医用高数 概率-B

医用高等数学多媒体教学

课件制作制作者吴静1第二节概率计算的基本公式一.概率的加法公式二.条件概率和乘法公式三.随机事件的独立性四.全概率公式和逆概率公式五.贝努里概型2一.概率的加法公式:定理1：设A、B任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)ABUAB推导：设基本事件总数为N，

事件A，B，AB包含基本事件数分别为M1，M2，K。3P(AB)=V,P(AB)=0BAUP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)（A，B为任意事件）推论1.若A,B是互不相容的事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)4AP(A+B)=P(A)+P(B)（A，B互斥）推论2.对任一事件A，有5BAU

证:A=A-B+B,P(A-B)=P(A)-P(B)(A-B)与B是互斥的P(A)=P(A-B)+P(B)6例:一盒生物制品针剂共10支,若知其中有4支已过期,若从这盒针剂中随机抽取两支.①求其中有已过期针剂的概率.(或求取到的两支针剂中至少有一支已过期的概率.解:①设Ai=｛抽取的两支中恰有i支针剂已过期｝,(i=0,1,2).A=｛抽取的两支中,其中有已过期针剂｝即抽取两支中有过期针剂的概率为0.67.则A=A1+A2,且A1A2=V(互斥）P(A1)=C14C16/C210P(A)=P(A1)+P(A2)=24/45+6/45=30/45≈0.67P(A2)=C24C06/C210=24/45≈0.533,=6/45≈01337例:一盒生物制品针剂共10支,若知其中有4支已过期,若从这盒针剂中随机抽取两支.②求其中有未过期针剂的概率.(或求取到的两支针剂中至少有一支未过期的概率)解:②设BJ=｛抽取的两支中恰有j支未过期针剂｝,(j=0,1,2)B=｛抽取的两支中,有未过期针剂｝则B=B1+B2,且B1B2=V(互斥）即抽取两支中有未过期针剂的概率为0.67.P(B1)=C16C14/C210P(B)=P(B1)+P(B2)=24/45+15/45=39/45≈0.87P(B2)=C26C04/C210=24/45≈0.533,=15/45≈0.3338例:一盒生物制品针剂共10支,若知其中有4支已过期,若从这盒针剂中随机抽取两支.①求其中有已过期针剂的概率.②求其中有未过期针剂的概率.法二:

A={抽取的两支中其中有已过期针剂}

B={抽取的两支中其中有未过期针剂}9

A2UA1

A2UA1两药合用的有效作用√P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)10B1B2UB1B2U两药合用的副作用√P(B1UB2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)11二.条件概率和乘法公式:1.条件概率:在事件A发生的条件下,随机事件B发生的概率称为事件B对事件A的条件概率.记作P(B/A).注:这时事件A——确定性事件12例:某药检所有送检的药物10件,已知其中有3件次品,现从中取二次,每次任取一件,作不放回抽样,问:第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解:设A=｛第一次取到次品｝,B=｛第二次取到次品｝,P(B/A)=2/9条件概率P(B/A)=?题目所要求的是：那么P(B/A)是否等于P(B)?下面我们来计算P(B)13例:某药检所有送检的药物10件,已知其中有3件次品,现从中取二次,每次任取一件,作不放回抽样,问:第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解:设A=｛第一次取到次品｝,B=｛第二次取到次品｝,（注：当A,B是独立事件时,P(B/A)=P(B)，后面会讲}那么P(B/A)的计算公式应为什么形式?P(B/A)=2/9UABAB且由此可见

P(B/A)≠P(B).下面的定理就给出了P(B/A)的求解公式。14条件概率定义推导：设基本事件总数为N，事件A，B，AB所包含基本事件数为MA，MB，MAB15例:某药检所有送检的药物10件,已知其中有3件次品,现从中取二次,每次任取一件,作不放回抽样,问:第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解一):P(B/A)=2/9(前面已解过)解二）利用条件概率定义得：16①在样本空间U的缩减样本空间UA中计算B发生的概率就得到P(B/A),P(B/A)=MAB/MA(例如上例解一)

