第一章 静电场

第一章静电场第一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四真空中的电场第一章第二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

本章目录§1-1电荷守恒定律§1-2库仑定律§1-3静电场电场强度§1-4高斯定律§1-5电势§1-6电场强度与电势梯度的关系第三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四§1.1电荷和电荷守恒(1)电荷简介；(2)电荷量子化;(3)电荷守恒定律;(4)电荷相对论不变性;知识点：第四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四一、电荷对电的最早认识：摩擦起电和雷电两种电荷：正电荷和负电荷电性力：同号相斥、异号相吸电荷量：物体带电的多少第五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

宏观带电体的带电量，准连续

夸克模型

e=1.60210-19库仑，为电子电量

元电荷二、电荷量子化电荷量只能取分立的、不连续量值的性质，称为电荷的量子化。

Q=NeN=±1、2、3…第六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四三、电荷守恒定律

实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论经过怎样的物理过程，系统正、负电荷量的代数和总是保持不变。第七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四四、电荷相对论不变性电荷量与其相对运动状态无关称为电荷相对论不变性第八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四9河南城建学院数理系张凤玲§1.2库仑定律(1)扭秤实验及电引力单摆实验简介；(2)库仑定律及其物理内涵和成立条件;(3)电力叠加原理;(4)库仑定律的应用知识点：第九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四10河南城建学院数理系张凤玲一、点电荷（或点带电体）

当一个带电体本身的限度，与问题研究中所涉及的距离相比小得多时，该带电体的形状以及电荷在其上的分布情况均无关紧要，该带电体就可被看作一个带电的点，叫点电荷。第十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四11

库仑定律是电磁学的基本定律之一，描述了真空中两个点电荷之间作用力的规律。它的建立既是实验结论的总结，又是理论研究的升华。二、库仑定律（1785年）

涉及到的主要实验是：“库仑电斥力钮秤实验”和“电引力单摆实验”.第十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四12

1、库仑的电斥力扭秤实验在银质悬丝下端挂一横杆,杆的一端有一小球A,另一端有一个平衡物P.A的旁边还有一个固定的小球B.另A、B带同种电荷，A便因为B的斥力而转开，直至银丝的扭转力矩与A所受的静电力矩平衡为止。银丝的扭角横杆的转角秤头的转角第十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四13

设此时A、B带等量同种电荷,A、B之间的距离为r。若沿相反的方向转动秤头，使银丝的扭角增大，球A便会重新向B靠近。令A、B间的距离分别稳定在r/2；r/4……）.

注意到纽角与纽力矩呈正比,以及两球电荷并无变化,便自然得出如下结论:“两个带同种电荷的小球之间的相互排斥力和它们之间距离的平方成反比”。第十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四142、库仑定律

在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间的距离r平方成反比；作用力的方向沿着他们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。图3第十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

叫真空介电常数实验测定的k值为：电荷为代数量第十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四161）、库仑定律适用范围和精度Coulomb时代;1971年精度：3、关于库仑定律的几点说明原子核尺度——天体物理、空间物理第十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四17满足牛三由于推迟势，不满足牛三静止条件点电荷相对静止，且相对于观察者也静止该条件可以拓宽到静源——动电荷，不能延拓到动源——静电荷？因为作为运动源，有一个推迟效。问题：上述结论是否与牛顿第三定律矛盾？2）、库仑定律的成立条件第十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四18如果真空条件破坏会如何？——不仅只有两个电荷，总作用力比真空时复杂些，但由于力的独立作用原理，点电荷之间的力仍遵循库仑定律。因此可以推广到介质、导体为了除去其他电荷的影响，使两个点电荷只受对方作用。真空条件第十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四19

两静止点电荷之间的电作用力的方向沿连线，且作用力的大小只与距离有关而与连线的空间方位无关，即电力具有径向性和球对称性。这一结论是自由空间各向同性的必然要求。

3）电力具有径向性和球对称性第十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四例2卢瑟福(E．Rutherford，187l—1937)在他的粒子散射实验中发现，粒子具有足够高的能量，使它能达到与金原子核的距离为

的地方．试计算在这个地方时，粒子所受金原子核的斥力的大小．

解：粒子所带电荷量为2e，金原子核所带电荷量为79e，由库仑定律可得此斥力为相当于10Kg的重力，表明，原子尺度下电力相当大第二十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四三、静电力叠加原理第二十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四22dSdVld

连续带电体的电荷电荷线分布电荷元：电荷面分布电荷体分布第二十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四23§1.3静电场电场强度①静电场；②电场强度；③场强叠加原理及其计算知识点：第二十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四24库仑定律给出了两个点电荷相互作用的定量关系。——问题：相互作用是如何传递的？电荷

