高中数学苏教版(2022)角函数角与弧度弧度制（44张）

7.1.2弧度制第7章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.结合具体实例了解弧度制的概念.(数学抽象)2.能进行角度与弧度之间的互化.(数学运算)3.理解弧度制下弧长与面积公式.(数学运算)课前篇自主预习情境导入在日常生活中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如:长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用公顷来度量.常用的温度度量也有两种:一种是摄氏度,它的发明者是瑞典的安德斯·摄尔修斯,它的标准是“在1标准大气压下,纯净的冰水混合物的温度为0摄氏度,水的沸点为100摄氏度,其间平均分为100份,每一等份为1摄氏度,记作1℃”;另一种是华氏温度,是德国人华伦海特以水银为测温介质发明的,它的标准是“把纯水的冰点温度定为32℉,把标准大气压下水的沸点温度定为212℉,中间分为180等份,每一等份代表1华氏度,记作1℉”.类似地,角除了使用角度来度量外,还可以用本节要学习的弧度来度量.知识点拨一、度量角的两种制度

角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度角,记作1°弧度制定义用弧度作为角的单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)微思考

在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示

不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.微判断(1)1弧度指的是1度的角.(

)(2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.(

)答案

(1)×

(2)√二、弧度数的计算与互化1.弧度数的计算

微练习

下列换算结果错误的是(

)答案

C解析

-150°化成弧度是-π,故C项错误.

2.弧度与角度的互化

名师点析

1.用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”可以略去不写,只写这个角对应的弧度数即可,如角α=-3.5

rad可写成α=-3.5.而用角度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不可以省略.微思考

对于角度制和弧度制,在具体的应用中,两者可混用吗?如何书写才是规范的?提示

角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z).三、弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则

度量制α为度数α为弧度数扇形的弧长l=|α|r(|α|≤2π)扇形的面积名师点析

在弧度制与角度制下,弧长公式和扇形的面积公式的区别两者相比较,弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式具有更为简单的形式,其记忆和应用更易操作,如果已知角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧度后再计算,这样可避免计算过程或结果出错.微练习

已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于

,面积等于

,周长等于

.

答案

5π

75π

60+5π课堂篇探究学习探究一角度与弧度的互化例1将下列角度数化为弧度数.(1)11°15';(2)252°.要点笔记“180°=π弧度”是进行“弧度数”与“角度数”换算的关键,在此基础变式训练1将下列弧度数化为角度数.例2将下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并判断其是第几象限角.(2)-315°;(3)-1485°.要点笔记本题应先将度化为弧度,然后再化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,最后根据象限角的概念判断其是第几象限角.∵-720°≤γ<0°,∴-720°≤k·360°+108°<0°,k∈Z,∴k=-2或k=-1.∴-720°到0°的范围内与α1终边相同的角是-612°角和-252°角.∵-720°≤γ<0°,∴-720°≤k·360°-60°<0°,k∈Z,∴k=-1或k=0.∴-720°到0°的范围内与α2终边相同的角是-420°角和-60°角.探究二用弧度表示区域角例3用弧度制分别表示终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界).反思感悟1.用弧度表示区域角,实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度之间的换算,注意单位要统一.2.在表示角的集合时,可以先写出[0,2π)内的一个角(或写出(-π,π]内的一个角),再加上2kπ,k∈Z.变式训练3如图,用弧度制将下列落在图示部分的角(阴影部分),用集合表示出来(不包括边界).探究三弧长与扇形面积公式的应用例4已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径r=6,求弧长及扇形面积.变式训练4扇形OAB的面积是4cm2,它的周长是8cm,求扇形的圆心角(正角)及弦AB的长.解

设扇形的半径为r

cm,弧长为l

cm,扇形的圆心角α(α>0),弧长为l=|α|r=αr,|AB|=2×2sin

1=4sin

1(cm).素养形成一题多解:与弧度有关的实际应用问题典例在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)反思感悟

两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法1是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解;而方法2则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.当堂检测A.75° B.125° C.135° D.155°答案

C2.用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(

)答案

D3.时钟的分针在1