2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三二模理科数学理试题（附答案）

青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试

数学(理科)

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后*用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作

管小琴。'..............................'''''

4.采老"题范围：高考范围。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合”={丁|10821<3>3={32>—1},则

A.(-1,8)B.(0.8)C.(-1,6)D.(0.6)

2.已知i是虚数单位，若1=2+i,Z2=l+i，则在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a.b满足|a|=2,=73,\a-2b\=2/7，则a与b所成角为

A."兀B.-yitC.-yD.

6336

4.使成立的一个充分不必要条件是

A.(0,B.V.r6

C.工TG[0,1],aVZ>+zD.三“W[0,1]

5.已知函数/(2)=23(3+6(3>0,㈤<号)的部分图象如图所

示，则图象的一个对称中心是

A.信,0)B.(一号,0)冶[1/；

C.传，。)D.(一岩,0)

6.已知实数函数fCz)=《I='若f(l—a)=f(a—1),则。的值为

[2a"，]<0,

A—B---C—D—--

八.2口244

【高三第二次模拟考试•数学理科第1页(共4页)】233501Z

7.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A,B,C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个

工厂至少去】人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为

A.12B.14C.36D.72

8.已知图1对应的函数为》=/（了），则图2对应的函数是

A.»=/（一|川）B.>=/（—j）C.>=/（|J-|）D.

9.在△ABC和中，若cosA=sinA1,cosB=sin,cosC=sinCI*则

A.△ABC与均是锐角三角形

B.4ABC与均是钝角三角形

C.4ABC是钝角三角形,△AIBIG是锐角三角形

白△ABC是锐角三角形,是钝角三角形

10.已知函数ai+2（aGR）,则下列说法错误的是

A.当aVO时，函数八了）不存在极值点B.当。=1时，函数/1）有三个零点

C.点（0,2）是曲线y=/（了）的对称中心D.若_y=2_r是函数/（才）的一条切线，则a=l

11.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上,AB=3,BC=K，且四棱锥O-ABCD的

体积为4偌，则球。的表面积为

A7aDIior76悟7Tn224"4

A./OKb.HZKC.—e一ij.—e—

12.设居，B分别是双曲线C：4一［=l（a>0,心>0）的左、右焦点，过B作C的一条渐近线

ab

的垂线，垂足为P,若IPFJ=痣|PF?|，则C的离心率为

A275B277cW5D3V7

・5757

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共2（）分。

13.已知函数y=l0gl,（3z—2）+2（a>0且arl）的图象过定点A,若抛物线丁=2久r也过点A,

则抛物线的准线方程为.

14.已知a为锐角，且cos（a+^）=］，则cosa=.

15.关于正方体ABCD-A场GR有如下说法：

①直线AB与BC所成的角为60°;②直线CAi与C|。所成的角为60°；

③直线BC1与平面BB|RD所成的角为45°；④直线BC,与平面ABCD所成的角为45°.

其中正确命题的序号是.

16.设E为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时代=0;当两

条棱平行时,f的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时E为两条棱上两点（不在同一条

棱上）间距离的最小值，则随机变量W的数学期望为.

【高三第二次模拟考试•数学理科第2页（共4页）】233501Z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重

要意义.某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差了（单位:cm）与树干最大直径偏差》

（单位:mm）之间的关系进行分析,随机挑选了8株该品种的树苗,得到它们的偏差数据（偏

差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号12345678

高度偏差了20151332-5-10-18

直径偏差y6.53.53.51.50.5-0.5-2.5—3.5

（1）若才与》之间具有线性相关关系，求>关于才的线性回归方程；

（2）若这种树苗的平均高度为120cm,树干最大直径平均为31.5mm,试由（1）的结论预测高度

为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米.

OO

参考数据：2工以=324,2/=1256.

1=]/=]

n

石

参考公式响归直线方程2十心中斜率和血的最小二乘估计---------1=5—日

f=l

18.（本小题满分12分）

已知数列｛%｝的前〃项和为S,,且a,+S„=1.

（1）求数列｛出」的通项公式；

（2）若数列｛"｝满足仇=12+log2a"，设T"=）|+|仇|+…+也|，求T,,.

19.（本小题满分12分）

如图,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,AD_LCD,四边形CDEF为平行四边形，平面CDEF1.

平面ABCD,BC=2AD，ZFCD=^.

（1）证明：DF〃平面ABE；

（2）若AD=1,CD=DE=2,求二面角E-BD-F的正弦值.

【高三第二次模拟考试•数学理科第3页（共4页）】233501Z

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C。+畜=1（46>0）过点（I阳，直线人尸1+f与C交于两点，且线

段MN的中点为H•（）为坐标原点，直线0H的斜率为一费.

