第三章 频率特性

第三章频率特性第一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四时域分析法的缺点：（1）高阶系统的分析难以进行；（2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。（3）物理意义欠缺。

引言第二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四频率分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：

（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。第三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

第四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四第四章频率特性本章主要内容:

3.I

3.2

3.33.43.5频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性第五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四设系统的传递函数为：已知输入其拉氏变换为则系统输出为

，此项趋向于零）

稳态响应Css(t)

瞬态响应（

（假设系统稳定）

§3-1频率特性基本概念第六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四由于是一个复数向量，因而可表示为第七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差相频特性幅频特性第八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四一、基本概念1、频率响应

在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为css(t)2、频率特性

幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:

相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:

第九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四一、基本概念

幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。

在系统闭环传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。

2、频率特性

第十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四频率特性与传递函数；第十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四二、频率特性的物理意义频率特性与传递函数的关系:G（jω)=G(s)|s=jω频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。(ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。第十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四幅值A()随着频率升高而衰减对于低频信号对于高频信号!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与外界因素无关。=-第十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。三、频率特性与传递函数的关系:

G（jω)=G(s)|s=jω

第十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。第十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四四、频率特性解析表示法系统开环频率特性可用以下解析式表示幅频-相频形式：

指数形式(极坐标)：三角函数形式：

实频-虚频形式：第十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin2t时系统的稳态输出.解首先求出系统的闭环传递函数(s)，令s=j得=2,则(j2)=0.35-45o则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)第十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四例题：某系统传递函数为，当输入为时，试求其稳态输出。

第十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四解：

第十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四习题：P1373-1、3-2第二十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四第四章频率特性本章主要内容:

3.I

3.2

3.33.43.5频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性

第二十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第二十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四对数幅相频率特性(Nichols)对数频率特性(Bode)频率对数分度幅值/相角线性分度幅相频率特性极坐标图(Nyquist)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(ω)—(ω)图3.2.1频率特性图的定义第二十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四1.Nyquist图

Nyquist图是在极坐标系中，以为参变量，为极径，为极角的频率特性图，也称为幅相频率特性图。或者等价地，Nyquist图是在直角坐标系中，以为参变量，为横坐标，为纵坐标的频率特性图。

3.2.1.1幅相频率特性图-Nyquist图

第二十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四3.2.1.1幅相频率特性图-Nyquist图

尼奎斯特图Nyquist[极坐标图]在极坐标复平面上画出值由零变化到无穷大时的G(j)矢量，连接各矢端边成曲线。[实虚频图]不同频率时，实频特性和虚频特性。第二十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Nyquist曲线的绘制1、系统(标准型)简单吗？2、比较复杂2、比较简单则写出G(jw)＝Re+jIm3、分别求出w=0+、+∞时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点5、勾画出w=0+→+∞时G(jw)的大致曲线（当然，越精确越好）注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。第二十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

第二十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

伯德图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性图，横坐标是频率ω，但是以对数分度，纵坐标是20lg|G(jω)|幅频特性的分贝值，表明了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频特性图，横坐标是频率ω，也是以对数分度，纵坐标是相角∠G(jω)，线性分度，表明了相频特性与频率的关系。在横坐标的对数分度中，频率ω每变化十倍，横坐标的间隔距离增加一个单位长度，称为一个十倍频程。3.2.1.1对数频率特性图-Bode图第二十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四3.2.1.1对数频率特性图-Bode图频率比decoct幅值相乘变为相加，简化作图。拓宽图形所能表示的频率范围波德图(Bode)对数幅频+对数相频(dB)第二十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四ω=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；只标注ω的自然对数值。通常用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增益。用(ω)简记对数相频特性。AboutBode图第三十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第三十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四放大环节幅相频率特性第三十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四放大环节对数频率特性K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。幅频曲线升高或降低，相频曲线不变改变K第三十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第三十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四积分环节幅相频率特性第三十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四积分环节对数频率特性第三十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第三十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四纯微分环节幅相频率特性第三十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四纯微分环节对数频率特性第三十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第四十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四惯性环节幅相频率特性第四十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四惯性环节对数频率特性转角频率低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。高频段近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。第四十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四!低通滤波特性第四十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第四十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四一阶微分环节幅相频率特性第四十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四一阶微分环节对数频率特性！高频放大！抑制噪声能力的下降第四十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四惯性环节一阶微分频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。比较：第四十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第四十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四振荡环节幅相频率特性第四十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。同时，当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值和谐振频率由幅频特性的极值方程解出。

第五十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四当ξ较小时，在ω=ωn附近，A(ω)出现峰值，即发生谐振。谐振峰值

Mr对应的频率为谐振频率ωr。!振荡环节出现谐振的条件为

0.707第五十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

其中称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它是振荡环节频率特性曲线与虚轴的交点处的频率。将代入得到谐振峰值为

将代入得到谐振相移φr为第五十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在的范围内，随着ω的增加，缓慢增大；当时，达到最大值；当时，迅速减小，时的频率称为截止频率；频率大于后，输出幅值衰减很快。当阻尼比时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联，即