小结:由条件概率的定义和计算公式可知:计算条件概率P(B/A)有两种方法:②在样本空间U中,先计算P(AB),P(A),再由公式

P(B/A)=P(AB)/P(A）求得P(B/A).(例如上例解二)17例:设在一只盒子中混有新旧二种乒乓球,在新乒乓球中有白色的40只,红色的30只,在旧乒乓球中有白色的20只,红色的10只,列表如下:类颜色W（白色）R（红色）N（新）O（旧）共计403020106040共计7030100在盒中任取一球，发现是新的,问这个球是白色的概率是多少?解一):依题意知,所要求的是P(W/N),缩减的样本空间UN中考虑:

P(W/N)=40/70=4/7解二):在原来的样本空间UN+O考虑:(利用定义)18例:某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8,活25年以上的概率为0.5,问现年20岁的动物活到25岁的概率是多少?ABU∴P(B/A)=P(AB)/P(A)=0.5/0.8=5/8解:设A=｛这种动物活20年以上｝

B=｛这种动物活25年以上｝求的是P(B/A).依题意知:P(A)=0.8,P(B)=0.5∴P(AB)=P(B)=0.5B,由于AU所以AB=B192.概率的乘法公式:(由条件概率公式得来）定理:条件定理:20例:设在一盒中装有10支针剂，其中3支次品，7支正品，在其中取两次,每次任取一支,作不放回抽样,问两次都拿到次品针剂的概率是多少?解一）:设A=｛第一次取到的是次品针剂｝

B=｛第二次取到的是次品针剂｝解二):利用古典概型:N=10×9,M=3×2依题意有:P(A)=3/10,P(B/A)=2/9所求概率为:P(AB)=P(A)P(B/A)21区别:P(B):P(B/A):P(AB):是针对原来的样本空间U,没有附加条件下事件B发生的概率是在“A已发生”附加条件下B事件发生的概率,事件B是随机的,是针对缩小的样本空间MA。（A,B事件都发生,但是以事件A发生为其前提条件，“事件A已发生”是确定性事件）表示A,B两事件都发生,没有附加条件,A,B事件都是随机的P(B)=MB/NP(B/A)=MAB/MAP(AB)=MAB/N22从例子可知,一般情况下P(B/A)≠P(B)

即事件A已发生的信息会影响事件B出现的机会,但有些情况下P(B/A)=P(B),

即事件A的发生与否不会影响另一事件B发生的概率,这时我们称事件B独立于事件A.23由此可见:独立性是相互的.三．随机事件的独立性设A,B是随机事件,如果P(B/A)=P(B),则称B独立于A证∵P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A/B)P(B)若P(B)≠0,∵P(B/A)=P(B),两边同除以P(B)得:P(A/B)=P(A).即此时事件A也独立于B.24定理:事件A与事件B相互独立的充分必要条件是

P(AB)=P(A)P(B)

∴P(AB)=P(A)P(B),推导∵A,B相互独立,则有P(B/A)=P(B)，P(A/B)=P(A)又P(AB)=P(B/A)P(A)=P(A/B)P(B)反之可推出A,B相互独立.25P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)要想从定义出发判断n个事件的独立性是相当麻烦的,实际工作中常常只概据诸事件的实际意义去判断由事件的独立性可直接推出下列命题:1.若事件A,B相互独立,则2.若A,B相互独立,则与B，A与，与均相互独立（自行证明）3.三个事件A,B,C,若同时成立下列四等式,则称它们是相互独立若几个事件A1,A2,...An相互独立,则P(A1A2...An)=∏P(Ai)26试证明若A,B相互独立,则①与B，②A与，③与均相互独立BAABU②同理可证：③

