第三节层次分析

第三节层次分析第一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四层次分析法建模一问题的提出例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。

决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。第二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例2旅游例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。第三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。

面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。例4科研课题的选择第四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。第五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。

过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。第六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔第七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立递阶层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型

准则层

方案层目标层第八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2层次结构模型

准则层A

方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。第九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四设某层有个因素，2构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。第十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明显强第个因素比第个因素的影响绝对地强含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。第十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四由上述定义知，成对比较矩阵则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足以下性质ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。第十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四由上表，可得成对比较矩阵旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。第十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四3层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1，打碎分成各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，第十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四即，但在例2的成对比较矩阵中，在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。一致阵的性质：5.的任一列(行)都是对应于特征根的特征向量。第十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且定理：阶互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则这样确定权向量的方法称为特征根法.第十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四由于连续的依赖于，则比大得越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量的不一致程度。定义一致性指标其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。第十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四则可得一致性指标定义随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标RI的数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。

一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。时，认为第十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四4层次总排序及其一致性检验

确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序

从最高层到最低层逐层进行。设：对总目标Z的排序为的层次单排序为第二十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四即层第个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB第二十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。第二十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。第二十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率第二十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四层次分析法建模举例

一、旅游问题

(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。第二十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四（2）构造成对比较矩阵第二十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量第二十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算可知通过一致性检验。第二十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。第二十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四可作为最后的决策依据。故最后的决策应为去桂林。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为第三十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四书例：投资效果评价（1）建立该投资评价问题的递阶结构投资效果好（A）风险程度（B1）资金利润率（B2）转产难易程度（B3）产品1（C1）产品2（C2）产品3（C3）（目的层）（准则层）（方案层）第三十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四（2）建立各阶段的判断矩阵A，并进行一致性检验判断矩阵标度定义

标度含义1两个要素相比，具有同样重要性3两个要素相比，前者比后者稍微重要5两个要素相比，前者比后者明显重要7两个要素相比，前者比后者强烈重要9两个要素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8上述相邻判断的中间值倒数两个要素相比，后者比前者的重要性标度第三十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四第三十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四34判断矩阵及其分析处理举例AB1B2B3WiWioB111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122(3.804)[注]Wi的求取采用方根法（几何平均值法）

B1C1C2C3WiWioC111/31/50.4060.105C2311/31.0000.258C35312.4660.637第三十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四35B2C1C2C3WiWioC11272.4100.592C21/2151.3570.333C31/71/510.3060.075B3C1C2C3WiWioC111/31/70.7540.149C2311/90.3330.066C37913.9790.785第三十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四（4）求各方案的总重要度第三十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty第三十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用1~9尺度构造成对比较矩阵。4.计算总排序权向量并做一致性检验求最大特征对应的归一化特征向量，做一致性比率检验。利用层次单排序，计算层次总排序，并做一致性检验。第三十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四1系统性

层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。层次分析法的优点和局限性（注意的问题）第三十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四3简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第四十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。一般，每一层次中各要素所支配的要素一般不要超过9个，否则会给两两比较带来困难。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。第四有时一个复杂问题的分析仅仅用递阶层次结构难以表达，需引进循环或反馈等更复杂的形式。有专门的研究第四十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四构造两两比较判断矩阵1-9之间的整数或其倒数的正互反矩阵。两两判断次数n（n-1）/2一致性检验方法第四十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四正互反阵最大特征值和特征向量实用算法

成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。

用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时。第四十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四定理（特征根法）对于正矩阵A

（A的所有元素为正）1）A的最大特征根为正单根；2）对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3）其中是对应的归一化特征向量。第四十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四和法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)对c)归一化按行求和得d)计算第四十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对按行求积并开n次方，即以上方法中，和法最为简便。看下列例子。e)计算，最大特征值的近似值。第四十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四列向量归一化求和归一化精确计算，得第四十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四

某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。2合理分配资金问题

第四十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四合理分配资金问题层次结构模型合理利用企业利润Z调动职工的积极性C1提高企业的技术水平C2改善职工的生活条件C3

发奖金P1

扩建福利事业P2

引进新设备P3

第四十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四2求解Z-C矩阵ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OKW采用求和法计算第五十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四C-P矩阵C1P1P2

WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}第五十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四C3P1P2

WP1P2121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}第五十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期四Z-P矩阵ZPC1C2C30.1050.6370.258总排序权值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2第五十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期四六递阶层次结构与更复杂的层次结构以上层次结构模型有两个共同特点：模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之间不存在相互影响或支配作用，或者这种影响作用可以忽略。层次之间存在自上而下、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层次间的循环作用。递阶层次结构第五十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期四更复杂的层次结构层次内部因素之间存在相互影响。下层对上层有支配作用，形成循环，无法区分上下层。既在层次内部因素之间存在相互影响，，又在层次间存在反馈作用。要用层次分析法解决这样的问题，还需引入新概念，并建立相应的算法。思考第五十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期四七练习某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。第五十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期四目标层选一领导干部

准则层

方案层健康状况业务知识口才写作能力工作作风政策水平⑴建立层次结构模型第五十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期四健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值相应的特征向量为：⑵构造成对比较矩阵及层次单排序一致性指标随机一致性指标RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通过一致性检验第五十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期四假设3人关于6个标准的判断矩阵为：健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风第五十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期四由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风3.023.023.053.053.003.02各属性的最大特征值均通过一致性检验第六十页，共七十五页，编辑于2023年，星期四从而有即在3人中应选择A担任领导职务。⑶层次总排序及一致性检验第六十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期四择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，也可直接选择考研，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。用层次分析法，选择适合自己的理想工作。课