（1）求C的标准方程；

（2）已知直线y=Q+2与C有两个不同的交点A,B,P为2轴上一点.是否存在实数使

得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐

标;若不存在,请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（X）=。丁一，一21nx（a>0）.

（1）若。=以讨论/（工）的单调性；

⑵当4=1,6>1,，（无）="有两个不同的实数根，1，及，证明：/3）+/5）+2，〃>0.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

|攵=5+卷

在直角坐标系彳（方中,直线/的参数方程为12'（/为参数）.以。为极点，①轴的正

|?二悟+会

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cos0.

（D求C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5,痣），直线/与C的交点为A,8,求日扁+日扁的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（才）=|27+2|+|才一1|.

（D解不等式/（?）>7；

（2）若a2+/?2^/（.r）+|a——11（a〉0">0）对任意实数才都成立，求的最大值.

【高三第二次模拟考试•数学理科第4页（共4页）】233501Z

青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试•数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1.BM={X|logs.r<3}={j'10<^-<8},N={x|x>—1}，则Mf]N=（0,8）.故选B.

2.D由题意得，务=l—i,所以z=q•务=（2+1）（1—1）=3一「所以复数:在复平面内对应的点位于第四象

限.故选D.

3.A（a—2Z»）2=28=a2+4/r—4a•b=4+12—4a,b.解得a♦b=-3.从而ccs〈a,b）=一冬，故而

IailP2

<«./>>=-1-K.故选A.

4.BV.rW（0,l],a=〃+广匐《伉故A不符合题意；VH€（0,l],a+H<6,则a<Z>,反之不一定成立，故B符

合题意；由+N,无法得到a,Z>之间的大小关系，故C不符合题意；£6[0,U，a+z《Qa

W&，故D不符合题意.故选R

5.D由题图可知打工）图象的一个对称中心是峰.0）,/（工）的最小正周期7=4降+专）=2次,八工）图

象的对称中心为（妹+*,0）*ez,结合选项可知，当&=-2时,/（工）图象的一个对称中心是

故选D.

6.A当1一。>0,即a-l<0时,/（l-a）=4"",/（a-D=2"T«T>=2.因为/（1一&）=/（。一1）,所以4一"=

2<

2,解得a=+，满足题意.当1一。<0,即，，一1>0时,/（1-。）=2"-"-">=21,/（（（-1）=4«7.因为/（1一&）

=/（a-l），所以220T=4"T，方程无解.故选A.

7.B按A工厂分类，第一类:A工厂仅接收1人有Q0晟=12种分配方法;第二类:A工厂接收2人有CiA?

=2.综上知不同的分配方法有12+2=14种.故选B.

8.A当hVO时,？=/（一|工|）=/（工）,其图象在y轴左侧的部分与题图1相同；当工>0时,y=/（一|川）=

f（-x），其图象在了轴右侧的部分与题图1》轴左侧的图象关于y轴对称.故选A.

9.D因为Aiee,#,所以cosA=sinAi>0,又AC（0,n）,所以AW（0号），同理可知B,C€（0号），故

△ABC是锐角三角形;因为sinAi=cosA=sin（专一A）,AiC<0,x）,AC（0,号），所以4=管一人或

人户无一（合一A）=£"+A；同理可得出=今-8,或6=今+8；©=今一（3,或©=今+仁若4|=3

一A,B尸发一BC=±-C三式同时成立，三式两边分别相加，得Ai+B|+Q=竽一（A+B+C），由内

角和定理得"=竽一心显然不成立,所以三式中仅有两式成立，故△AIiG为钝角三角形.故选D.

10.B对于A,因为/（1r）=3/-a,当a<0时,/（了）=3/一。>0恒成立，所以此时不存在极值点，故A正

确；对于B,因为/（工）=3/—1,令/（1）>0得工>专或工<一§,令/（了）<0得一§<了<§.所以

/（H）在（一§，号）上单调递减，在（-OO,普）华,+s）上单调递增，所以/（£）极大值=/（—g）=2

t高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第1页（共6页”233501Z

+竽＞0,/(了)极小值=/(空)=2一等＞0,所以函数/⑺有且只有一个零点，故B错误;对于C,令

h(jc)=下,一a”、该函数的定义域为R./“一J)=(一了尸一a(.一X)=—jr3+«j-=—〃(.r),则/i(x)是奇函数，

(0,0)是人(了)的对称中心，将八(才)的图象向上移动2个单位得到/(工)的图象,所以点(0,2)是曲线y=

/(h)的对称中心.故C正确；对于D.设切点为(工。，式一"0+2),/'(工。)=34一a,故切线方程为y—

(工；一&工0+2)=(3/一a)(j—q),将(0,0)代入得了()=1,所以3—a=2,解得a=l,故D正确.故选B.