T1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应大的负实极点，离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。第五十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四振荡环节为一相位滞后环节，最大滞后相角是1800。推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，即，其对应频率特性的起点为。第五十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四振荡环节对数频率特性不考虑低频渐近线为0dB的水平线高频渐近线斜率为-40dB/dec转折频率第五十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四第五十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第五十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四n个积分/微分环节串联第五十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四二阶微分环节幅相频率特性第五十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四二阶微分环节对数频率特性二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称相频特性曲线关于零度线对称第六十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.2

频率特性图频率特性图的定义典型环节的频率特性图

Nyquist/Bode3.2.13.2.2

放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节

第六十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四延滞环节幅相频率特性第六十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四延滞环节对数频率特性第六十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四延滞环节与惯性环节不同近似

比较：第六十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四第三章频率特性本章主要内容:

3.I

3.2

3.33.43.5频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性

第六十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.3系统开环频率特性系统开环Nyquist图系统开环Bode图系统开环Nyquist图及绘制Nyquist图的一般形状增加零极点增加非零极点系统开环Bode图系统开环Bode图的绘制第六十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四系统开环Nyquist图第六十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。求A(0)、(0)；A(∞)、(∞)；补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(ω)、(ω)的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。绘制：第六十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四解：它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为例1：已知系统的开环传递函数为第六十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四当时，当时，当时，

当ω由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零，相角00变至-1800，且均为负相角。频率特性与负虚轴的交点频率为，交点坐标是。其极坐标图如图所示。[G]第七十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四例2：已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Nyquist图。第七十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四例3：已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。Nyquist图与实轴相交时第七十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四例4：已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。第七十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四习题：P1373-3（2）第七十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

若系统的开环传递函数有个积分环节，则称为型系统。型系统的对数幅频特性的低频段近似为对于0型系统，作一条高度为的0db/dec的直线（水平线）；对于Ⅰ型系统,过ω=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-20db/dec的直线；对于Ⅱ型系统，过ω,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-40db/dec的直线。有v个积分环节时：第七十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

0型系统（v=0）只包含惯性环节的0型系统Nyquist图第七十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四I型系统（v=1）只包含惯性环节的I型系统Nyquist图第七十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四II型系统（v=2）只包含惯性环节的II型系统Nyquist图第七十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。第七十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四!(0)增加-90°()增加-90°增加一个积分环节时（v=1）第八十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四!(0)增加-90°()增加-90°增加一个积分环节时（v=1）第八十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四增加惯性环节时!()增加-90°第八十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四!()=-90°增加惯性环节时第八十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四!()=-90°增加惯性环节时第八十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为－(n－m)×90°。第八十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四习题：P1383.6第八十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四Part3.3系统开环频率特性系统开环Nyquist图系统开环Bode图系统开环Nyquist图及绘制Nyquist图的一般形状增加零极点增加非零极点系统开环Bode图系统开环Bode图的绘制第八十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和系统开环Bode图第八十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

1.低频起始段的绘制

低频段特性取决于，直线斜率为－20。为获得低频段，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：A:在小于等于第一个转折频率w1内任选一点w0,计算其值。（若采用此法，强烈推荐取w0＝

w1）La(w0)=20lgK－20lgw0B:取特定频率w0＝1，则

La(w0)=20lgKC:取La(w0)为特殊值0，则

-20

dB/dec120lgKw1系统开环Bode图绘制方法第八十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四(1).0型系统的低频起始段的绘制对类似右图所示的0型系统的Bode图，通过低频段高度H=20lgK（dB）。第九十页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四(2).I型系统的低频起始段的绘制

对右下图I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况：（1）低频段或低频段延长线与横轴相交，则交点处的频率

=K；（2）

低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lgK。第九十一页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四(3).II型系统的低频起始段的绘制

下图所示为II型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种不同情况：(1)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与横轴相交，

则交点处的频率

=K1/2；(2)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lgK第九十二页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四2绘制步骤概括如下:

(1)将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：w1、w2、w3、w4……）；(2)绘制L()的低频段渐近线；(3)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。(4)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。(5)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。

注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！第九十三页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四例已知系统的开环传递函数为G(s)=20(2s+1)/s(s+1)求伯德图

第九十四页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四

Bode图特点最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为－20vdB/dec；注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg，当ω＝1rad/s时，L(ω)=20lgK；如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，-20dB/dec；振荡环节，-40dB/dec；一阶微分环节，+20dB/dec；二阶微分环节，+40dB/dec。第九十五页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四单回路开环系统Bode图的绘制将开环传递函数表示为典型环节的串联；确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；计算20lgK，在ω＝1rad/s处找到纵坐标等于20lgK的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；对惯性环节，-20dB/dec振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，+20dB/dec二阶微分环节，+40dB/dec对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。第九十六页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四第三章频率特性本章主要内容:

3.I

3.2

3.33.4频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数

第九十七页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四因此，对于最小相位系统，可以根据系统的对数幅频特性写出系统的传递函数或者频率特性。Part3.4由伯德图求系统传递函数最小相位系统：在S右半平面上既无极点，又无零点的传递函数称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的。第九十八页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。信号源对象记录仪【Asinwt

由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。1、频率响应实验

第九十九页，共一百零四页，编辑于2023年，星期四2、传递函数确定

（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处