2024届江西省宜春三中高二上数学期末经典试题含解析

2024届江西省宜春三中高二上数学期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A.的极值点一定是最值点B.的最值点一定是极值点C.在区间上可能没有极值点D.在区间上可能没有最值点2．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.3．若不等式在上有解，则的最小值是（）A.0 B.-2C. D.4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.5．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.7．设m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列说法错误的是（）A.若，，则； B.若，，则；C.若，，则； D.若，，则8．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A.或 B.或C. D.9．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. B.C. D.11．设变量，满足约束条件则的最小值为（）A.3 B.－3C.2 D.－212．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（）A.12种 B.24种C.36种 D.48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________14．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____15．已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为，点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为______.16．设等差数列的前项和为，且，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点（1）证明：直线DM∥平面PBC；（2）求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求点P到平面DBN距离；（5）设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长18．（12分）已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和19．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求a的值；（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？20．（12分）已知椭圆C：的长轴长为，P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为PA的中点，且直线PA与直线OQ的斜率之积恒为-2.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且过上焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当点M，N到y轴距离之和最大时，求直线l的方程.21．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数f(x)＝ax－2lnx（1）讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断【题目详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确故选：C.【题目点拨】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题2、D【解题分析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【题目详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【题目点拨】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题3、D【解题分析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.【题目详解】不等式在上有解,即为在上有解,设,则在上单调递减,所以,所以,即,故选:D.【题目点拨】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.4、C【解题分析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【题目详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.5、A【解题分析】由，当三点共线时，取得最值【题目详解】设是椭圆的右焦点，则又因为，，所以，则故选：A6、B【解题分析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【题目详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.7、C【解题分析】直接由直线平面的定理得到选项正确；对于选项，m，n可能平行、相交或异面，所以该选项错误；对于选项，与内一直线l，所以，因为l为内一直线，所以．所以该选项正确.【题目详解】对于选项，若，，则，所以该选项正确；对于选项，若，，则，所以该选项正确；对于选项，若，，则m，n可能平行、相交或异面，所以该选项错误；对于选项，若，，则与内一直线l，所以，因为l为内一直线，所以．所以该选项正确.故选：C【题目点拨】本题主要考查空间直线平面位置关系判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、A【解题分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【题目详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.II卷9、A【解题分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【题目详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A10、A【解题分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【题目详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为，故选：A.11、D【解题分析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解【题目详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，此时，故选：D12、C【解题分析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【题目详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、132【解题分析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论【题目详解】程序运行时，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，；判断循环条件，满足，，；判断循环条件，不满足，输出故答案为：13214、4【解题分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【题目详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故答案为：4.15、##【解题分析】利用定义将所求距离之和的最小值问题，转化为的最小值问题.【题目详解】焦点F坐标为，抛物线准线为,如图，作垂直于准线于A，交y轴于B，.故答案为：16、【解题分析】根据，利用等差数列前项和公式，列方程求出，再由，能求出【题目详解】等差数列的前项和为，且，，，解得，，，解得，故答案为：10三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）（3）（4）（5）【解题分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证明与平面的法向量垂直，从而证明直线平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直线和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐标，再求出平面的法向量，利用向量法，求出点到平面的距离；（5）设点在平面内的射影为点，从而表示出的坐标，求出到平面的距离，列出方程组，求出点坐标，从而求出的长度.【小问1详解】四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，所以，，取，则，所以，平面，所以直线平面.【小问2详解】，，，设平面的法向量，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为，则，即，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为.【小问4详解】，平面的法向量，所以点到平面的距离为.【小问5详解】设点在平面的射影为点，则，所以点到平面的距离为，根据，得解得，，，或者，，（舍）所以.18、（1）（2）【解题分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，故当时，，两式相减得，又由题设可得，从而的通项公式为：；【小问2详解】因为，，两式相减得：所以.19、（1）（2）不需要【解题分析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算平均值得到得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】.故不需要进行调整.20、（1）（2）【解题分析】（1）设点，求出直线、直线的斜率相乘可得，结合可得答案；（2）设直线l的方程为与椭圆方程联立，代入得，设，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得，，即，则，设点，∵Q为的中点，∴，∴直线斜率，直线的斜率，∴，又∵，∴，则，解得，∴椭圆C的方程为.【小问2详解】由（1）知，设直线l的方程为，联立化简得，，设，则，易知M，N到y轴的距离之和为，，设，∴，当且仅当即时等号成立，所以当时取得最大值，此时直线l的方程为.21、（1）当时，上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）【解题分析】（1）先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】易知函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，成立，所以符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，要使恒成立，则，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，要使恒成立，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.22、（1）答案见解析；（2