证明:P(A)27例:试根据下表判断色盲与耳聋这两种病之间是否联系,(注:除合计栏外,表中数字均为所对的行,列两事件积的概率)耳聋与色盲统计聋(A)合计色盲(B)合计0.00040.00460.00500.07960.91540.99500.08000.92001.0000解:分析:若二者不是相互独立,就说它们有内在联系,则有P(AB)≠P(A)P(B)

若二者相互独立,可认为彼此没有关系,则有P(AB)=P(A)P(B由此可判断色盲与耳聋是相互独立的,即二者之间没有关系非聋()非色盲()由表中可知:P(A)=0.005,P(B)=0.08,P(AB)=0.0004∵P(A)P(B)=0.005×0.008=0.0004∴P(A)P(B)=P(AB)28例:某医院用CT机和超声仪对肝癌作检测,若单独使用这两种设备,知CT机的检出率为0.8,超声仪的检出率为0.7,现同时使用CT和超声仪,问肝癌被检出的概率是多少?∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94.

解二):设=｛肝癌未被CT检出｝,=｛肝癌未被超声仪检出｝显然=｛肝癌没有被CT也没有被超声仪检出检出｝,∵A,B是相互独立的,∴也是相互独立的,=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94解一):设A=｛肝癌被CT检出｝B=｛肝癌被超声仪检出｝则“肝癌被检出”就是这两事件的和,即A+B,概据概率加法公式有:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)又A,B是相互独立的(A,B也是相容的事件)∴P(AB)=P(A)P(B)29

互逆

互斥

注意区别:以下不同的概念相互独立:互不相容(互斥):互相对立(互逆):A,B两事件中一事件的概率不随另一事件的发生与否而改变即:P(AB)=P(A)P(B),P(A/B)=P(A),P(B/A)=P(B)A,B两事件必有一个发生且仅有一个发生,即AB=V,P(AB)=0.A,B两事件必有一个发生且仅有一个发生,即A+B=U,AB=V,P(AB)=0,P(A)+P(B)=1.30正确的解法:虽然A1,A2,...A10

不是互斥的,但它们却是相互独立的,那么它们的对立事件A1,A2,...A10

也是相互独立的,则P(A)=P(A1+A2+...+A10)=1-

例:假如每人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,设事件AI=｛第i人的血清中含有肝炎病毒｝,那么由10人的血清混和后的血清中含有肝炎病毒的概率为多少?解:如下的解法是否正确:只要10人中有1人的血清中含有肝炎病毒,那么10人的血清混合后的血清就含有肝炎病毒.设A=｛由10人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒｝.则A=∑Ai=A1+A2+...+A10∴P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(A10)=0.4%×10=4%×错误的原因:

P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(A10)只适用于A1,A2,...A10是两两互不相容的情况,而事实上允许A1,A2,...A10

同时出现.√=1-(1-0.4%)10=1-0.99610.由此可见:互斥与相互独立是不同的两种概念31例:设每次射击的命中率为0.2,问至少进行多少次独立射击才能使击中目标的概率不小于0.9?解:设至少射击n次,以Ai(i=1,2,...,n)表示第i次射击击中的事件.A=｛至少进行n次独立射击,目标才被击中｝,则A=A1+A2+...+An,,∵A1,A2,...,An是相互独立,依题意有:1-0.8n≥0.9,即0.8n≤0.1∴n≥ln0.1/ln0.8≈10.3所以至少进行11次射击,才能有90%以上的把握击中目标.(对偶原则)也是相互独立的.依题意有32UBA1A2AiAn四.全概率公式和逆概率公式:1.全概率公式:证明:∵B=BA1+BA2+...+BAn且BAi两两互不相容,∴由加法和乘法公式得:

P(B)=P(BA1+BA2+...+BAn)=P(BA1)+...+P(BAn)=P(A1)P(B/A1)+...+P(An)P(B/An)=∑P(Ai)P(B/Ai)定理:设A1,A2,...An两两互不相容,且P(Ai)＞0,若BA1+A2+...+An,

