2024学年河南省普通高中高二上数学期末综合测试试题含解析

2024学年河南省普通高中高二上数学期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，则（）A. B.C. D.2．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.4．若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）A. B.C. D.5．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）A.72号 B.150号C.256号 D.300号6．已知数列的前n项和为，，，则（）A. B.C. D.7．等差数列中，，则前项的和（）A. B.C. D.8．数列中，满足，，设，则（）A. B.C. D.9．下列说法中正确的是A.命题“若，则”的逆命题为真命题B.若为假命题，则均为假命题C.若为假命题，则为真命题D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.10．已知直线、的方向向量分别为、，若，则等于（）A.1 B.2C.0 D.311．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（）A. B.C. D.12．复数的虚部为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则__________.14．已知为抛物线上的动点，，，则的最小值为________.15．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）16．若满足约束条件，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点，椭圆C的长半轴长等于圆O的直径（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，A为椭圆C的右顶点，点B在线段FA上，直线BD，BE与椭圆C的一个交点分别是D，E，直线BD与直线BE的倾斜角互补，直线BD与圆O相切，设直线BD的斜率为．当时，求k18．（12分）已知是函数的一个极值点.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性：（2）若对恒成立，求的取值范围20．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.（1）求圆C的标准方程；（2）过斜率为的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.21．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和22．（10分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.【题目详解】.故选：D.2、B【解题分析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.【题目详解】，，所以“”是“”的充要条件.故选：B3、D【解题分析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【题目详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D4、C【解题分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【题目详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C5、B【解题分析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.【题目详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本∴，即每隔16人抽取一人∵54号被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B故选：B6、D【解题分析】根据给定递推公式求出即可计算作答.【题目详解】因数列的前n项和为，，，则，，，所以.故选：D7、D【解题分析】利用等差数列下标和性质可求得，根据等差数列求和公式可求得结果.【题目详解】数列为等差数列，，解得：；.故选：D.8、C【解题分析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值【题目详解】因为，，所以，，，因此故选C【题目点拨】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力9、D【解题分析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性【题目详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；因为也成立.所以A不正确；对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；对于D，“平面向量满足”，则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；由知：，一定有，，所以共线，D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题10、C【解题分析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【题目详解】若，则，所以，所以，解得.故选：C11、D【解题分析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.【题目详解】由等比数列是递增数列，若，则，得；若，则，得；所以等比数列是递增数列，或，；故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.故选：D.12、D【解题分析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案【题目详解】解：，所以复数的虚部为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.【题目详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：在双曲线中，，，则，即点、，因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，因为，故、、三点共线，所以，，故，由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，联立，可得，所以，，可得，由韦达定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案为：.14、6【解题分析】根据抛物线的定义把的长转化为到准线的距离为，进而数形结合求出最小值.【题目详解】易知为抛物线的焦点，设到准线的距离为，则，而的最小值为到准线的距离，故的最小值为.故答案为：615、48【解题分析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解【题目详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有种，故答案为：4816、5【解题分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解【题目详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，直线中是直线的纵截距，代入得，即平移直线，当直线过点时取得最小值5故答案为：5三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）-1【解题分析】（1）由题设可得，求出参数b，即可写出椭圆C的方程；（2）延长线段DB交椭圆C于点，根据对称性设B，为，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得，直线与圆相切可得，进而求参数t，即可求直线BD的斜率.【小问1详解】因为圆与x轴的交点分别为，，所以椭圆C的焦点分别为，，∴，根据条件得，∴，故椭圆C的方程为【小问2详解】延长线段DB交椭圆C于点，因直线BD与直线BE的倾斜角互补，根据对称性得由条件可设B的坐标为，设D，的纵坐标分别为，，直线的方程为，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直线与圆相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直线BD斜率【题目点拨】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D，的纵坐标的数量关系，设直线的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可.18、（1）3（2），【解题分析】（1）先求出函数的导数，根据极值点可得导数的零点，从而可求实数的值；（2）由（1）可得函数的单调性，从而可求最值.【小问1详解】，是的一个极值点,.，，此时，令，解剧或，令，解得，故为的极值点，故.【小问2详解】由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，故在上为增函数，在上为减函数，.又19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解题分析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，当时，令，得，令，得；当时，令，得，令，得综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，则，所以对恒成立等价于对恒成立设函数，则，设，则，则在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以；故，即的取值范围是20、（1）（2）【解题分析】（1）由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.（2）由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.【小问1详解】由题意设圆C的标准方程为设的中点为，则,由圆的性质可得则,又，所以则直线的方程为，即则圆C的圆心在直线上，即，故所以圆心,半径所以圆C的标准方程为【小问2详解】过斜率为的直线方程为：圆心到该直线的距离为所以21、（1）（2）【解题分析】（1）设数列的公差为，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂项相消法求解.【小问1详解】解：，，设数列的公差为，则，，，由题知，整理得，解得，（舍去），，则.【小问2详解】，则=.22、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解题分析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型