2024届安徽省亳州市黉学高级中学高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2024届安徽省亳州市黉学高级中学高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.8 B.9C.27 D.362．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）A.1 B.C. D.23．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1295．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.6．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.257．已知集合，，则（）A. B.C. D.8．已知椭圆的离心率为，则（）A. B.C. D.9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里10．已知双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.11．设双曲线C：的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.2C. D.12．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______14．设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________15．已知正项数列的前n项和为，且，则__________，满足不等式的最大整数为__________16．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值20．（12分）已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.21．（12分）已知等差数列满足，（1）求数列的通项公式及前10项和；（2）等比数列满足，，求和：22．（10分）“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及横梁的长；（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】执行程序框图，第一次循环，，满足；第二次循环，，满足；第三次循环，，不满足，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2、B【解题分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【题目详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，故选：B.3、A【解题分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【题目详解】因为“直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A4、C【解题分析】由题设可得，再由即可求值.【题目详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.5、C【解题分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【题目详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C6、A【解题分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【题目详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A7、B【解题分析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.【题目详解】∵，，∴故选：B8、D【解题分析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.【题目详解】因为，则，所以.故选：D9、B【解题分析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可【题目详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.【题目点拨】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.10、B【解题分析】根据双曲线的离心率，求出即可得到结论【题目详解】∵双曲线的离心率是，∴，即1+，即1，则，即双曲线的渐近线方程为，故选：B11、A【解题分析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【题目详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.12、D【解题分析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【题目详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【题目详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，当时，恒成立，则，当时，必有，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：14、4【解题分析】根据分别是平面的法向量，且，则有求解.【题目详解】因为分别是平面的法向量，且所以所以解得故答案为：4【题目点拨】本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15、①.##②.【解题分析】由得到，即可得到数列是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出，再根据求出，令，利用裂项相消法求出，即可求出的取值范围，从而得解；【题目详解】解：由，令，得，，解得；当时，，即因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，即所以，令，所以，所以，则最大整数为；故答案为：；；16、【解题分析】求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.【题目详解】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，点M为三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱锥体积的最大值故答案为：【题目点拨】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【题目详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，，又，，则平面，平面，所以，；（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；以点坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，，，，，，则，，设平面的一个法向量，由得令，则，，即；平面的一个法向量为；.所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.18、（1）24（种）（2）21（种）【解题分析】（1）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元，再确定人与乘坐站数，即可得结果；（2）先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元，再求甲比乙先下地铁的方案数.【小问1详解】由已知可得：甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元，又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，所以甲、乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）.【小问2详解】甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.【小问1详解】椭圆的离心率，又，∴∵椭圆C：经过点，解得，∴椭圆C的方程为；【小问2详解】∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为设点，由消去y，得∵点在椭圆C上，则有，即同理可得∴，又∴直线MN的斜率为【题目点拨】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.20、（1）（2）【解题分析】（1）由离心率可得双曲线的渐近线方程；（2）设，则的中点为，由，可得，然后的方程与双曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得答案.【小问1详解】设，则，又，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.【小问2详解】由已知直线的倾斜角不是直角，，设，则的中点为，，由，可知，所以，即，因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，由消去y，得，所以，，所以，因为，所以，即.21、（1），175（2）【解题分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出公差，然后结合通项公式及求和公式即可求解；（2）结合等比数列的性质先求出，然后结合等比数列性质及求和公式可求【小问1详解】解：等差数列满足，，所以，，；【小问2详解】解：因为等比数列满足，，所以或（舍去），由等比数列的性质可知，是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，所以22、（1），（2），【解题