2023高考数学二轮复习配套练习5数列求和与综合问题

专题限时集训（五）数列求和与综合问题

[4组基础中考查学科功底]

1.等差数列｛d,｝中，。4=9,07=15,则数列｛（一1）”小｝的前20项和等于（）

A.-10B.-20

C.10D.20

D[设等差数列｛雨｝的公差为d,由g=9,。7=15,得G+3d=9,a\+Gd

=15,解得ai=3,d=2,则%=3+2（"-1）=2〃+1,数列｛（一l）"a”｝的前20项

和为一3+5—7+9—11+13-----39+41=2+2+…+2=2X10=20.故选D.]

2.（2021.衡水中学模拟）为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某

校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动.已知第一天募捐到1000元，

第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校

要完成募捐20000元的目标至少需要的天数为（）

A.6B.7

C.8D.9

C[设第〃天募捐到z元，则数列｛4,｝是以1000为首项，500为公差的等

差数列，所以其前〃项和S"=250〃（“+3）.

因为S7=17500,58=22000,所以至少需要8天可完成募捐目标.故选C.]

3.已知数列｛4”｝满足如+1=。”一斯一i（"22,〃GN*）,a\=\,磁=2,S”为数

列｛”,｝的前〃项和，则S2020等于（）

A.3B.2

C.1D.0

=

A[an+\=an—an-\｛n^2,〃WN*）,a\=\,ai=2,/.<23=1,a4~1,<25

=—2,<26=-1,ai=l,08=2,...,故数列｛an｝是周期为6的周期数列，且

每连续6项的和为0,故S2020=336*0+。2017+。2018+。2019+“2020=。1+。2+。3

+。4=3.故选A.]

4.已知Tn为数列的前〃项和，若m>Tw+1013恒成立，则整数m

的最小值为（）

A.1026B.1025

C.1024D.1023

2"+1ii

C[因为2a=1+吩，所以〃="+l—的，

贝，]Tio+1O13=ll-^o+l013=1024一去，

又机>Tio+l013,

所以整数m的最小值为1024.]

5.已知数列｛所｝满足Z+L则£〃_〃]=()

i=2

C.n(n-1)D.土

B[依题意，由m+1—。〃=2〃，〃£N*,可得

当〃22时，42—0=2X1,〃3—。2=2义2,

an—afJ-i=2X(n—l)f各式相加，可得

an-ai=2Xl+2X2+-+2X(n-l)

(n-l)n

=2X[l+2+・・・+(〃-l)]=2X'2

=(〃一1)〃，

则-=7~~~~(n>2,neN*),

an—a\(n-l)n及一1小八

ni111

・\X---=--—+—-—H-----F---

"a-a\ai-a\a?,~a\a~a\

i=2n

1,11,,11

=1f+彳-3-1-----1------7—

1n-1,,

=1一7=丁.故选B.]

6.记数列｛a”｝的前〃项和为S”.已知ai=l,⑸+LS)m=2"(〃GN*),则S2022

)

A.3(2IO11-1)B.-(2,011-l)

C.3(22022—1)D.|(22022-l)

A[根据题意，数列｛m｝中，(S"+i—S")a”=2"(〃GN*),则有a”+is=2",①

进而可得如《"-1=2"7,②

1

①十②可得=2,

Cln-\

当〃=1时，a\-a2=2,又由ai=l,则“2=2,

则当〃为奇数时，即二小启,当n为偶数时，a”=p,

则52022=41+<Z2+a3H----F42022=(。+。3H-----1-42021)+(s+a4H-----F<22022)

lX(l-210"),2X(1—2131),…

=---+—彳三~~2=3(2i1n0i11-1),故选A.]

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数:

1,123,5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这

样的一列数组成的数列｛z｝称为“斐波那契数列"，记S”为数列｛小｝的前〃项和,

则下列结论中正确的选项是（）

①48=21;

②S7=32；

③ai+03+05+…+。2"一1=ain\

小济+。之-|---F«5021

（4；-=O1022.

42021

A.①②B.③④

C.②③④D.①③④

D［由题意斐波那契数列前面8项依次为1,1,2,3,5,8,13,21,

。8=21,57=1+1+2+3+5+8+13=33,①正确，②错误；

ain=ain-1+ain-2—ain-\+a2n-3+«2«-4=…=42"-1+。2"-3-l-----F43+。2="2"-

1+。2"-3H-----FG+OI,③正确：

<22n«2«-l=。2"-1(。2"-1+。2"-2)=。%-1+。2"-1。2”-2

=4%-1+。2"-2(。2"-2+42"-3)=1+4%-2+。2"-2a2"-3

=a%-i+a%-2H---卜。3+。3。2=+"-1++"-2-1-----卜一+/+a?,n=\011时，

p---Fa^02i与<h

付42022=",④正确.

故选D.]

