复变函数积分变换第一章

引言bbF() f(t)K(t,中的函数f当K(t,ejt时当K(t,)est时

中的函数F f(t)称为象原函数,F()称为f(t)⼀.Fourier⼆.非周期函数的Fourier三.Fourier预备知识TT2cosntdtT2

T2sinntdt0(n1,2, T2T2T2T

T2T2cos2ntdt (n1,2, T2T22222T

sinntcosmtdt0(n,m1,2, sinntsinmtdt0(n,m1,2, ,n2cosntcosmtdt0(n,m1,2,2

,n⼀Fourier1,连续或只有有限个第⼀类间断点2,注:这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数第⼀类间断点和第⼆类间断点的区别 内的情况即可,通常研究在闭区间[T/2,T/2]内数近, fT(t) (ancosntbnsinnt) 2T其中 2TT

a0

f(t)d22an2

fT(t)cosntdt(n 2bn2

f(t)sinntdt(n TT2为了应用上的方便我们常需要将Fourier级数eje由cos eje eje 得0fT(t)0

2

(ancosntbnsinnt ejnte ejntejntfT(t) 2

f(t)

an

jbnejnt 0 n1 如果令ca0 canjbn,nnc

2anjbn,n1,2,3,则

(t)c0

n

ejnt

fT(t),cn的计算如下当n

c

f(t)d2 a

T22f(t)cos22f(t)cosntdt

T22f(t)sinntd22f(t)sinntd1 22f(t)[cosntjsinnt]dt22f(t)[cosntjsinnt]dt22f(t)ejntda cn

cn

f(t)eTT2 n1TT2Tdt(n0,1,2,L2 fT(t)c0

n

ejntcjnn作周期为T的函数fT(t使其在[-T/2,T/2]f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上则T越大fT(t)与f(t)相等的范围也越大这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有limfT(t)fT结论:任何⼀个非周期函数f(t)都可以看成是由某由

j

ejT2fTT2

f(TT

n

j2f(t)2T

f(TT

n f(t)

2 称为函数f(t)的Fourier积 三Fourier定理若f(t)在(,+)上满足条件1,f(t)在任⼀有限区间上满足Dirichlet条件;2,f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,tjd)eff(t)而左端的f(t)在它的间断点t处,f(t0f(t0)来代替,|f(t|dt注意定理的条件是充分的f(t)

f()e

2

d2 1

f()cos(t)2j f()sin(t)d是的奇函数f(t)

1

f()cos(t)

d

2 由f(t

f()cos(t

d 2 f(t)

f()cos(t

d

f(t)

d

d (f()cos

d f(t)

类似的,当f(t)f(t)

2

|t|例1.设f(t) |t ,求f(t)的Fourier积分表达式 解 f(t)

2

(t ,f(t)f(1+0)+f10)1代替 1o1t综上所述,

f(t),t2sin

d

1 t,|t|1,

d

,|t|4 4 如 当t时,sind

⼀.Fourier⼆.单位脉冲函数及其Fourier三.我们知道若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件f(t)的连续点处f(t)

f()ej

ejt2 f(t)f(t)F()ejd则

f

(1.10)(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式,(1.10)F(的Fourier逆变换式,f(tF()可相互转换, 还可以将f(t)放在左端F()放在右端中间用双向 (1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换同样1.10)式右端的积分运算,叫做F()的Fourier逆变换

Fs()Fs[fFFs0

f(t)

1[Fff(t)20Fs

Fc()Fc[fFFc0

f(t)

1[F ff(t)20Fc11求函数f(t)et,tt1t根据(1.9)式,F()

[f(t)]

f(t)ejtd etejtd0

dt 2根据(1.10)式,f(t)

1[F()]2

F()ejtd

jejt

costsint2

2

2

2 costsint

2

tcost

df(t)

/2 t

t例2求函数f(t)Aet2的Fourier变换及其积分表达式,其中A,0.这个函数叫做钟形脉冲函数,也是工程技F()F[f(t)]e

f(t)ejtdt

Aet2ejtd Ae4

2j2j

Ae4求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)f(t)

1[F()]2

F()ejtd1

2 e4(costjsint)d e4cost0e0

A

f(t)

