甘肃省庆阳市第二中学2024年高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

甘肃省庆阳市第二中学2024年高二数学第一学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.2．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.3．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定4．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（）A.1 B.C. D.5．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（）A. B.2C.3 D.6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形7．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A.在轴上 B.在轴上C.当时在轴上 D.当时在轴上8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.54 B.45C.27 D.819．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C.1 D.210．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.12．函数的最大值为（）A.32 B.27C.16 D.40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______14．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.15．若函数解析式，则使得成立的的取值范围是___________.16．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）直线：和：（1）若两直线垂直，求m的值；（2）若两直线平行，求平行线间的距离18．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）请写出y与x的函数关系式；（2）求排放污水150吨的污水处理费用.19．（12分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值20．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程21．（12分）已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.22．（10分）已知函数.（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性即可解不等式【题目详解】由则函数在上单调递增又，所以，解得故选：A2、A【解题分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【题目详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，，即，故选A【题目点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来3、A【解题分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【题目详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A4、C【解题分析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.【题目详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，，，由抛物线的定义可知：，，，所以，直线斜率为：.故选：C.5、D【解题分析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.【题目详解】若n=1，则，故；若，则由得，故，所以，，又因为对恒成立，当时，则恒成立，当时，，所以，，，若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对恒成立，必须满足.故选：D6、B【解题分析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【题目详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.7、B【解题分析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置【题目详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选B.【题目点拨】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力8、B【解题分析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，所以该几何体的体积为故选B点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.9、D【解题分析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.10、C【解题分析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.【题目详解】设，，,依题意得,即,两边平方化简得,所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，当位于圆的最高点时的面积最大，所以,解得；当位于圆的最左端时的面积最小，所以,解得,故双曲线的离心率为.故选:C.11、A【解题分析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【题目详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A12、A【解题分析】利用导数即可求解.【题目详解】因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增；在上单调递增,，因此，的最大值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①..②..【解题分析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.【题目详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）由题意可知，，，因为，，所以，故设平面的法向量为，则，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为：；.14、【解题分析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围【题目详解】因为，代入解析式可得分离参数a可得令（）则，令解得所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范围为【题目点拨】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题15、【解题分析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【题目详解】，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增.为偶函数，在上单调递减.要使成立，即.故答案为：.16、【解题分析】根据题意，列方程计算即可【题目详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直线一般方程的平行公式，求得，再由平行线的距离公式，即得解.【小问1详解】∵两直线垂直，∴，解得【小问2详解】∵两直线平行，∴，解得或1，经过验证时两条直线重合，舍去．∴可得：直线：，：∴两直线间的距离18、（1）；（2）1400（元）.【解题分析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.【小问1详解】根据题意，得：当时，；当时，；当时，.即.【小问2详解】因为，故，故该厂应缴纳污水处理费1400元.19、（1）1（2）【解题分析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【小问1详解】将代入抛物线，解得：.【小问2详解】，在抛物线C上，故，，解得：或2，因为，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.20、（1）；（2）.【解题分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【题目详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【题目点拨】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.21、（1）抛物线的方程为，焦点坐标为（2）存在，且【解题分析】（1）根据点坐标求得，进而求得抛物线的方程和焦点的坐标.（2）设，根据列方程，化简求得的坐标.【小问1详解】将代入得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.【小问2详解】存在，理由如下：直线的方程为，或，即.抛物线的准线，设，，即，所以.即存在点使.22、（1）证明见解析；（2）.