11.A由题可知矩形A8CD所在截面圆的半径即为矩形ABC'D的对角线长度的一半，因为AB=3,BC=悟，

所以矩形ABCD所在截面圆的半径「=5%&=卤，由矩形ABCD的面积S=A8•BC=3而，设O

到平面ABCD的距离为八，所以V(MIIC-D=t=+X3偌力=4e•解得A=4,所以球。的半径R=

々W=所以球O的表面积5=4出?2=76".故选A.

12.C点出",0)到渐近线的距离IPE|==&,则|PB|=R|PF21=yfGb,由余弦定理,

PFj居一PFf—济+45—6*=粗"，可得4cz=9〃=9(/—a?),即e=£=邛^.故

得cos/PFzB=2PF.­B62b-2cca0

选C

13.-1因为函数图象过定点A(l,2),将它代入抛物线方程得力=2,所以其准线方程为i=-1.

14.G':荻因为a为锐角，且cos(a+寺)=4,所以sin(a+-y)=J1—cos?(a+~^j=.所以cosa

=cos[(ad--)—1"]=cos(a+-^)cos-^-+sin(ad--)sin=-X亨十

15.①④对于①,易得四边形BCQAi为平行四边形，则N5CQ就是A1与乱C所成的角•连接，可

以得到△场CR为等边三角形，所以与&C所成的角为60°,故①正确；对于②，因为AiR_L平面

CG口Q,则_LGD,而GD_LDC,所以GD_L平面AUD,所以直线CA与C|D所成的角为900•故

②错误;对于③，连接AiG，设AC=O,连接BO,因为BBiJ,平面人出©出，。。匚平面

A】B1C1D1,则GO±BjB,因为GO±B,D1,B】D,QB,B=B,，所以QO_L平面BB】RD,所以NGBO为直

线BC,与平面B5BD所成的角.设正方体棱长为1,则C.()=亨.13^=72,sinZC,130=孵=+,所以

直线BC,与平面BB,D,D所成的角为30°,故③错误;对于④，因为GUL平面ABCD.所以NGBC为直线

BC,与平面ABCD所成的角，易得NGBC=45°.故④正确.故选①④.

16.3辛S的可能取值为0」,笈.若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条，

所以2(5)=管=布若两条棱平行，则它们的距离为1或乃.而距离为笈的共有6对，则P($=0=

备=吉；当两条棱异面时，两条棱上各取一点，其两点间距离的最小值为1,则P(S=1)=1-P(£=O)一

P(『盾=1-七一==*，所以随机变量#的分布列为

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第2页(共6页)】233501Z

01石

46

P1

111111

所以Eg=OXe+1义七+笈乂吉=铝工

17.解:⑴由题意，三=2。+15+13+3+2+05）+（-1。）+（一18）=3...................................................2分

OL

—6・5+3.5+3.5+1.5+0.5+（—0.5）+（—2.5）+（—3.5）9/八

k-------------------------------------8-------------------------------------F........................................................4分

8____RQ

^xty,—nxy324—8米方乂京1

-------=---------一^=」，...............................................6分

：汕—府21256-8X（-J）

所以JC=£~—■，故线性回归方程为5=:<r+...................................................8分

04444L

（2）由题意，设高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为3,

则直径偏差为3—31.5,而高度偏差为128—120=8,...............................................................................10分

所以（0-31.5=9*8+4.解得3=34,

所以可以预测这株树苗的树干最大直径为34mm....................................................................................12分

18.解：（1）由“+&=1,得«„.1+S”11=1,

两式相减，得an+]—a„+S„+1—S„=0,

2a”11cin,BPa“+12a”•******...........*..................******...........2，分

又因为〃=1时,ai+Si=1,所以ai=3,...................................................................................................3分

因为皿=得，

a“L

所以数列｛%>是首项为4,公比为十的等比数列.

所以a”=aq一=十•（皆）=（得）...................................................5分

⑵由（1）得仇=12+1。&（+）-=12—”，...................................................................................................7分

当”412时.T,,=4+"2H----Vb„=llih±hl=->r+23>i1....................................................................9分

当时，丁“="+"+…十人号—（加3+如+…+〃,）=2（6]+仇+…+仇2）一（〃i+仇+…+〃”）=2X

12（仇十仇2）7“仇+伍）_/—23〃+26411八

-,，2+23，\»<12,

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第3页（共6页）】233501Z

19.⑴证明：取BC的中点G,连接AG,DG,FG,

因为AD〃BC,BC=2AQ,所以AD//CG,AD=CG,

所以四边形AGCD为平行四边形，所以AG//CD9AG=CD,

同理DG//AB....................................................................................................................................2分

因为ABU平面ABE,QGU平面ABE,所以06〃平面ABE,

又EF〃CD,EF=CD,所以AG//EF,AG=EF.