则:含义:①AiAj=V(i≠j,i,j=1,2,...,n)②P(Ai)＞0③BA1+A2+...+An33全概率公式非常重要,对于一些复杂事件,不好求它的概率,利用全概率公式把它转化为一组事件的和事件,概率就好求了.怎样进行转化呢?如何找A1,A2,...,An(这是难点)?34关键是找互不相容事件A1,A2,.An，使得B=BA1+...+BAn,只要用一次加法公式和乘法公式便得到全概率公式.1.怎样进行转化呢?UBA1A2AiAn352.如何找A1,A2,...,An(这是难点)?一般地说,①公式中的条件可等价地改写成“事件B能仅能与A1,A2,...,An

之一同时发生“,即把事件上组A1,A2,...,An看成导致B发生的一个原因,而这些原因的概率是已知的或能求出的,用找原因的方法求B1,B2,...,Bn比较方便.②对于一个复合试验,如果要求的概率是最后一个试验结果的一个概率,则可把倒数第二个试验的样本空间进行划分.36解:若在全厂产品中任抽一件设A1=｛抽得甲车间产品｝,A2=｛抽得乙车间产品｝,

A3=｛抽得丙车间产品｝,B=｛抽得次品｝.例:某药厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一种药品,各车间产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,各车间的次品率分别为1%,1.5%,2%,求①全厂的次品率.P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)依题意有:P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.40.某车间的次品率是指“在抽得的产品是属于该车间的条件下它又是次品”的条件概率.①由全概率公式得全厂的次品率为:=0.25×0.01+0.35×0.015+0.40×0.02=0.016.故有:P(B/A1)=0.01,P(B/A2)=0.015,P(B/A3)=0.02.U

BA1A2A3372.逆概率公式:(贝叶斯—Bayes公式)设A1,A2,...,An和B满足全概率公式的诸条件,且P(B)＞0,则有:P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/∑P(Ai)P(B/Ai)证明:∵P(AiB)=P(B)P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)贝叶斯的实际意义是:假设有n个互不相容的原因A1,A2,...,An可引起某种“现象B”发生,若该现象B已经发生,利用贝叶斯公式可以知道由某一个原因Ai(i=1,2,...,n)所引起的可能性有多大.如果能找到某个Aj,使得P(Ai/B)=max［P(Ai/B)］,则Aj就是引起“现象B”的最可能的原因.∴P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/∑P(Ai)P(B/Ai)38例:某药厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一种药品,各车间产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,各车间的次品率分别为1%,1.5%,2%,求②如果从全厂的该药品中抽出1个次品,它恰好是甲(乙或丙)生产的概率各为多少?(所以该次品最有可能是甲车间生)②P(A1/B)=P(A1B)/P(B)P(A2/B)=P(B/A2)P(A2)/P(A2)P(A3/B)=P(B/A3)P(A3)/P(A3)解:若在全厂产品中任抽一件①已求P(B)=0.016设A1=｛抽得甲车间产品｝,A2=｛抽得乙车间产品｝,

A3=｛抽得丙车间产品｝,B=｛抽得次品｝.=0.01×0.25/0.016≈0.16=P(B/A1)P(A1)/∑P(Ai)P(B/Ai)=0.015×0.35/0.016≈0.33=0.02×0.4/0.016≈0.5.39在诊病问题中,如果从病理和前期的经验积累中,知道有多种病因(A1+...+An),假设这多种病因构成一完备事件组)会产生某种症状,并且知道这些病因的概率,而在一次诊病中,某病人出现了该病状,问其可能最大的病因是什么?(比较P(Ai/B),...P(An/B)哪个大?)类似这样的例子,在理论和实际中常会碰到,解决这类问题就是用贝叶斯公式.40例.公安人员在某处发现一具女尸,根据现场分析,凶手还在某地的概率为0.4,乘车外逃的概率为0.5,自首归案的概率为0.1,今派人跟踪追捕,因为在某地公安部门力量强,容易抓到凶手的概率为90%,外逃处人员复杂，抓获凶手的概率为50%，问凶手在某地或外逃处被抓获的概率是多少？解：设A1={凶手在某地},A2={凶手乘车外逃}，