一单位电量的脉冲,现在要确定电 若以q(t)表示上述电路中的电荷函数q(t)

t t由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,i(t)dq(t)limq(tt)d

当t=0时q(t)在这一点不连续0是q(t)的第一类间断点如果我们形式地计算这个导数i(0)limq(0t)q(0)lim1

t0t 问题在通常意义下的函数类中找不到⼀个函数能够解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成弱极限若对任何一个无穷次可微的函数f(t)

(t)f(t)dt

(t)f(t)dtO 0O0(t)0 出发点想办法把无法表示的函数用某个可以表

(t)dt证明:因为对任何一个无穷次可微的函数(t)f(t)dt (t)f(t)d

特别的,取f(t1,(t)d

(t)d

(t)dt 1dt

0所以,(tdt,1Ot 若f(t)为无穷次可微函数,则(tf(t)dtf

(t)f(t)dt

(t)f(t)d

lim

1f(t)d

lim1

f(t)d

0 0 f(t)dtf (0所以(tf(t)dt

1f()limf()f 0

若f(t)为无穷次可微函数,(tt0)f(t)dtf(t0证明:

(tt)f(t)dt

(tt)f(t)d

limt0

f(t)dt

1t0

f(t)d

0lim1f0

)f(t0tt

()du(t),du(t) t其中u(t) 称为单位阶跃函数 t若f(t)'(t)f(t)dtf一般地,

n(t)f(t)dt

f(n)F()F

F()F

可⻅-函数和1构成了⼀个Fourier变换对 - 同理, t例4证明单位阶跃函数u(t)

t1

f(t)2

F()ejtd

同理如果f(t)

F()ejtd

00

[f(t)]

e

ej0t

e

ejtd

2(e

tejt

)tejt)d 2j f(t)2

f(t)e在频谱分析中傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数,与周期函数频谱的区别:连续频谱,结论对⼀个时间函数作Fourier变换就是求这个

f(t)ejtd

f(t)costdtjf(t)sintdf(t)costdtf(t)costdtf(t)sintdt相角频谱()

f(t)sintdtf(t)costd 0t;1求矩形单脉冲f(t

0,

解 F()

f(t)ejtd

Eejtdt ejt E(1ej)1.3Fourier

F[f1(t)f2(t)]F[f1(t)]

[f2同样Fourier逆变换亦具有类似的线性性质,1[F1()+F2()]=f1(t)+f2(t)

F[f(tt0)] 0F[fFourier变换的定义 F[f(tt0)]

f(tt0)e d(令tt0

j f(u)e

t0)d则t

e

f(u)ejudejt0

[f

1[F

jf(t)e

f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点且当|t|+时,f(t)0,[f'(t)]=j[f(t)].证由Fourier变换的定义,F[

(t)]

f(t)ejtd

ejtdff(t)e

f(t)de

[f推论[f(n)(t)]=(j)n[f象函数 dF()F[jtf(t)]

[tf证明

dF()

d

f(t)ejtd

f(t)(dejt)d[jtf

F[jtf(t)]

[tf F()(j)ndd

fn

F()

f t例2已知函数f(t

e

,t

(0)F[tf(t)]及F[t2f

F[tf(t)]jdF() F[t

f(t)]j2 d2

F

(2(j)3如果当t时g(t)

tf(tdt0,tFt

f(t)dt1F[f

因为g'(tfFg'(t)

[g(t)],所以Ff(t

t

f(t)dt

性质⼩结:若[f(t)]=F(),线性:f(t)g(t) F()位移:f(tt F()e0f(t)e F 0t导数:ft

jF积分

f(t)d

1F 实际上,只要记住下面四个Fourier变换,则所有的Fourier变换都无须从直接推导而从 u(t) 1

u(t)et

e4 若已知函数f1(t),f2(tf1()f2(t)称为函数f1(t)与f2(t)的卷积,记为 f1(t)f2(t) 在积分f1(f2td中,令ut,则tu,dud,则f1(t)f2(t) f1()f2(t)d

f(tu)

(u)du

f2(u)f1(tu)duf2(t) f1(t)[f2(t)f3

f1()[f2(t)f3(t

f1()f2(t)d f1()f3(t)f1(t)f2(t)f1(t)任给函数f(t),都有 f(t)(t) f(t)()df(t0)