直线的方程的讲解

直线的方程一、知识要点(一直线方程的种形式：名称方程适用范围斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用二、考试要求：掌握已知一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式;能灵活运用条件求出直线的方程.三、基础自测：1.下列四个命题中真命题的序号是.①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示②经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示③不经过原点的直线都可以用方程表示④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示答案②2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为.答案x+y-5=03.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为.答案2x+y=04.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为.答案x+2y-2=0或2x+y+2=05．已知三点A（3，1）B（－2，K）C（8，11）共线，则K的取值是（）A、－6B、－7C、－8D、－96．已知A（－2，3）B（3，0），直线L过O（0，0）且与线段AB相交，则直线L的斜率的取值范围是（）A、－≤K≤0B、K≤－或K≥0C、K≤0或K≥D、0≤K≤7．a为非零实数，直线（a＋2）x＋(1－a)y－3＝0恒过点。8．过点M（1，2）的直线L将圆（x－2）2+y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，L的方程为____。9．与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线方程为____。四、典例分析：例1求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.（3）经过点P（3，2），且夹在两坐标间的线段被P分成1：2。解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a≠0，则设l的方程为，∵l过点（3，2），∴，∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直线l的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan=3,∴tan2==-.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.练习：若直线满足如下条件，分别求出其方程（1）斜率为，且与两坐标轴围成的三角形面积为6；（2）经过两点A（1，0）、B（m，1）。知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.∴，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.练习：在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。例5(05广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．OO(A)BCDXY小结:1、直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系，由斜率公式可导出直线方程的五种形式。这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定。2、待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程时，应该注意所设方程的适用范围。智能迁移：1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan==,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为（a＞0,b＞0）,∴A(a,0),B(0,b),∴解得∴所求的直线方程为=1,即2x+3y-12=0.方法二设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.∴(2-3k)=24.解得k=-.∴所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解(1)l2即为2x-y-=0,∴l1与l2的距离d=,∴=,∴=,∵a＞0,∴a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式=×，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.联立方程，解得(舍去).由解得∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由得∴反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-=.而PP′的中点Q的坐标为,Q点在l上，∴3·-2·+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),则,又PP′的中点Q在l上，∴3×-2×+7=0,由可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.课外作业:一、填空题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为.答案22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是.答案x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是.答案-4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是.答案x+2y-3=05.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为.答案2x+y-6=06.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0°≤≤180°)，那么=.答案30°或150°7.设l1的倾斜角为，∈，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为.答案2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.答案(1,+∞)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解（1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=±6，解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.（1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.解（1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1.∴QQ′所在直线方程为y-1=1·（x-1）即x-y=0.由解得l与QQ′的交点M的坐标为.又∵M为QQ′的中点，由此得.解之得∴Q′（-2，-2）.设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线.则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射线方程为，即5x-4y+2=0.(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ′|.∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|==,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.解设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P（-1，0），由点P到两直线l,l1的距离相等，则,得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0.又∵正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴=，得a=9或a=-3,∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解方法一设点A（x，y）在l1上，由题意知，∴点B（6-x，-y），解方程组，得，∴k=.∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.∵P(3,0)是线段AB的中点，∴yA+yB=0，即+=0，∴k2-8k=0，解得k=0或k=8.又∵当k=0时，xA=1,xB=-3,此时,∴k=0舍去，∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.备选题:1、下面命题中正确的是（）（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.（B）经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示（C）不经过原点的直线都可以用方程表示（D）经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示2(05浙江)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()(A)(B)(C)(D)3、，则直线xcos+ysin+1=0的倾斜角为…………（）(A)－(B)(C)＋(D)－4、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有………………（）(A)1(B)2(C)3(D)45、直线xcos＋y＋m=0的倾斜角范围是………………（）(A)(B)(C)(D)6（05北