直接、瞬时电荷

超距作用电荷

电荷

传递需要时间近距作用

两者争论由来已久近代物理证明电场传递相互作用一、电力传递问题---电场§1.3静电场电场强度第二十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四25场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。实物物质

场静电场——相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷生的电场。电场对场中电荷施以电场力作用。电场可以脱离电荷而独立存在，在空间具可叠加性。第二十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四26二、电场强度(electricfieldstrength)电场强度场源电荷试验电荷描述电场的物理量之一，反映力的作用。引入试验电荷

——点电荷（电量足够小，不影响原电场分布;线度足够小。）1.定义：

电场中某点的电场强度，等于单位正电荷放在该处所受的电场力。

单位：牛顿/库仑或伏特/米第二十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四271)由是否能说，与成正比，与成反比？

讨论2)一总电量为Q>0的金属球，在它附近P点产生的场强为。将一正点电荷q>0引入P点，测得q实际受力与q之比为，是大于、小于、还是等于P点的?第二十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四2、点电荷系的电场

q2qnq1

qiPrnr2r1ri

可见，点电荷系在空间任一点所激发的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的场强的矢量和。第二十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四yxA(x,0)+例1

求电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的电场。解：电偶极子轴线的延长线上任一点A(x,0)的电场。+

A点总场强为：+第二十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四因为+第三十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四r电偶极子中垂线上任一点的电场。+第三十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四用矢量形式表示为：若rl结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。第三十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四33五、电荷连续分布带电体电场强度点处电场强度A.电荷成体分布时第三十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四34B.电荷成面分布时C.电荷呈线分布时这几个式子都是矢量积分，具体处理时要化成标量积分第三十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四对于电荷连续分布的带电体，在空间一点P的场强为：电荷体分布：电荷面分布：电荷线分布：第三十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四求解连续分布电荷的电场的一般步骤：依几何体形状和带电特征任取电荷元dq写出电荷元dq的电场表达式dE写出dE在具体坐标系中的分量式，并对这些分量式作积分·将分量结果合成，得到所求点的电场强度第三十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

解：建立直角坐标系

带电将投影到坐标轴上ap1

2dEτdEyθdxr例2求距离均匀带电细棒为a的p点处电场强度。

设棒长为L,带电量q，电荷线密度为l

=q/L

取线元第三十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

积分变量代换

代入积分表达式

同理可算出ap1

2dEτdEyθdxr第三十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四当直线长度无限长均匀带电直线的场强：{极限情况，由第三十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四

例3

求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。(已知半径R，带电量q)xpR第四十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四pxRr解：还上任取段元第四十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四由对称性当dq

位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。.第四十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四由对称性xpRr第四十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四讨论：即在圆环的中心，E=0由当0=x当时即p点远离圆环时，与环上电荷全部集中在环中心处一个点电荷所激发的电场相同。第四十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四45

例4有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为

.

求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.

第四十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四46解rdr第四十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四47讨论背离带电平面的单位法矢量第四十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四48第四十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四六、电场线（电场的图示法）

1）曲线上每一点切线方向为该点电场方向,

2）通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小.规定第四十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四正点电荷+负点电荷+一对等量正点电荷的电场线一对不等量异号点电荷的电场线

可以发现：

1）电场线起始于终止于负

2）无电荷处不相交

2）电场线不闭合

第五十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四七、带电粒子在电场中运动受力加速用于示波器等仪器中的电子管解：电子运动——类平抛水平竖直轨迹第五十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四解：力矩M的作用总是使电偶极子转向电场E的方向.第五十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四§1.4高斯定理④场强与电势间的微分关系.知识点电通量、立体角、源、散度；静电场中高斯定理；静电场中高斯定理应用；第五十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四§1.4高斯定理

一个流速场，若存在喷发流体的“源头”和宣泄聚敛流体的“汇”则称为“有源”；否则，则称为“无源”。1、源2、电场强度通量一.源、电通量电场中通过某一曲面（平面）的电场线条数称通过该曲面（平面）的电通量。

单位：Nm2/C第五十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四S

3.均匀电场中的电通量.4.斜通过平面S的电场强度通量:5.非均匀电场通过曲面S的电场强度通量:θSSθen第五十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四6.面元法向规定:⑴非封闭曲面面法向正向可任意取⑵封闭曲面指外法向。电通量是标量但有正负，当电场线从曲面内向外穿出是正值enθ1θ2en当电场线从曲面外向内穿入是负值注意：第五十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四7.非均匀电场通过封闭曲面S的电场强度通量:注意:通过封闭曲面S的电通量等于净穿出该封闭曲面的电场线总条数。enθ1θ2en第五十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四58高斯