8.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插

入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数

列.将数歹U1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,52…;

第〃（〃GN*）次得到数列1,XI,X2,X3,…，Xk,2;­",记1+xi+%2~l----Fxi

+2,数列｛斯｝的前〃项和为S,则下列结论不成立的是

A.%+1=2"B.dn+12>dn3

33

C.a«=2（«2+3/i）D.S"=a（3""+2〃-3）

C[由题意可知，第1次得到数列1,3,2,此时左=1;

第2次得到数列1,4,3,5,2,此时％=3;

第3次得到数列1,5,4,7,3,8,572,此时k=7;

第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时第=15;

第〃次得到数列1,XI,X2,X3,…，Xk,2,此时第=2"—1;

所以々+1=2",故A项正确；

=3+3

。2=3+3+9

结合A项中列出的数列可得：<,,,=4«„=3+3'+32

43=3+3+9+27

©=3+3+9+27+81

H----F3”(〃GN*).

3(3"-1)

用等比数列求和可得m=3+、’2,

,,3(3n+l-l),3n+2-33"+23

则z+i=3+----□---=3+——=^—+彳

3,故B项正确：

由B项分析可知4"=3+®]_^='|（3"+1）,

3

即如/5（/+3〃），故C项错误.

32(1—3")

3"+r,31一3,33,计2

S"=41+42+。3+…+小=+/〃=2+2n~~4~

y-^=1(3"+l+2n-3),故D项正确.故选C.］

9.数列｛小｝满足;切+去酸+夜曲-!-1-4管"=2〃+1,则数列｛廓｝的通项公式

为

6,n—11111

2'+i［因为］ai+联s+//3-1---------|-5管"=2〃+1,

所以gai+产2+*43-|--------\-^p\an-1=2(71—1)+1,

两式相减得万簿"=2,即&"=2"+1,”22.

1

又-=3

2所以〃i=6,不符合上式.

6,/i=1,

因此an=<1

2个心2.

10.(2021.广东梅州二模)已知数列｛而｝的前〃项和为S”，且满足z+S"=l,

则须+9+…+闻=

a\ai。8-------------------

502[由数列｛小｝的前〃项和S〃满足m+S〃=l知，

当时，Un-1+Sn—1=1,

—

两式相减，可得an~an-1+(5n5n-1)=2an—an-1=0,

即六4心2),

令〃=1,可得+Si=2〃i=1,解得。1=],

所以数列｛〃〃｝表示首项为:，公比为3的等比数列，所以。〃=

1-

所以为+®+'+…+包=(2+2?+…+28)—(1+1+―+1)=^91^一8=

Cl1。2Q3。81Z

29-10=502.

11.如图，九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，

用如表示解下〃(〃W9,〃eN*)个圆环所需移动的最少次数，｛”"｝满足0=1,且

2a,-i—1(〃为偶数),

V则解下5个圆环需最少移动次.

、2a”-1+2("为奇数),

123456789

ooooo0-

16[因为a5=2a4+2=2(2c/3-1)+2=4。3,

所以。5=4。3=4(2。2+2)=8〃2+8=8(2。|—l)+8=16ai=16,所以解下5个

圆环需最少移动的次数为16.]

12.已知数列｛&｝是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数〃，记

集合｛小=的+勾，iWN,的元素个数为0”把匕,｝的各项摆成如

图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为.

C6C7C8

C9CIOCHC12

293[设。,=防+(〃-1)或dWO),则由+勾=2。1+"+_/—2)“，由题意知iWi

<jWn,当i=l,/=2时，，+/—2取最小值1,当，=”-1,/=〃时，，+.)—2取

最大值2〃一3,易知i+/—2可取遍1,2,3,…,2〃-3,即0,=2〃­3(〃23).数

阵中前16行共有1+2+3+…+16=136(个)数，所以第17行由左向右数第10

个数为048=2X148-3=293.]

[6组综合中考查关键能力]

13.(2021.湖北华中师大一附中模拟)已知数列｛小｝的前〃项和为S”S*+i=

4an,〃SN*,且ai=4.

(1)证明：｛小+i—2z｝是等比数列，并求伍“｝的通项公式；

(2)在①为=ci"+i—如；②儿=k)g2华；③包=，"二这三个条件中任选一个补充

nCln+\Cln

在下面横线上，并加以解答.

已知数列｛为｝满足，求｛为｝的前n项和Tn.

［解］(1)当时，因为S〃+i=4斯,所以S〃=4a〃一1,两式相减得,。〃+1=

4cin—4。〃—1.

所以cin+1—=2(。〃-2。〃—1).

当〃=1时，因为S〃+I=4a〃，所以S2=4“I,又。1=4,故。2=12,于是。2

-2,ci1=4,

所以｛小+1—2。〃｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以。〃+1—2。〃=2"+1,两边除以2"+i得，零一聚=1.

又段=2,所以微是以2为首项，1为公差的等差数列.

所以患=〃+1,即4"=(〃+1>2".

(2)若选①：bn=an+i—an,即

加=(〃+2>2"+1—(〃+1>2"=(〃+3>2”.

l23n

因为L)=4X2+5X2+6X2+-+(/?4-3)X2,

所以2〃=4X22+5X23+6X24H---F(H+3)X2W+1.

两式相减得，

-7；,=4X2,+(224-23+-4-2n)-(H+3)X2n+l

4X(2,,_1—1)

=8+—j~Z-(«+3)X2n+1

=-(n+2)X2M+1+4.

所以〃=(〃+2)*2"+|—4.

若选②：Z?„=10g2~,即

〃+1〃+1

bn=10g2一1+10g22"=10g2-^―+tl.

所以Tn=