湖南省永州市道县第二中学高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省永州市道县第二中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于，两点，则(＋)·＝ 16

32 参考答案：由解得，即，过点的直线与函数的图像交于，两点，根据对称性可知，是的中点，如图，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2＝2×42＝32，故选.2.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．3.已知函数，则满足不等式的的取值范围

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B解析：已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为两条直线所成的角，∴θ=，选B.5.已知函数，（其中，）的部分图象，如图所示，那么的解析式为（

）．A． B． C．

D．参考答案：A周期，∴，，∵，，∴．故选．6.已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[，]单调递减C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象参考答案：D【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，∴f（x）的最小正周期为T==π，∴A错误；x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递增函数，∴B错误；当x=﹣时，f（x）=sin（﹣+）+=sin（﹣）+，∴x=﹣不是f（x）的对称轴，C错误；将f（x）的图象向右平移，得y=sin2[（x﹣）+]+的图象，再向下平移个单位长度得y=sin2x的图象，它是奇函数，D正确．故选：D．7.若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知向量是两个非零向量，且则与的夹角为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B9.在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A．6

B.12

C.18

D.24参考答案：答案：B解析：在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.10.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为2，则a=．参考答案：1【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．12.已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：13.

已知，则

。参考答案：2414.函数，，，若存在实数，使得成立，则a的取值范围是______．参考答案：【分析】由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．【详解】函数，，，若存在实数，使得成立，可得成立，可令，，由，时，，递增；时，，递减，可得处取得极小值，且为最小值，可得，解得，故a的范围是．【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．导数问题经常会遇见有解的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；15.若函数对定义域的每一个值,在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题：①是“依赖函数”；②是“依赖函数”;③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”.⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f(x).g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是

.参考答案：①④.略16.计算=．参考答案：2【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．17.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是

．参考答案：27【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，M，N分别为BC，AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC（II）求证：平面PBC⊥平面PAM（III）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用M，N分别为BC，AB中点，得MN∥AC，即可证明：MN∥平面PAC（II）证明BC⊥平面PAM，即可证明：平面PBC⊥平面PAM（III）过点M作ME⊥AC，交AC于点E，可得ME⊥平面PAC．【解答】（I）证明：因为M，N分别为BC，AB中点，所以MN∥AC．因为MN?平面PAC，AC?平面PAC，所以MN∥平面PAC．…（II）证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB=AC=2，M为BC的中点，所以AM⊥BC．因为AM∩PA=A，所以BC⊥平面PAM．因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM．…（III）解：存在．过点M作ME⊥AC，交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥ME．因为ME⊥AC，AC∩PA=A，所以ME⊥平面PAC．因为在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，M为BC的中点，所以ME=．…19.设关于的方程有两个实根，函数.（Ⅰ）求证：不论m取何值，总有；（Ⅱ）判断在区间的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若均为正实数，证明：.参考答案：解:(Ⅰ)∵是方程的两个根，

∴，∴，∴………（4分）

（Ⅱ）∵，当时，，∴在上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）

（Ⅲ）∵，同理可证：

∴由（Ⅱ）可知：，，

∴，

……………（12分）由（Ⅰ）可知，，，，∴，∴．……（14分）

略20.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.参考答案：（I）；（II）公共弦长为（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2，建立等量关系，解之即可．解：（I）由得，∴曲线的普通方程为---------------------2分∵，∴，∵，，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为-------------------5分（II）∵圆的圆心为，圆的圆心为，∴，∴两圆相交------------------8分设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段,∴，∴，所以公共弦长为--------------10分21.如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC上一点，Q为AO上一点，且．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD；（Ⅲ）求四面体ABCD的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：PQ∥CO，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）证明BD⊥PO，OP⊥OA，即可证明：PO⊥平面ABD；（Ⅲ）求出P﹣ABD的体积，即可求四面体ABCD的体积．解答： （Ⅰ）证明：∵，∴PQ∥CO又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD，∴PQ∥平面BCD…（Ⅱ）证明：由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC．又∵PO?平面AOC，∴BD⊥PO在△AOC中，∠AOC=120°，，∴∠OAC=30°，…∴AP=2在△AOP中，由余弦定理得：OP=1…∴OP⊥OA…又OA∩BD=O，∴PO⊥平面ABD…（Ⅲ）解：∵PO⊥平面ABD，∵∴…点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查体积的计算，正确运用线面平行、线面垂直的判定定理是关键．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．【解答】