(C.F.Gauss1777--1855）

德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制.二、静电场的高斯定理静电场中第五十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四591、高斯定理的表述

在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以.（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）+-++-s任意封闭曲面（简称高斯面）q1q1iq3iq2iq2第五十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四60+

点电荷位于球面中心2、高斯定理的导出高斯定理库仑定律电场强度叠加原理第六十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四61+

点电荷在任意封闭曲面内其中立体角第六十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四62

点电荷在封闭曲面之外第六十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四63

由多个点电荷产生的电场第i个点电荷对高斯面上电通量的贡献第六十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四64高斯定理1）高斯面为封闭曲面.4）静电场是有源场.2）高斯面上的电场强度是高斯面内、外所有电荷共同产生的.3）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.说明第六十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四65

在点电荷和的静电场中，做如下的三个闭合面求通过各闭合面的电通量.讨论

将从移到点电场强度是否变化？穿过高斯面的有否变化？*第六十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四66三、高斯定理的应用

步骤:对称性分析(分析出空间各点电场强度的方向）；根据对称性，选择合适的高斯面；应用高斯定理计算（计算电场强度的大小）.

综合写出电场强度的矢量表达式.（静电场必须具有一定的对称性才能用高斯定理求解）第六十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四67++++++++++++例1均匀带电球壳的电场强度

一半径为,均匀带电的薄球壳.求球壳内外任意点的电场强度.解:分析可知，电场呈球对称性（2）（1）第六十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四68例2

求均匀带电无限大薄板的场强分布，设电荷密度为σ。解：无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。分析可知，电场呈平面对称性。取一轴垂直带电平面且高为2r的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为σESE第六十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四σESE69由高斯定理得S内包围的电荷为矢量表达式背离带电平面的单位法矢量第六十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四70第七十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四71例3、均匀带电球体半径为，所带总电量为。求内、外的场强。解：电荷分布在整个球体内：++++++++++++++++q高斯面+++++r>R时，球体外电场和电荷均匀分布在

球面上时球面外电场完全相同。r<R时，设电荷体密度为第七十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四++++++++++++++++q高斯面+++++第七十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四或r0RE第七十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四74+++++例4无限长均匀带电直线的电场强度

无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求距直线为处的电场强度.对称性分析 可知，电场强度呈轴对称性性解+

如图作半径为r、高为h的高斯面。由高斯定理可得第七十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四75P27

点的距离分别为r1，和r2，根据库仑定律，它们在P点产生的场强大小分别为设半径为R，厚为dR的球壳是一系列同心球壳中的任意一个，P是空腔内任意一点．第七十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四76§1.5静电场的环路定理电势知识点静电场的环路定理；电势及电势叠加原理、电势差；电势及电势差的计算；第七十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四77

在点电荷的电场中1.静电力做功的特点一、

静电场的环路定理第七十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四78结果:

仅与的始末位置有关，与路径无关.第七十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四79

任意电荷（视为点电荷的组合）的电场中——静电场力做功与路径无关.结论静电场力做功与路径无关.是静电场的一个重要性质第七十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四802.静电场的环路定理12静电场的环流表明：“静电场的保守性”或“叫静电场的有势性（有位性）”。说明了：静电场是无旋场第八十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四81二、电势及电势差

静电场是保守场，静电场力是保守力.静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.令：电荷q0在电场中A某点的电势能1.电势能第八十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四822、电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.WA

在数值上等于把电荷q0从A点移到零势能处静电场力所作的功.注意:1、WA为静电场和点电荷q0共有，单位：J第八十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四832、电势、电势差静电能WA为静电场和电荷q0共有,不足以反映静电场在某场点(如A点)的性质A点电势VA等于单位正实验电荷在A点的静电势能电势零电势参考点第八十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四84

电势零点选择方法：有限带电体,以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.物理意义：把单位正试验电荷从点A移到无穷远时，静电场力所作的功.

第八十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四85电势差

电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.注意物理意义：将单位正电荷从A点移到B点电场力作的功SI：V第八十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四86*推导一个公式

——电场力做的功与电势差之间的关系第八十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四872.电势的叠加原理

点电荷系

电荷连续分布第八十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四88求电势的方法2、若已知在积分路径上的函数表达式，则1、利用点电荷的电势公式和电势叠加原理求电势的方法：第八十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四例2

计算电偶极子电场中任一点的电势。式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离，由图可知yPx+q-ql/2l/2Or+r-r解：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为第八十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四由于r>>l

，所以P点的电势可写为因此第九十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期四++++++++例3

一半径为R

的圆环，均匀带有电荷量q

。计算圆环轴线上任一点P