从历史数据中学习收益和风险

国内外经典教材名师讲堂博迪《投资学》主讲教师：李红刚第二部分投资组合理论第5章从历史数据中学习收益和风险

5.1本章要点

●掌握一些关于利率的概念，如年百分比利

率、实际利率、有效利率等

●知道如何计算持有期收益率、以及期望收

益率和方差

●理解正态分布以及偏离正态分布的指标

●理解超额收益、风险以及夏普比率

●理解非正态分布的风险度量指标

●了解历史上不同资产收益率的时间序列特征

5.2重难点导学

一、利率（收益率）概念

（1）基本概念

利率是货币的时间价值。是投资收益率的一种表现形式。

货币时间价值的来源：消费延期回报（消费的时间偏好）；生产投资收益；风险补偿；通货膨胀

利率用于资产和债务不同时期的等值计算（如终值和现值计算）（2）名义利率与实际利率

名义利率是货币增长率，实际利率是购买力增长率。

设名义利率为R，实际利率为r，通胀率为i，则有r≈R－i。换句话说，真实利率等于名义利率减去通胀率。

严格上讲，名义利率和真实利率之间有下式成立：

显然可以看出由r≈R－i得出的近似值高估了真实利率1＋i倍。

（3）税收和实际利率

假设给定一个税率t和名义利率R，税后的名义利率则为R（1-t）。税后实际利率近似等于税后名义利率减去通货膨胀率：（4）年百分比利率和有效年利率

年百分比利率（APR＝AnnualPercentageRate）：在金融合约中标示利息支付时一般使用的标示利率。为简单计，短期投资（依照约定，T<1年）利率通常采用APR而不是复利，APR与短期利率关系为。

有效（实质）年利率（EAR=EffectiveAnnualRate）：是真正反映借贷价格的利率。

EAR与APR的关系为或。两者差异源于1年内的计息次数。特别地，当T=1时两者一致。表5-1年百分比利率（APR）与有效年利率（EAR）（5）连续复利收益率

连续复利收益率：当T趋于零的时候，利用以上EAR与APR的关系定义连续复利rcc为：

其中e的取值为2.71828。

为从有效年利率中求rcc，从上式可以得到：。在连续复利利率框架下，对于任意一个时期T，总收益rcc（T）就可以简单等于exp（T×rcc）。而且实际利率r、名义利率R与通货膨胀率i之间关系精确地表述为：

rcc（实际）=rcc（名义）-i。二、利率水平的决定因素

（1）真实利率均衡

真实利率均衡由四个基本因素决定：资金供给、资金需求、政府行为和通货膨胀率。图5-1描绘了市场均衡利率的确定。

图5-1均衡实际利率的决定（2）名义均衡利率

资产的实际收益率等于名义利率减去通胀

率，因此，当通胀率增加时，投资者会对其投资提出更高的名义利率要求，从而保证投资项目所提供的真实利率不变。

假设目前的预期通胀率将为E（i），欧文·费雪（1930）等式为：R=r＋E（i）。这表明名义利率可以被视为无风险资产的必要实际收益率加上通胀的预测值。如果实际利率是稳定的，名义利率的上涨意味着更高的通胀率。（3）预测利率的基本因素

利率水平及其未来价值的预测是投资决策的诸多投入中最为重要的部分。预测利率首先基于以下一些基本因素：

存款人特别是居民的资金供给；

企业由于购置厂房设备及存货而进行项目融资所引发的资金需求；

政府通过联邦储备银行运作产生的资金净供给或净需求。

三、风险和风险溢价

（1）持有期收益率

持有期收益率（HPR）的定义为：

（2）期望收益与标准差

期望收益是所有情形下收益的加权平均

值。假设p(s)为各种情形的概率，r(s)为任一情形的持有期收益率HPR，各种情形的集合以s表示，可以得到期望收益为：

收益的标准差σ用来测度风险，它定义为方差的平方根：（3）超额收益和风险溢价

回报分为两种：一种是投资于指数基金（风险资产）的期望总收益；一种是投资于譬如国库券、货币市场工具或银行存款上（无风险资产）的无风险利率。

任何特定时期风险资产与无风险资产收益之差称为超额收益。风险溢价就是期望的超额收益。（4）夏普比率（风险报酬－风险比率）

金融中经常使用超额收益（风险溢价）与标准差的比率评估投资组合的吸引力。

这种收益波动的衡量方法广泛应用于评价投资管理者的绩效。它在度量分散化投资组合风险－收益的关系时是一种合适的方法，但是其运用在单个资产比如作为大的投资组合中的一部分股票时是不合适的。（5）非正态分布的风险度量

股票投资组合的收益都不是精确的正态分

布，由此导致标准差可能不适合度量风险。在业内还有三种常用方法用来度量风险：在险价值（VaR）、尾部条件期望（CTE）和下偏标准差（LPSD）。

风险价值（VaR=valueatrisk）：是一个分布的分位数，对应一定置信水平（置信度）和一定持有期内，某一金融工具或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。它是专业投资者广泛使用的一种度量方法，此方法关注负极端收益的潜在损失。

尾部条件期望（conditiona1tai1expectation，CTE）：尾部条件期望值改善了风险价值VaR，因为它考虑了分布整个尾部，特别是最坏的情况，更像一个期望值，因此提供了一个全面的潜在损失的描述，包括小概率事件发生的损失。

下偏标准差（lowerpartia1standarddeviation，LPSD）：只考虑低于期望收益值时的标准差，以度量“下偏风险”。许多从业者甚至用下偏标准差代替正常的标准差来计算夏普比率。四、历史收益率数据的时间序列分析

（1）时间序列与情景分析

预测未来的情形可以设定一组相关情形和相应投资结果（收益率），对每种情况设置一个概率值，计算出它们的风险溢价（收益）和标准差（风险）。

与此对应地，资产和投资组合的历史数据只是以时间序列的收益率形式存在，必须从有限的数据中寻找出相应的概率分布。

当使用历史数据时，常常将每种观察到的结果都看作一种“情形”。如果有n个观察事件，公式中的p（s）取可能的概率1／n。（2）期望收益：算术平均值或几何平均值

两者关系：几何平均值显著小于算术平均

值。如果收益服从正态分布，这种差异可以确

切地等于方差的一半，也就是：

几何平均值=算术平均值-σ2／2。（3）方差和标准差

（4）收益率分布的正态性

①正态分布：“好”的性质

图5-2正态分布②偏离正态

■偏度（skew）：度量分布的不对称性或者“偏度”。正态分布的偏度为零。

图5-3正态分布和偏度分布（均值=6％，SD=17％）当分布偏度为正的时候（偏度大于0），标准差高估风险，因为期望中正的极值偏离（这不是投资者关心的内容）会增加波动。相反，当分布偏度为负的时候，标准差将低估风险。

■峰度（kurtosis）：度量厚尾的程度,它关注均值两边极值出现的可能性。一个正态分布的峰度被定义为0，任何峰度大于0时表明其分布相对于正态分布存在厚尾特征。图5-4在正态分布的基础上叠加了一个同

样均值和方差的厚尾分布，尽管对称性仍然存在，但是其标准差会低估极端事件带来的大损失