所以四边形AGFE为平行四边形，所以AE〃FG.

因为AEU平面ABE,Fm平面ABE,所以FG〃平面ABE,................................................................4分

又DG,FGU平面DFG,且DGAFG=G，所以平面DFG〃平面A3E,

因为DFU平面DFG,故DF与平面ABE无公共点，所以DF〃平面ABE..........................................6分

（2）解:过D在平面CDEF内作直线/_LCD,由题意得,/_L平面ABCD.因

为ADU平面ABCD.所以Z_LAD.....................................................7分

以D为原点，直线分别为彳轴轴u轴建立如图所示的空间

直角坐标系，则D（0,0,0）,A（1,0,0）,B（2,2,0）,E（0,—1,西），

F（0.1,总），

所以透=（2,2,0）,法=（o,—1,Q）,防=（0」,向）・.....................................8分

[n•DB=0,j2i+2y=0,

设平面D8E的一个法向量〃=*,»*）,则＜_即彳

1〃・DE=09[―3＞+质之=0,

令了=偌，解得/=-Q,N=1,故〃=（一偌,店.1）;............................................................................9分

fm-DB=09/2a+2人=0,

设平面DBF的一个法向量m=（°,仇＜•）,则j__A即｛

Im•DF=0,l〃+V§c=0,

令6=偌，解得a=一悟,c=-l•故/«=（—Q,得，一1）,....................................................................10分

所以COS〈M.〃〉=T-­T="＞「=3、.......................................................................................11分

1〃”•IwlJ7X/77

设二面角E-BD-F的大小为0,所以sin。:/177&7百万平.................12分

20.解:设乂（4，州），、（4，北），则H（互/，叫/），直线OH的斜率厩加=巴手=一卷....1分

X£,4/JcjIJt2乙

因为M,N在椭圆C上，所以E+翳=1.=+希=1,

a-（）-a-tr

两式相减得马+•"卜）+（v+g）=o,即工+（产学））°,............3分

a~tra-b~＜J?I+a、）（彳1~J72）

又4所以4一4=0,即a?=2〃................................................................................4分

力—x2a~2lr

又因为椭圆C过点（1,亨），所以方+去=1*解得a2=4,"=2,

2&

所以椭圆C的标准方程为千十券=1....................................................................................................5分

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第4页（共6页）】233501Z

y=/i+2,

（2）联立一消》整理得（2严+1）/+法r+4=0.

IT+2=1

因为直线与椭圆交于A,B两点，故△＞（）,解得〃〉/.......................................6分

设A（i3，2），3（工1，yi）,贝I乃+力,不工|=1,

设AB中点G（死，y＞）,则io=反/，=源2¥j，y＞=k回+2=［邕_］,故G（页言,2^H）,.....7分

假设存在6和点P（6,0）,使得△2八6是以P为直角顶点的等腰直角三角形,

2

则PG_LAB,故加；・心《=-1,所以一XQ—1,解得加=赤粉，故P（水告.0）......8分

2F+l~m

又因为NAPB=g■，所以M•］游=0,

所以（g—?〃，）3）•（力一加，"）=0,即（抵一〃?）（力一〃?）+y31y4=0，

整理得（/+1）父3工।+（2右一"?）（g+汇1）+〃/+4=0.

所以（工+1）•2^2j-（24—〃7）•演§3+W+4=0,...................................10分

代入m=正崭，整理得公=1，即二=1,所以々=1或々=一1.

即存在6使得aPAB是以P为顶点的等腰直角三角形......................................11分

当仁一1时,P点坐标为（等,0）；当氏=1时,P点坐标为（希•理）.

此时,△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形...........................................12分

21.（1）解：/（1）=/+/一看="2］；工十",

当4=4-41&0,即时恒成立,/Cr）在（0,+8）上单调递增..................2分

当4＞0,即0＜a＜l时，由/（1）＞0得0«口牛^-或工＞1，-J

由小）＜0得匕义亘〈工〈"三，

aa

所以/"）在（0,）和（1+丁/,+8）上单调递增，在（—，"一^卜二单调

递减.....................................................................................4分

⑵证明您一2+1=块有两个不同的根为，处，则工工是方程修一22+1一根=0的两个根，

JCJCJT172

所以‘"+‘=力=-^,Jj+彳2="^~"112>2J工\工?,....................................6分

力JC2472bb

所以0*112〉〃，~~"="~7/2'>//?=1--->1-7T=1J~>0.................................7分

才1①2bNgp-b

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第5页（共6页”233501Z

/(JTI)+)=JTi+生—b()-21n—2—21n箝明，

令£=©2'2>〃，