC•历=0.

说明：三角形“四心”---重心，垂心，内心，外心

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.

3.奔驰定理

奔驰定理：设。是&48C内一点，\BOC,MOC,AJ05的面积分别记作S，，Sy,Sc则

说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

①。是ZU8C的重心=S,:Sll:Sc=l:\A=OA+OB+OC=b.

②。是M8C的内心oSA:SB:Sc=a:b:caOA+bOB+cOC^0-

③0是MBC的外心=S.:Sy:Sc=sin2^:sin25:sin2C<^>sin2A-0A+sin2B-OB+sin2C-0C=6.

④。是A/I8C的垂心0S,:SB：Sc=tan/:tan8:tanCotanAOA+tanB-OB+tanCOC=0.

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

1.三余弦定理与三正弦定理

7

三余弦定理（又称最小角定理）：如图①，是平面的一条斜线，8c是平面内的一条直线，0/4平面万

于0,OC，BC于C,则cos//8C=cos/O8C-cos/OB/,即斜线与平面内一条直线夹角7的余弦值等

于斜线与平面所成角«的余弦值乘以射影与平面内直线夹角P的余弦值：cos/=cosa•cos£；

说明：为方便记忆，我们约定/为线线角，a为线面角，耳为射影角，则由三余弦定理可得

线面角是最小的线线角，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直

线所成角中的最小者.

三正弦定理（又称最大角定理）：如图②，设二面角以Z8-S的平面角为a,/Cu平面。，CO上平面

OB1AB,设,贝［|siny=sina-sin/7.

说明：为方便记忆，我们约定a为二面角，尸为线棱角，/为线面角，则由三正弦定理可得

二面角是最大的线面角，即对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的

线面角的最大值等于该二面角的平面角.

2.多面体的外接球和内切球

类型一球的内切问题（等体积法）

例如：如图①，在四棱锥尸-/BCD中，内切球为球。，求球半径方法如下:

^P-ABCD=^O-ABCD+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+‘0-P4B

即：='r+§SpBc.'+]S/>co.'+§SR_|o•/*+5s尸HB,可求出厂.

类型二球的外接问题

1.公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2.补形法（补长方体或正方体）

8

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

3.单面定球心法（定+算）

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥尸中，选中底面A/I8C,确定其外接圆

圆心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2/=」二）；

S11V1

②过外心«做（找）底面Azi8c的垂线，如图中上面N8C,则球心一定在直线（注意不一定在线段

上）上；

③计算求半径及：在直线尸01上任取一点0如图：贝利用公式。可计算出球半

径R.

4.双面定球心法（两次单面定球心）

如图：在三棱锥P-45C中：

①选定底面定A48C外接圆圆心。；②选定面/Q48,定445外接圆圆心仪；

③分别过4做面/8C的垂线，和Q做面P4B的垂线，两垂线交点即为外接球球心。.

1.焦点三角形的面积公式

1.椭圆中焦点三角形面积公式

在椭圆。■+£=1（a>6>0）中，斗，鸟分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，"PFi,△尸片鸟的

面积记为即通，则：①义帅=阴7②5好&\附III也卜in。；③邑呻产/^殴，其中

0=ZF]PF2.

9

在双曲线£-E=l（a>0,6>0）中，耳，居分别为左、右焦点，尸为双曲线上一点，4F\PF,=9,"F、F,

a~h~

的面积记为治两&,贝I：①4/•石产）耳项以产小小②“呻尸:刊油尸FJsinO；@S^=~0.

'2.ztan一

2

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定

理，基本不等式等综合应用.

2.圆锥曲线的切线问题

1.过圆C：（、-。）2+8-6）2=7?2上一点尸（看,%）的切线方程为（％-。）。-。）+仇-6）。-6）=7?2.

22

2.过椭圆0=1上一点P（x0,y0）的切线方程为警+誓=1.

abab

3.己知点A/（%,必）），抛物线C：/=2川3wo）和直线/：yny=p（x+x9）.

（1）当点在抛物线C上时，直线/与抛物线C相切，其中〃为切点，/为切线.

（2）当点M（x。,h）在抛物线C外时，直线/与抛物线C相交，其中两交点与点加的连线分别是抛物线的

切线，即直线/为切点弦所在的直线.

（3）当点/（%,%）在抛物线C内时，直线/与抛物线C相离.

3.圆锥曲线的中点弦问题

1.在椭圆C：£+£=1（稣6>0）中（特别提醒此题结论适用焦点在x轴上椭圆）：

a'b

（1）如图①所示，若直线^=日（火=0）与椭圆C交于4,8两点，过4,8两点作椭圆的切线/,有////',

设其斜率为为，则即%=-与.

a"

（2）如图②所示，若直线、=履（左二0）与椭圆C交于Z,B两点，尸为椭圆上异于4，8的点，若直线为，

尸5的斜率存在,且分别为质,%,,则",=一与.

a

（3）如图③所示，若直线卜=履+力（女工0加工0）与椭圆C交于力，4两点，尸为弦月8的中点，设直线PO的

2

斜率为％则英=_>h.

10

12LI

会；(2)桃2=4；

ci

(3)kk=—.

oCT

3.在抛物线C：/=2px(p>0)中类比1(3)的结论有％=(仇片0).