A3={凶手自首归案},B={凶手在某地或外逃处被抓获}依题意得：P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.1P(B/A1)=90%,P(B/A2)=50%,P(B/A3)=0(∵不求自首归案)∵A1A2=V,A1A3=V,A2A3=V由全概率公式得:=90%×0.4+50%×0.5+0×0.1=0.6141五.贝努里概型:一.贝努里概型:二.二项概率公式：42一.贝努里概型:1.n重贝努里试验:在同等条件下,①将某一试验独立地重复n次,②如果每次试验只有与两种可能结果,而且每次试验的结果都与其他各次试验的结果无关,则称这种试验为n重贝努里试验.432.贝努里概型:所对应的数学模型称为贝努里概型.N重贝努里概型特点:例如某人“进行n次独立射击”,即为n重贝努里试验,①独立试验(n次)②单次试验仅考虑两个对立结果与因为①n次射击是独立进行的,②每次结果只有“击中目标”与“未击中目标”两种可能结果.44依题意知P(A)=0.6,P()=1-0.6=0.4①求5个病人中治愈0个(即全部无效)的概率:由于试验的独立性,由乘法定理得:例:根据以往的临床资料统计,某种药物对某一疾病的治愈率是60%,现用这种药物治疗5个病人,问治愈0,1,2,3,4,5个病人的概率各是多少?解:我们将治疗5个病人看作是5次独立试验,每次试验是对一个病人作治疗,其结果可能是治愈(记作事件A),也可能是无效(记作事件),(这里我们只考虑治愈与无效两种可能情况),显然属贝努里概型.=0.45=0.0102②求5个病人中治愈1个(即4个无效)的概率:治愈1个而4个无效有下列不同的组合方式:即共有C51种可能情况.每种的概率都是:=0.61×0.44(独立性)45例:根据以往的临床资料统计,某种药物对某一疾病的治愈率是60%,现用这种药物治疗5个病人,问治愈0,1,2,3,4,5个病人的概率各是多少?P5(2)=C52×0.62×0.43=0.2304P5(3)=C53×0.63×0.42=0.3456.P5(4)=C54×0.64×0.41=0.2592.P5(5)=C55×0.65×0.40=0.0778.这6个概率的和为1.即P5(0)+P5(1)+P5(2)+P5(3)+P5(4)+P5(5)=1解:②求5个病人中治愈1个(即4个无效)的概率:由于这5种试验结果是两两互不相容的,由加法定理得:=C51×0.61×0.44=0.0768③治愈其中2个而无效3个的概率为:④治愈其中3个而无效2个的概率为:⑤治愈其中4相而无效1个的概率为:⑥5个病人全部治愈的概率为:46二.二项概率公式:其中q=1-p是事件A在每次试验中不发生的概率.系数Cnk是n次试验中事件A发生k次的组合数.由于事件A发生的次数k的可能取值是k=0,1,2,...,n.在n次独立试验中,若试验只考虑2种可能结果A和,且随机事件A在每次试验中发生的概率都是P,则事件A发生k次的概率为:Pn(k)=CnkPKqn-k

(二项概率公式)47由此看出CnkPkqn-k恰好是二项式(P+Q)n展开后的第k+1项,所以将上式公式称为二项概率公式.Pn(k)=CnkPKqn-k

(二项概率公式)容易验证:∑Pn(k)=∑CnkPkqn-k=(p+q)n=1n=1.注:二项概率公式的适用条件:①在n次独立试验中.②试验只考虑两种可能结果A和.③随机事件A在每次试验中发生的概率都是p48例:设射手每一次击中目标的概率为0.3,现连续射击4次,试求①恰好击中2次的概率是多少?②能击中目标的概率又是多少?则P(A)=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=1-C40×0.30×0.74=1-0.2401=0.7599.解