初中数学沪科版九年级下册第24章圆2直线与圆的位置关系（全国一等奖）

中物理沪科版数学九年级下册第24章圆24.4.2切线的判定1、直线和圆的位置关系：知识回顾

OOOrdrrddABA相交相切相离直线与圆的位置关系图形公共点个数直线名称圆心O到直线的距离d与半径r的关系2个1个没有交点割线切点切线公共点名称Pd<rd=rd>r0<lll

2、判定直线与圆的位置关系的方法有____种：①根据直线与圆的公共点的个数来判断.②根据圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.在实际应用中，常采用第②种方法判定.两知识回顾

3、圆的切线具有什么性质？∵直线l

是☉O的切线，且A是切点∴

直线l⊥OA切线的性质定理：

几何语言圆的切线垂直于经过切点的半径．OA连接OA知识回顾圆中有切线时常用辅助线添加方法：规律总结已知圆的切线时，即见切点，连半径，得垂直.常常连接圆心和切点，得到与切线垂直的半径.l4、判定直线与圆相切的方法有哪些？知识回顾①根据直线与圆的公共点的个数来判断：②根据圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

除了这两种方法以外，我们能不能用其它的方法来判定一条直线是圆的切线呢？这节课我们继续探索新的判定直线和圆相切的方法.llrd即

d=r相切

Q探究新知

如图，点P为☉O上任一点，过点P作直线l

与☉O相切，想一想，如何作？能够作几条？OP作法：①连接OP；②过点P作直线l

⊥OP；

则直线l即为所作.思考：1、为什么直线l

即为所作呢？因此，直线l

与☉O只有一个公共点，由作图可知，直线l与☉O有一个公共点P，若取直线l

上除点P之外任意点Q，连接OQ，则OQ>OP(斜线大于垂线)，所以点Q在圆外.故直线

l

为☉O的切线.l探究新知

如图，点P为☉O上任一点，过点P作直线与☉O相切，想一想，如何作？能够作几条？OP2、根据上面的作图过程，想一想，满足什么条件的直线l是☉O的切线？①直线

l

经过半径OP的外端点P；②

直线l

垂直于半径OP．作法：①连接OP；②过点P作直线l

⊥OP；

则直线l

即为所作.思考：1、为什么直线l即为所作呢？则直线l

与⊙O相切由此可以得到：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.l归纳总结经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理：

利用切线的判定定理判定某条直线是圆的切线，必须满足

个条件：知识拓展：①直线经过半径的外端点②直线垂直于这条半径几何语言：∵

OP是☉O的半径，∴

直线l

是☉O

的切线OP二者缺一不可两直线

l

⊥OP于点Pl(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的直线是圆的切线。（）(3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是圆的切线.（）×××

利用切线的判定定理时，要注意直线必需具备

条件，缺一不可。√()直径直径两个①

直线经过半径外端.②直线与这条半径垂直.对应练习1、判断.

因此只要证OA⊥AC即可.2、已知：如图，∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.求证：AC是☉O的切线.分析：对应练习因为直线AC经过半径的一端，∵AB=AC，∠ABC＝45°

∴

∠ACB＝∠ABC＝45°∴

∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°

证明：即OA⊥AC又∵AB是☉O的直径∴

AC是☉O的切线

判定直线与圆相切的方法有哪些？①根据直线与圆的公共点的个数来判断：②根据圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。llrd即

d=r相切

归纳总结切线的判定方法有三种：③切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线必须同时具备两个条件：①

直线经过半径的外端点②直线垂直于这条半径二者缺一不可AlO在证明题中，常采用第③种方法判定.连接OC

∵OA＝OB，CA＝CB

∴AB⊥OC又∵

OC是☉O的半径

∴AB是☉O的切线例1

如图，AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：AB是☉O的切线.证明：如果已知直线经过圆上一点，

则连接这点和圆心，半径，再证所作半径与这条直线垂直即可.简记为：得到辅助方法总结：有交点，连半径，证垂直.

例2

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.

ABDC

过点D作DF⊥AC与点F

∵∠B=90°

∴DB⊥AB又∵

AD平分∠BAC

∴

DF=DB

∴

DF为⊙D的半径

∴

AC与⊙D相切证明：F方法总结：简记为：

如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，作直线的垂线段，再证垂线段长等于半径长.则过圆心无交点，作垂直，证半径.ABDCF证明直线是圆的切线通常有

作辅助线的方法：①如果已知直线经过圆上一点，

则连接这点和圆心，半径，再证所作半径与这条直线垂直即可.简记为：得到辅助有交点，连半径，证垂直.两种归纳总结简记为：②如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，作直线的垂线段，再证垂线段长等于半径长.则过圆心无交点，作垂直，证半径.1、如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M．求证：DM是⊙O的切线．巩固练习有交点，连半径，证垂直.2、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°．求证：DC是⊙O的切线．巩固练习有交点，连半径，证垂直.3、如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，☉O与AB相切于E.求证：AC是☉O

的切线．BOCEAF巩固练习无交点，作垂直，证半径.4、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．巩固练习有交点，连半径，证垂直.5、已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是(只须写出两种不同情况)：①

或②

.(2)如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．(3)如图3，若AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，EF还是⊙O

的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因.FAB⊥EF∠CAE=∠BMM6、【贵港】如，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．23巩固练习E无交点，作垂直，证半径.7、【2018•金华】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．12巩固练习有交点，连半径，证垂直.本节课你有什么收获？归纳总结经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理：

利用切线的判定定理判定某条直线是圆的切线，必须满足

个条件：知识拓展：①直线经过半径的外端点②直线垂直于这条半径几何语言：∵

OP是☉O的半径，∴

直线l

是☉O

的切线OP二