4：圆锥曲线中的定值问题

1.在椭圆中：已知椭圆I+《=l(a>6>0),定点尸(-%,%)(%为wO)在椭圆上，设“，B是椭圆上的

a~h~

两个动点，直线P4,P8的斜率分别为A",kPB,且满足即“+怎B=0.则直线48的斜率38=孕

。%

2.在双曲线C：、-q=1(。>0力>0)中，定点PG。,％)(XO^HO)在双曲线上，设4,8是双曲线上

ab

的两个动点，直线4，PB的斜率分别为七,，kPK,且满足&,+&B=0.则直线的斜率3产-”

a%

3.在抛物线C：y2=2px[p>0),定点尸(飞,典)(玉为二0)在抛物线上，设力，8是抛物线上的两个动

点，直线P/,PB的斜率分别为3,kPB,且满足％+G=0.则直线”的斜率M尸一上

%

5.圆锥曲线中的定点问题

若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点.

(1)对于椭圆£+£=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点4,B,以N8为直径的圆经过右顶点(。,0),

a2b2

则直线3过定点((/「"?",0).同理，当以45为直径的圆过左顶点(-4,0)时，直线3过定点

a+b

22

(a-h)a

(a2+b2，h

(2)对于双曲线事-彳=1(4>0,6>())上异于右顶点的两动点力，B,以48为直径的圆经过右顶点(。,0),

a"b

11

则直线3过定点(”也々0).同理，对于左顶点则定点为(-"+"2?”,0).

a-ba-b

(3)对于抛物线=2px(p>0)上异于顶点的两动点4,B,若德.砺二0，则弦48所在直线过点

(2〃,0).同理，抛物线/=2勿("0)上异于顶点的两动点4,B,若风.砺=0，则直线48过定点(0,2p).

6.圆锥曲线中的定直线问题

1,已知椭圆《+《=1(">6>0)外一点尸(%,为)，当过点尸的动直线/与椭圆相交于不同的两点48时，

ab

在线段45上取一点。，满足空=理.则点。必在定直线写+浮=1上；

\PB\\QB\a1b2

2.已知椭圆=1(。〉b〉0)外一点P(x。/。),当过点尸的动直线/与椭圆相交于不同的两点"时,

在线段初上取一点。，满足篙翳则点。必在定直线小於上

3.已知抛物线/=2px(p>0),定点尸(%,%)不在抛物线上，过点P的动直线交抛物线于48两点，在直

线N8上取点。，满足些=理.则点。在定直线%F=P(X+X0)上.

\PB\\QB\

7.抛物线的焦点弦长公式

不妨设抛物线方程为y2=2px(0>0),如图1,准线x=-］与X轴相交于点P,过焦点尸［goj的直线/与

抛物线相交于“(%,必),8(々,%)两点，。为原点，a为Z8与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长

公式：\AB\=yJ\+k2入词,|/且=J1++|另沟|=q+七+44串飞:工

8.抛物线中的三类直线与圆相切问题

不妨设抛物线方程为V=2px(,>0),如图1,准线与x轴相交于点尸，过焦点尸(go)的直线/与

抛物线相交于/&,%),8(&，力)两点，。为原点，。为工8与对称轴正向所成的角，力8的中点为C,又

垂足分别为4,与,G，则有如下结论(图2)：

12

图1图2图3

①以48为直径的圆M与准线相切；

②以如"为直径的圆。与N轴相切；

③以8尸为直径的圆D与y轴相切；

④分别以43,4尸,8尸为直径的圆之间的关系：圆C与圆。外切；圆C与圆。既与V轴相切，又与圆M相

内切.

结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，

①以48为直径的圆的圆心在准线上的射影I%与48两点的连线互相垂直，即MtA1M、B；

②以"为直径的圆的圆心在夕轴上的射影£与4,尸两点的连线互相垂直，即G/qC/；

③以BF为直径的圆的圆心在N轴上的射影2与3,尸两点的连线互相垂直，即D、B1D}F；

④以44为直径的圆必过原点，即吊尸工8尸;

⑤M[FJ.4B.

排列组合及二项式定理

1：排列组合中的分组与分配

①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；

②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组.不论是全部均匀分组,

还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：：种顺序不同的分法只能算一种分法；

③对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法；

④平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；

⑤有序分配问题逐分法采用分步法）；

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⑥全员分配问题采用先组后排法；

⑦名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）；

⑧限制条件分配问题采用分类法.

2、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：

（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理

方法求解；

（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）

也可以按照推导二项式定理的方法解决问题.

二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式,

再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.

3.二项式系数和的性质

若(ax+b)"=旬++...+a,,x",则设/(x)=(ox+b)",有:

旬=/(0)；②%+4+%+…+%=/⑴;③/一4+%-%+…+(T)”q=.«T)；

④%+­⑤…+…

【应用场景】

①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋

的值有：一i,o,i等

②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值

系数和常③求值，根据题意，得出指定项的系数和

用“赋值法”

④在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，

然后将绝对值去掉，再进行赋值

函数及其性质

1.条件概率

计算条件概率有两种方法.

P(AB)

（1）定义法：利用定义尸（邳力=

尸⑷

则尸（9）=喘

（2）压缩事件空间法：若〃（⑷表示试验中事件A包含的基本事件的个数,

【应用场景】

（1）注意：利用定义求条件概率时，事件A与事件8有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要

弄清P（45）的求法.

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(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃(4),

再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即

2.常见分布的数学期望和方差

典型分

两点分布：成功概二项分布：

布超几何分布：,N)

X~B(n,p)

率为p

数字特征